椭圆焦点三角形的周长(4)
余年寄山水
939次浏览
2021年02月14日 02:23
最佳经验
本文由作者推荐
-
2017-2018
学年高二数学——直线与椭圆的位置关系（
4
）
椭圆焦点三角形的周长、面积公式的应用：
< br>x
2
y
2
定理在椭圆
2
2
< br>
1
（
a
＞
b
＞
0
）
中，
焦点分别为
F
1
、
F
2
，
点
P
是椭圆上任意一点，
a
b
F
1
PF
2
< br>
，则
S
F
PF
b
tan
2
1
2
2
.
y
P
P
证明：记
|
PF
1
|
r
1
,
|
PF
2<
/p>
|
r
2
，由椭圆的第一定义得
2
< br>2
F
1
O
F
2
x <
/p>
r
1
r
2
2
a
,
(
r
1
r
2
)
4
a
.
在△
F
2
2
1
PF
2<
/p>
中，由余弦定理得：
r
1
r
2
2
r
1
r
2
cos
(
2
c
)
2<
/p>
.
配方得：
(
r
2
1
r
2
)
2
r
1
r
2
2
r
< br>1
r
2
cos
< br>
4
c
2
.
即
4
a
2
2
r
1
r
2
(
1
cos
)
4
c
2
.
< br>
r
2
(
a
2
c
2
)
2
b
2
1
r
2
1
cos
1
cos
.
由任意三角形的面积公式得：
2
sin
cos
S
F
2
1
PF
2
1
r
r
b
2
sin
1
2
sin
b
2
2
2
1
cos
b
2
tan
.
2
cos
< br>2
2
2
S
F
1
PF
2
b<
/p>
2
tan
2<
/p>
.
同理可证，在椭圆
< br>y
2
a
x
2
2
b
2
1
（
a
＞
b
＞
0
）中，公式仍然成立
.
例题讲解：
1
、若
P
是椭圆
x
< br>2
100
y
< br>2
64
1
上的一点，
F
1
、
F
2
是其焦点，且
F
1
PF
2
60
，求
△
F
1
PF
2
的面积
.
1