2018年湖南中考数学压轴题汇编：几何综合(解析版)
-
2018
年全国各地中考数学压轴题汇编（湖南专版）
< br>
几何综合
1
．（
20
18•
长沙）如图，在△
ABC
中，<
/p>
AD
是边
BC
上
的中线，∠
BAD=
∠
CAD
，
CE
∥
AD
，
CE
交
BA
的延长线于点
E
，
BC
=8
，
AD=3
．
（
1
）求
CE
的长；
（
2
）求证：△
ABC
为等腰三角形
．
（
3
）求
△
ABC
的外接圆圆心
P
与内切圆圆心
Q
之间的距离．
参考答案与试题解析
（
1
）解：
∵
AD
是边
BC
上的中线，
∴
BD=CD
，
∵
CE
∥
AD
，
∴
AD
为△
BCE
的中位线，
∴
CE=
2AD=6
；
（
2
）证明：∵
CE
∥
AD
，
∴∠
BAD=
∠
E
，∠
CAD=
∠
ACE
，<
/p>
而∠
BAD=
∠
CAD
，
∴∠
ACE=
∠
E
，
∴
AE=AC
，
而
AB=AE
，
∴
AB=AC
，
∴△
ABC
为等腰三角形．
（
3
）如图，连接
BP
、
BQ
、
CQ
，
在
Rt
△
ABD
中，
AB=
=5
，
设⊙
P
的半径为
R
，⊙
Q
的半径为
r
，
<
/p>
在
Rt
△
PBD
中，（
R
﹣
3
）
2
+
4
2
=R
2
，解得<
/p>
R=
，
∴
PD=PA
﹣
AD=
﹣
3=
，
∵
S
△
ABQ
+
S
△
BCQ
+
S
△
ACQ
=S
△
ABC
，
∴
•r•5
+
•r•8
+
•r•5=
•3•8<
/p>
，解得
r=
，
即
QD=
，
∴
PQ=PD
+
QD=
+
=
．
答：△
ABC
的外接圆圆心
P
与内切圆圆心
Q
之
间的距离为
．
2
．
（
2018•
株洲）如图，在
Rt
△
ABM
和
Rt
△
ADN
的斜边分别
为正方形的边
AB
和
AD
，其
中
AM=AN
．
（
1
）求证：
Rt
△
ABM
≌<
/p>
Rt
△
AND
；
（
2
）线段
MN
与线段
AD
相交于
T
，若
AT=
，求
tan
∠
ABM
的值．
解：（
1
）∵
AD=AB
，
AM=AN
，∠
AMB=
∠
AND=90°
∴<
/p>
Rt
△
ABM
≌
Rt
△
AND
（
HL
）．
（
2
）由
Rt
△
ABM
≌
Rt
△
AND
易得：∠
DAN=
∠
BAM
，
DN=BM
∵∠
BAM
+
∠
DAM=90°
；∠
DAN
+
∠
ADN=90°
∴∠
DAM=
∠
AND
∴
ND
∥
AM
∴△
DNT
∽△
AMT
∴
∵
AT=
∴
，
∵
Rt<
/p>
△
ABM
∴<
/p>
tan
∠
ABM=
3
．（
2018•
长沙）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做
“
十字形
”
．
．
（
1
）
①在<
/p>
“
平行四边形，
矩形，
< br>菱形，
正方形
”
中，
一定是
“
十字形
”
的有
菱形，
正方形
；
AB=AD
且
CB
≠
CD
，
②在凸四边形
ABCD
中，
则该四边形
不是
“
十字形
”
．
（填
“
是
”
或
“
不
是
”
）<
/p>
（
2
）如图<
/p>
1
，
A
，
B
，
C
，
D
是半径为
1
的⊙
O
上按逆时针方向排列的四个动点，
AC
与
BD
交于点
E<
/p>
，∠
ADB
﹣∠
CDB=
∠
ABD
﹣∠
CBD
，当
6
≤
AC
2
+
BD
2
≤
7
时，求
OE
的取值范围；
（
3
）如图
2
，在平
面直角坐标系
xOy
中，抛物线
y=a
x
2
+
bx
+
c
（
a
，
b
，
c
为常数，<
/p>
a
＞
0
，
c
＜
0
）与
x
轴交于
A
，
C
两点（点
A
在点
C
的左侧），
B
是
抛物线与
y
轴的交点，点
D
的
坐标为（
0
，﹣
ac
），记
“
十字形
”ABCD
的面积为
S
，记△
AOB
，△
COD
，△
AOD
，△
B
OC
的面积分别为
S
1
，
S
2
，
S
3
，
S
4
．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；
①
=
；②
=
；③
“
十字形
”ABCD<
/p>
的周长为
12
．
解：（
1
）①∵菱形，正方形的对角线
互相垂直，
∴菱形，正方形是：
“<
/p>
十字形
”
，
∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，
< br>∴平行四边形，矩形不是
“
十字形
”
，
故答案为：菱形，正方形；
②如图，
当
CB=CD
时，在△
ABC
和△
ADC
中，
∴△
AB
C
≌△
ADC
（
SSS
），
∴∠
< br>BAC=
∠
DAC
，
∵
AB=AD
，
∴
AC
⊥
BD
，
，
∴当
CB
≠
CD
时，四边形
ABCD
不是
“
十字形
”
，
故答案为：不是；
（
2
）∵∠
ADB
+
∠
CBD=
∠
ABD
+
∠
CDB
，∠<
/p>
CBD=
∠
CDB=
∠
CAB
，
∴∠
ADB
+
∠
< br>CAD=
∠
ABD
+
∠
CAB
，
∴
180°
﹣∠
AED=
180°
﹣∠
AEB
，
∴∠
AED=
∠
AEB=90°
，
∴<
/p>
AC
⊥
BD
，<
/p>
过点
O
作
OM
⊥
AC
于
M
，
ON
⊥
BD
于
N
，连接
OA
，
OD
，
∴
OA=OD=1
，
OM
2
=OA
2
﹣
AM
2
，
ON
2
=OD
2
﹣
DN
2
，
AM=
AC
，
DN=
BD
，四边形
OMEN
是
矩形，
∴
ON=ME
，
OE
2
=OM
2
+
ME
2
，
∴
OE
2
=OM
2
+
ON
2
=
2
﹣
（
AC
2
+
BD
2
），
∵
6
≤
AC
2
+
BD
2
≤
7
，
∴
2
﹣
≤
OE
2
≤
2
﹣
，
∴
≤
OE
2
≤
，
∴
（
OE
＞
0
）；
，
0
），<
/p>
B
（
0
，
c
），
C
（
，
0
），
D
（
0
，﹣
ac
），
（
3
）由题意得，
A
（
∵
a
＞
0
，
c
＜
0
，
∴
OA=
，
OB=
﹣
c
，
OC=
，
OD=
﹣
ac
，
AC=
S
1
=
OA•OB=
﹣<
/p>
，
，
BD=
﹣<
/p>
ac
﹣
c
，
S
2
=
OC•OD=
﹣
，
，<
/p>
，
∴
S=
AC•BD=
﹣
（
ac
+
c
）
×
S
3
=
OA
×
OD=
﹣<
/p>
∵
=
+
，
=
，
S
4
=
OB
×
OC=
﹣
+
，
∴
∴
=2
，
+
=
+
，
∴
a=1
，
∴
S=
﹣
c<
/p>
∵
∴
S=S
1<
/p>
+
S
2
+
2
∴﹣
c
∴﹣
∴
∴
b=0
，
∴
A
（﹣
，
0
），
B
（
0
，
c
），
C
（
，
< br>0
），
d
（
0
，﹣
c
），
=
﹣
=
﹣
c•
=
，
，
S
1
=
﹣
，
，
+
2
，
，
，
S
4
=
﹣
，
∴四边形
ABCD
是
菱形，
∴
4AD=12
∴
AD=3
，
，
即：
AD
2
=90
，
∵
AD
2
=c
2
﹣
c
，
∴
c
2
﹣
c=90
，
∴
c=
﹣
9
或
c=10
（舍），
即：
y=x
2
﹣
9
．
4
．（
20
18•
湘潭）如图，在正方形
ABCD
中，
AF=BE
，
AE
与
DF
相交于点
O
．
（
1
）求证：△
DAF
≌△
ABE
；
（
2
）求∠
AOD
的度数．
（
1
）证明：∵四边形
ABCD
是正方形，
∴∠
DAB=
∠
ABC=90°
，
AD=AB
，
在△
DAF
和△
ABE
中，
∴△
DAF
≌△
ABE
（
SAS
），
（
2
）由（
1
）知，△
DAF
≌△
ABE
，
∴∠
ADF=
∠
BAE
，
∵∠
ADF
+
∠
DAO=
∠
BAE
+
∠
DAO=
∠
DAB=90
°
，
∴∠
A
OD=180°
﹣（∠
ADF
+
DAO
）
=90°
．
5
．（
2018•
株洲）如图，已知
AB
为⊙
O
的直径，<
/p>
AB=8
，点
C
和点
D
是⊙
O
上关于直线
AB
对称的两个点，连接
O
C
、
AC
，且∠
BOC
＜
90°
，直线
BC
和直线
AD
相交于点<
/p>
E
，过点
C
作直
线
CG
与线段
AB
的延长线相交于点
F
，与直线
AD
相交于点
G
，且∠
GAF=
∠
GCE
．
（
1
）求证：直线
CG
为⊙
O
的切线；
（
2
）若点
H
为线段
OB
上一点，连接
CH
，满足
CB=CH<
/p>
，
①△
CBH
∽△
OBC
；
②求
OH
+
H
C
的最大值．
，
解：（
1
）由题意可知：∠
CAB=
∠
GAF
，
∵
AB
是⊙
O
的直径，
∴∠
ACB=90°
∵
OA=OC
，
∴∠
CAB=
∠
OCA<
/p>
，
∴∠
OCA
+
∠
OCB=90°
< br>，
∵∠
GAF=
∠
GCE
，
∴∠
GCE
+
∠
OCB=
∠
OCA
+
∠
OCB=90°
，
∵
OC
是⊙
O
的半径，
∴直线
CG
是⊙
O
的切线；
（
2
）①∵
CB=CH
，
∴∠<
/p>
CBH=
∠
CHB
，
∵
OB=OC
< br>，
∴∠
CBH=
∠
OCB
，
∴△
CBH
∽△
OBC
②由△
CBH
∽
△
OBC
可知：
∵
AB=8
，
∴
< br>BC
2
=
HB•OC=4HB<
/p>
，
∴
HB=
，
∴
OH=
OB
﹣
HB=4
﹣
∵
CB=CH
，
∴
OH
+
HC=4
当∠
BOC=90°
，
此时
BC=4
+
BC
，
<
/p>
∵∠
BOC
＜
9
0°
，
∴
0
＜
BC
＜
4<
/p>
令
BC=x
∴
OH
+
HC=
﹣
（
x
﹣
2<
/p>
）
2
+
5
当
x=2
时，
∴
OH
+
HC
可取得最大值，最大值为
5
6
．（
20
18•
衡阳）如图，⊙
O
是△
ABC
的外接圆，
AB
为直径，∠
BAC
的平分线交⊙
O
于
点
D
，过点
D
作
DE
⊥
AC
分别交
AC
、<
/p>
AB
的延长线于点
E
、
F
．
（
1
）求证：
EF
是⊙
O
的切线；
（
2
）若
AC=4
，
CE=2
，求
的长度．
（结果保留
π
）
，
解：（
1
）如图，连接
OD
< br>，
∵
OA=OD
，
∴∠
OAD=
∠
ODA
，
∵
AD
平分∠
EAF
，
∴∠
DAE=
∠
DAO
，
∴∠
DAE=
∠
ADO
，
∴
OD
∥
AE
，
∵
AE
⊥
EF
，
∴
OD
⊥
EF
，
∴
EF
是
⊙
O
的切线；
（
2
）如图，作
OG
⊥
AE
于点
G
，连接
BD
，
则
AG=CG=
AC=2
，
∠
OGE=
∠
E=
∠
ODE=90°
，
∴四边形
ODEG
是矩形，
∴
OA=OB=OD=CG
+
CE=2
+
2=4
，∠
DOG=90°
，
∵∠
DAE=
∠
BAD
，∠
AED=
∠
A
DB=90°
，
∴△
ADE
∽△
ABD
，
∴
=
，即
=
，
∴
AD
2
=48
，
在
Rt
△
ABD
中，
BD=
在
Rt
△
ABD
中，∵<
/p>
AB=2BD
，
∴∠
BAD=30°
，
∴∠
BOD=60°
，
=4
，
则
的长度为
=
．
7
．（
2018•
湘潭）如图，
AB
是以
O
为圆心的半圆的直径，半径
CO
⊥
AO
，点
M
是
的动点，且不与点
A
、
C<
/p>
、
B
重合，直线
AM
交直线
OC
于点
< br>D
，连结
OM
与
CM
．
（
< br>1
）若半圆的半径为
10
．
①当∠
AOM=60°
< br>时，求
DM
的长；
②当
AM=12
时，求
D
M
的长．
上
（
2
）探究：在点
M
< br>运动的过程中，∠
DMC
的大小是否为定值？若是，求出
该定值；若
不是，请说明理由．
<
/p>
解：（
1
）①当∠
AOM=60°
时，
∵
OM=OA
，
∴△
AMO
是等边三角形，
< br>∴∠
A=
∠
MOA=60°
，
∴∠
MOD=
30°
，∠
D=30°
，
∴
DM=OM=10
<
/p>
②过点
M
作
MF
⊥
OA
于点
F
，
设
AF=x
，
∴
OF=10
﹣
x
，
∵
A
M=12
，
OA=OM=10
，
由勾股定理可知：
12
2
﹣
x
2
=10
2
﹣（
10
﹣
x
）
2
∴
x=
∴
AF
=
，
，
<
/p>
∵
MF
∥
OD<
/p>
，
∴△
AMF
∽△
ADO
，
∴
∴
∴
AD=
，
，
∴
MD=
AD
﹣
AM=
（
2
）当点
M
位于
连接
BC
，
∵
C
是
的中点，
< br>
之间时，
∴∠
B=45°
，
∵四边形
AMCB
是圆内接四边形，
此时∠
CMD=
∠
B=45°
，
当
点
M
位于
连接
BC
，
由圆周角定理可知：∠
CMD=
∠
B=45°
综上所述，∠
CMD=45°
之间时，
8
．
AC=
BC=4cm
，
（
2018•
衡阳）
如图，
在
Rt<
/p>
△
ABC
中，
∠
C=90°
，
动点
P
从点
C
出发以
< br>1cm/s
的速度沿
CA
匀速运
动，同时动点
Q
从点
A
出发以
cm/s
的速度沿
AB
匀速运动，当点
P
到达点
A
时，点
P
、
Q
同时停止运动，设运动时间为
t
< br>（
s
）．
（
1
）当
t
为何值时，点
B
在线段
PQ
的垂直平分线上？
（
2
）是否存在某一时刻
t
，使△
APQ
是以
PQ
为腰
的等腰三角形？若存在，求出
t
的值；
若不存在，请说明理由；
（
3
）以
PC
为边，往
C
B
方向作正方形
CPMN
，设四边形<
/p>
QNCP
的面积为
S
，求
S
关于
t
的函数关系式．
解：（
1
）如图
1
中，连接
BP
．
<
/p>
在
Rt
△
ACB
中，∵
AC=BC=4
，∠
C=90°
，
∴
AB=4
∵点
B
在线段
PQ
的垂直平分线上，
∴
BP=BQ
，
∵
AQ=
∴
BQ=4
∴（
4
t
，
CP=t
，
﹣
﹣
t
，
PB
2
=
4
2
+
t
2<
/p>
，
t
）
2
=16
+
t
2
，
或
8
+
4
（舍弃），
解得
t=8
﹣
4
∴
t=
（
8
﹣
4
）
s
时，点
B
在线段
PQ
的垂直平分线上．
（
2
）①如图
< br>2
中，当
PQ=QA
时，易知△
APQ
是等腰直角三角形，∠
AQP=
90°
．
则有
PA=
∴
4
﹣
t=
•
AQ
，
t
，
解得
t=
．
②如图
3
中，当
AP=PQ
时，易知△
APQ
是等腰
直角三角形，∠
APQ=90°
．
则有：
AQ=
∴
t=
AP
，
（
4
﹣
t
），
解得
t=2
，
综上所述：
t=
s
或
2s
时，△
APQ
是以
PQ
为腰的等腰三角形．
（
3
）如图
4
中，连接
QC
，作
QE
⊥
AC
于
E
，作
QF
⊥
BC
于
F
．则
QE=AE
，
QF=EC
，可
得
QE
+
QF=AE
< br>+
EC=AC=4
．
∵
S=S
△
QNC
+
S
△
PCQ
=
•CN•QF
+
•PC•QE=
t
（
QE
+
QF
）
=2t
（
0
＜
t
＜
4
）．
9
．（
2018•
邵阳）如图
1
所示，在四边形
ABCD
中，点
O
，
E
，
F
，
G
分别是
AB
，
BC
，
CD
，
AD
的中点，连接
OE
，
EF
，
FG
，
GO
，
GE
．
（
1
）证明：四边形
OEFG
是平行四边形
；
（
2
）将
△
OGE
绕点
O
顺时针旋转得到△
OMN
，如图
2<
/p>
所示，连接
GM
，
EN
．
①若
OE=
，
OG=1
，求
的值；
②试在四边形
AB
CD
中添加一个条件，使
GM
，
EN
的长在旋转过程中始终相等．（不要
求证
明）
解：（
1
）如图
1
，连接
< br>AC
，
∵点
O
、
E
、
F
、
G
分
别是
AB
、
BC
、
CD
、
AD
的中点，
∴
OE
< br>∥
AC
、
OE=
AC
，
GF
∥
AC
、
GF=
AC
，
∴
OE=GF
，
OE=GF
，
<
/p>
∴四边形
OEFG
是平行四边形；
（
2
）①∵△
OGE
绕点
O
顺时
针旋转得到△
OMN
，
∴
OG=OM
、
OE=ON
，∠
GOM=
∠
EON
，
∴
=
，
∴△
OGM
∽△
O
EN
，
∴
=
=
．
②添加
AC=BD
，
如图
2
，连接
AC
< br>、
BD
，
∵点
O
、<
/p>
E
、
F
、
G
分别是
AB
、
BC
、
CD
、
AD
的中点，
∴
OG=EF=
BD
、
< br>OE=GF=
BD
，
∵
AC=BD
，
∴
OG=OE
，
∵△
OGE
绕点
O
顺时针旋转得到△
OMN
，
∴
OG=OM
、<
/p>
OE=ON
，∠
GOM=
∠
EON
，
∴
OG=OE
、
OM=ON<
/p>
，
在△
OGM
和△
OEN
中，
∵
，
∴
△
OGM
≌△
OEN
< br>（
SAS
），
∴
GM=EN
．
10
．（
2018•
常德）如图，已知⊙
O
是等边三角形
ABC
的外接圆，点
D
在圆上，在
CD
的<
/p>
延长线上有一点
F
，使
< br>DF=DA
，
AE
∥
BC
交
CF
于
E
．
（
1
）求证：
EA
是⊙
O
的切线；
（
2
）求证：
BD=CF
．
证明：（
1
）连接
OD
，
< br>
∵⊙
O
是等边三角形
ABC
的外接圆，
∴
∠
OAC=30°
，∠
BCA=60°
，
∵
AE<
/p>
∥
BC
，
∴∠
EAC=
∠
B
CA=60°
，
∴∠
OAE=
∠
OAC
+
∠
EAC=30°
+
6
0°
=90°
，
∴
AE
是⊙
O
的切线；
（
2
< br>）∵△
ABC
是等边三角形，
∴
AB=AC
，∠
BAC=
∠
ABC=60°
，
∵
A
、
B
、
C
、
D
四点共圆，
∴∠
ADF=
∠
ABC=60°
< br>，
∵
AD=DF
，
∴△
ADF
是等边三角形，
∴
AD
=AF
，∠
DAF=60°
，
∴∠
BAC
+
∠
CAD=
∠
DAF
+
∠
CAD
，
即∠
BAF=
∠
CAF
，
在△
BAD
和△
CAF
中，
∵
，
∴△<
/p>
BAD
≌△
CAF
，
∴
BD=CF
< br>．
11
．（
2018•
岳阳）已知在<
/p>
Rt
△
ABC
中
，∠
BAC=90°
，
CD
为∠
ACB
的平分线，将∠
ACB
沿
CD
所在的直线对折，
BB'
，
使点
B<
/p>
落在点
B′
处，
连结
AB'
，
延长
CD
交
BB'
于点
E
，
设∠
ABC=2α
（
0°
＜
α
＜
45°
）．
（
1
）如图
1
，若
AB=AC
，求证：
CD=2BE
；
（
2
）如图
2
，若
AB
≠
AC
，试求
CD
与
BE
的数量关系（用含
α
的式子表示）；<
/p>
（
3
）如图<
/p>
3
，将（
2
）中
的线段
BC
绕点
C
逆时针旋转角（
α
+
45°
），得到线段
FC
，连结
EF
交
BC
于点
< br>O
，
设△
COE
的面积为
S
1
，
△
COF
的面积为
S
2
，
求
解：（
1
）如图
1
中，
（用含
α
的式子表示）
．