2020年湖南省中考数学模拟试卷一解析版
-
2020
年湖南省中考数学模拟试卷一
一、选择题（
36
分）
1
．
（
3
分）下列二次根式是最简二次根式的是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
2
．
（
3
分）若式子
A
．
x
≥
1
且
x
≠
2
在实数范围内有意义，则
< br>x
的取值范围是（
）
B
．
x
≤
1
C
．
x
＞
1
且
x
≠
< br>2
D
．
x
＜
1
3
．
（
3
分）若
x
1
+
x
2
＝
3
，
x
1
2
+
x
2
2
＝
< br>5
，则以
x
1
< br>，
x
2
为根的一元二次方程是（
）
A
．
x
2
﹣
3
x
+2
＝
0
B
．
x
2
+3
< br>x
﹣
2
＝
0
C
．
x
2
+3
x
+2
＝
0
D
．
x
2
﹣
3
x
﹣
2
＝
0
4
< br>．
（
3
分）
若关于
x
的一元二次方程
（
k
﹣
2
）
x
2
﹣
2
kx
+
k
＝
< br>6
有实数根，
则
k
的取值范围为
（
）
A
．
k
≥
0
B
．
k
≥
0
且
k
≠
< br>2
C
．
k
≥
D
．
k
≥
且
k
≠
2
5
．
（
3
分）某商品经过
连续两次降价，售价由原来的每件
25
元降到每件
16
元，则平均每次
降价的百分率为（
）
A
．
20%
B
．
40%
C
．
18%
D
．
36%
6
．
（
3
分）如图，以点
O
为位似中心，把△
ABC
放大为原图形的
2
倍得到△
A
′
B
< br>′
C
′，以
下说法中错误的是（
）
A
．△
AB
C
∽△
A
′
B
′
C
′
B
．点
C<
/p>
、点
O
、点
C<
/p>
′三点在同一直线上
C
．
AO
：
AA
′＝
1
：
2
D
．
AB
< br>∥
A
′
B
′
7
．
（
3
分）如图，将△
ABC
沿
BC
边上的中线
AD
平移到△
A
′
B<
/p>
′
C
′的位置．已知△
< br>ABC
的面积为
16
，阴影部分
三角形的面积
9
．若
AA
′＝
1
，则
A
′
D
等于（
）
A
．
2
B
．
3
C
．
4
D
．
8
．
（
3
分）如图，
在△
ABC
中，点
D
< br>，
E
分别在
AB
，
AC
边上，
DE
∥
BC
，∠
ACD
＝∠
B
，若
AD
＝
2
BD
，
BC
＝
6
，则线段<
/p>
CD
的长为（
）
A
．
2
B
．
3
C
．
2
D
．
5
9
．
（
3
分）如图，一艘轮船从位于灯塔
C
的北偏东
60
°方向，距离灯塔
60
nmile
的小岛
A
出发，沿
正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔
C
的南偏东
45
°方向上的
B
处，这
时
轮船
B
与小岛
A
的距离是（
）
A
．
30
nmile
B
．
60
nm
ile
D
．
（
30+30
）
nmile
C
．
120
nmile
10
．<
/p>
（
3
分）
如图，
正方形
ABCD
中，
< br>点
E
、
F
分别在边
CD
，
AD
上，
BE
与
CF
交于点
G
．
若
BC
＝
4
，
DE
＝
AF
＝
1
，则
GF
的长为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
11<
/p>
．
（
3
分）不透
明的袋子中只有
4
个黑球和
2
个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机
从袋子中一次摸出
3
个球，下列事件是不可能事件的是（
）
A
．
3
个球都是黑球
C
．
3
个球中
有黑球
B
．
3
个球都是白球
< br>D
．
3
个球中有白球
12
．
（
3
分）如图，△
ABC
中，
AB
＝
AC
＝
10
，
tan
A
＝
2
，
BE
⊥
AC
于点
E
，
D
是线段
B
E
上的
一个动点，则
CD
+
BD
的最小值是（
）
A
．
2
B
．
4
C
．
5
D
．
10
<
/p>
二、填空题（
18
分）
< br>
13
．
（
3
分）对于实数
a
，
b
，定义运算“◎”如下：
a
◎
b
＝（
a
+
b
）
2
﹣（
a
﹣
b
）
2
．若（
m
+2<
/p>
）
◎（
m
﹣
3
）＝
24
，则<
/p>
m
＝
．
14
．<
/p>
（
3
分）要使二次根式
< br>有意义，则
x
的取值范围为
．
15
．<
/p>
（
3
分）如图，在一块斜边长
30
cm
的直角三角形木板（
Rt
△
ACB
）上截取一个正方形
CDEF
，点
D
在边
BC
上，点
E
< br>在斜边
AB
上，点
F
在边
AC
上，若
AF
：
AC
＝
1
：
3
，则
这块木板截
取正方形
CDEF
后，剩余部分的面积为
．
16<
/p>
．
（
3
分）在△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，
tan
< br>A
＝
，则
cos
B
＝
．
17
．<
/p>
（
3
分）从
1<
/p>
，
2
，
3
，
4
，四个数中随机选取两个不同的数，分别
记为
a
，
c
，
则关于
x
的
一元二次方程
ax
2
+4
x
+
c
＝
0
< br>无实数解的概率为
．
18
．
（
3
分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点
C
在
FD
的
延
长线上，点
B
在
ED
< br>上，
AB
∥
CF
，∠
F
＝∠
ACB
＝
90
°，∠
E
＝
45
°，∠
A
＝
60
°，
AC
＝
10
，则
CD<
/p>
的长度是
．
三、解答题（第
18
题
8
分，第
19
）
19
．
（
8
分）
（
< br>1
）
（﹣
）
2
﹣
|
﹣
﹣
2|+
÷
；
（
2
）
tan
2
30
°﹣
2
sin30
°
tan45
°
+8cos
2
60
°．<
/p>
20
．
（
8
分）已知关于
x
的一元二次方程
x
2
﹣
6
x
+2
a
< br>+5
＝
0
有两个不相等的实数根
x
1
，
x
2
．
（
1
）求
a
的取值范围；
（
2
）若<
/p>
x
1
2
+
x
2
2
﹣
x
1
x
2
≤
30
，且
a
为整数，求
a
的值．
21
．
（
8
分）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从
2016
年底到
2018
年底两年内
由
5
万册增加到
7.2
万册．
（
1
）求这两年藏书的年均增长率；
（
2
）经统计知：中外古典名著的册数在
2016
年底仅占当时藏书总量的
5.6%
，在这两年
新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么<
/p>
到
2018
年底中外古典名著的册数占藏
书总量的百分之几？
22
．
（
10
分）如图，在平行四边形
ABCD
中，对角线
AC
、<
/p>
BD
交于点
O
．
M
为
AD
中点
，连
接
CM
交
BD
于点
N
，且
ON
＝
1
．
（
1
）求
BD
的长；
（
2
）若△
DCN
的面积为
2
，求四边形
ABNM
的面积
．
23
．
（
10
分）如图，某数学活动小组为测
量学校旗杆
AB
的高度，沿旗杆正前方
2
点
C
出发，沿斜面坡度
i
＝
1
：
< br>米处的
的斜坡
CD
前进
4
米到达点
D
，在点<
/p>
D
处安置测角仪，
测得旗杆顶部
A
的仰角为
37
°，量
得仪器的高
DE
为
1.5
米．已知
A
、
B
、
C
、
D
、
E
在同
一平面内，
AB
⊥
BC
，
AB
∥
DE
．求旗杆<
/p>
AB
的高度．
（参考数据：
sin37
°≈
，
cos3
7
°≈
，
tan37
< br>°≈
．计算结果保留根号）
24
．
（
10
分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某
校团委组织八年级
100
名学生进行“经典诵
读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进
行整理，得到下列不完整的统计图表．
组别
A
B
C
D
分数段
60
≤
x
＜
70
70
≤
x<
/p>
＜
80
80
≤
x
＜
90
90
≤
x
＜
100
频次
17
30
b
8
频率
0.17
a
0.45
0.08
请根据所给信息，解答以下问题：
（
1
）表中
a
＝
，
b
＝
；
（
2
）请计算扇形统计图中
B
组对应扇形的圆心
角的度数；
（
3
）已知有四名同学均取得
98
分的最好成绩，其中包括来自
同一班级的甲、乙两名同
学，
学校将从这四名同学中随机选出两
名参加市级比赛，
请用列表法或画树状图法求甲、
乙两名同学都
被选中的概率．
25
．
（
12
分）如图，正方形
OABC
的边
OA
，
OC
在坐标轴上，点
B
的坐标为（﹣
4
，
4<
/p>
）
．点
P
从点<
/p>
A
出发，以每秒
1
个单位长度的速度沿
x
轴向点
O
运动；点
Q
从点
O
同时出发，
以相同的速度沿
x
轴的正方向运动，规定点
P
到达点
O
时，点
Q
也停止运动．连
接
BP
，
过
P
点作
BP
的垂线，与过点
Q
平行于
y
轴的直线
l
相交于点
D
．
BD
与
y
轴交于点
E
，
连接
PE
．设点
P
运动的时间为
t
（
s
）
．
（
1
）∠
PBD
的度数为
，点
D
的坐标为
（用
t
表示）
；<
/p>
（
2
）求证：
PE
＝
AP
+
CE
；
（<
/p>
3
）当
t
为何值
时，△
PBE
为等腰三角形？
参考答案与试题解析
一、选择题（<
/p>
36
分）
1<
/p>
．
（
3
分）下列
二次根式是最简二次根式的是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，
否则就不
是．
【解答】解：
A
、
B
、
C
、
D
、
，故
A
不符合题意；
，故
B
不符合题意；
，故
C
不符合题意；
是最简二次根式，故
D
符合题意．
故选：
D
．
2
．
（
3
分）若式子
A
．
x
≥
1
且
x
≠
2
在实数范围
内有意义，则
x
的取值范围是（
）
B
．
x
≤
1
C
．
x
＞
1
且
x
< br>≠
2
D
．
x
＜
1
【分析】分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数．
< br>
【解答】解：依题意，得
x
﹣
1
≥
0
且
x
﹣
2
≠
0
，
解得
x
≥
1
且
x
≠
2
．
故选：
A
．
3
．
（
3
分）若
x
1
+
x
2
＝
3
，
x
1
2
+
x
2
2
< br>＝
5
，则以
x
< br>1
，
x
2
为根的一元二次方程是（
）
A
．
x
2
﹣
3
x
+2
＝
0
B
．
x
2
+3
x
﹣
< br>2
＝
0
C
．
x
2
+
3
x
+2
＝
0
D
．
x
2
﹣
3
x
﹣
2
＝
0
【分析】利用完全平方公式计算出
x
1
x
2
＝
< br>2
，然后根据根与系数的关系写出以
x
< br>1
，
x
2
为根
的一元二次方程．
【解答】解
：∵
x
1
2
+
x
2
2
＝
5
，
∴（
x
1
+
x
2
）
2
﹣
2
x
1
x
2
＝
5
，
而
x
1
+
x
2
＝
3
，
∴
9
﹣
2
x
1
< br>x
2
＝
5
，
∴
x
1
x
2
＝
2
，
∴以
x
1
，
x
2
为根的一元二次方程为
x
2
﹣
3
x
+2
＝
0
．
故选：
A
．
4
．
（
3
分）
若关于
x
的一
元二次方程
（
k
﹣
2
）
x
2
﹣
2
kx
+
k
＝
6
有实数根，
则
k
的取值范围为
（
）
A
．
k
≥
0
B
．
k<
/p>
≥
0
且
k
≠
2
C
．
k
≥
D
．
k
≥
且
k
≠
2
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥
0
，即可得出关于
k
的一元一次不等式
组，解之即可得出
k
的取值范围．
< br>
【解答】解：
（
k
﹣
2
）
x
2
﹣
2
kx
< br>+
k
﹣
6
＝
0
，
∵
关于
x
的一元二次方程（
k
﹣
2
）
x
2
﹣
2
kx
< br>+
k
＝
6
有实数根，
∴
，
解得：
k
≥
且
k
≠
2
．
故选：
D
．
5
．
（
3
分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件
25
元降到每件
16
元，则平均每次
降价的百分率为（
）
A
．
20%
B
．
40%
C
．
18%
D
．
36%
【分析】设降价得百分率为
x
，根据降
低率的公式
a
（
1
﹣
x
）
2
＝
b
建立方程，求解即可．
【解答】解：设降价的百分率为
x
<
/p>
根据题意可列方程为
25
（
1
﹣
x
）
< br>2
＝
16
解方程得
，
（舍）
∴每次降价得百分率为
20%
故选：
A
．
6
．
（
3
分）如图，以点
O
为位似中心，把△
ABC
放大为原图形的
2
倍得到△
A
′
B
< br>′
C
′，以
下说法中错误的是（
）
A
．△
AB
C
∽△
A
′
B
′
C
′
B
．点
C<
/p>
、点
O
、点
C<
/p>
′三点在同一直线上
C
．
AO
：
AA
′＝
1
：
2
D
．
AB
< br>∥
A
′
B
′
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
<
/p>
【解答】解：∵以点
O
为位似中心，把△
ABC
放大为原图形的
2
倍得到△
A
′
B
′
C
′，
∴△
ABC
∽△
A
′
B
′
C
′，点
C
、点
O
、点
C
′三点在同一直线上，
AB
∥
A
′
B
′，
AO
：
OA
′＝
1
：
2
，故选项
C
错误，符合题意．
故选：
C
．
7
．
（
3
分）如图，将△
ABC
沿
< br>BC
边上的中线
AD
平移到△<
/p>
A
′
B
′
C
′的位置．已知△
ABC
< br>的面积为
16
，阴影部分三角形的面积
< br>9
．若
AA
′＝
1
，则
A
′
< br>D
等于（
）
A
．
2
B
．
3
C
．
4
D
．
【分析
】由
S
△
ABC
＝
16
、
S
△
A
′
EF
＝
9
且
AD
为<
/p>
BC
边的中线知
S
△
A
′
DE
＝
S
△
A
′<
/p>
EF
＝
，
S
△
）
2
＝
ABD
＝
S
△
ABC
＝
8
，根据△<
/p>
DA
′
E
∽△<
/p>
DAB
知（
，据此求解可得．
【解答】解：∵
S
△<
/p>
ABC
＝
16
、
S
△
A
′
EF
＝
9
，且
AD
为
BC
边的中
线，
∴
S
△
A
′
DE
＝<
/p>
S
△
A
′
EF
＝
，
S
△
ABD
＝
S
△
ABC
＝
8
，
∵将△
ABC
沿
BC
边上的中线
AD
平移得到△
A
'
< br>B
'
C
'
，
∴
A
′
E
∥
AB
，<
/p>
∴△
DA
′<
/p>
E
∽△
DAB
，
）
2
＝
）
2
＝
则（
，即（
，
解得
A
′
D
＝
3
或
A
′
D
＝﹣
（舍）
，
故选：
B
．
8
．
（
3
分）如图，在△
ABC
< br>中，点
D
，
E
< br>分别在
AB
，
AC
边上，
DE
∥
BC
，∠
ACD
＝∠
B
，若
AD
＝
2
BD
，
BC
＝
6
，则线段
CD
的
长为（
）
A
．
2
B
．
3
C
．
2
D
．
5
【分析】设
AD
＝
2
x
，
BD
＝
x
，所以
AB
＝
3
x
，易证△
ADE
∽△
ABC
，利用相似三角形
的性
质可求出
DE
的长度，以及
可求出得出
＝
，再证明△
ADE
∽△
ACD
，利用相似三角
形的性质即
，从而可求出
CD
的长度．
【解答】解：设
AD
＝
2
x
，
BD
＝
x
，
∴
AB
＝
3
x
，
∵<
/p>
DE
∥
BC
，<
/p>
∴△
ADE
∽
△
ABC
，
∴
∴
＝
＝
，<
/p>
＝
，
，
∴
DE<
/p>
＝
4
，
∵∠
ACD
＝∠
B
，<
/p>
∠
ADE
＝∠
B
，
∴∠<
/p>
ADE
＝∠
ACD
，
∵∠
A
＝∠
A
，
∴
△
ADE
∽△
ACD
< br>，
∴
＝
，
设
AE
＝
2
y
，
AC
＝
3
y
，
∴
＝
，
y
，
＝
，
，
∴
AD<
/p>
＝
∴
∴
CD
＝
2
故选：
C
．
9
．
（
3
分）如图，一艘轮船从位于灯塔
C
的北偏东
60
°方向，
距离灯塔
60
nmile
的小岛
A
出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔
< br>C
的南偏东
45
°方向上的
B
处，这时
轮船
B
与小岛
A
的距离是（
< br>
）
A
．
30<
/p>
nmile
B
．
60
nmile
D
．
（
30+30
）
nmile
C
．
120
nmile
【分析】过点
C
作
CD
⊥
AB
，则在
Rt
△
ACD
中易得
AD
的长，再在直角△
BCD
< br>中求出
BD
，相加可得
AB
的长．
【解答】解：过
< br>C
作
CD
⊥
AB
于
D
点，
∴∠
ACD
＝
< br>30
°，∠
BCD
＝
45
°，
AC
＝
60
．
在
Rt
△
ACD
中，
cos
∠
ACD
＝<
/p>
∴
CD
＝
AC<
/p>
•
cos
∠
AC
D
＝
60
×
，
＝
30
．
<
/p>
在
Rt
△
DCB
中，∵∠
BCD
＝∠
< br>B
＝
45
°，
< br>
∴
CD
＝
BD
＝
30
，
．
）
nmile
．
∴
AB
＝
AD
+
BD
＝
30+30
答：此时轮船所
在的
B
处与灯塔
P
的距离是（
30+30
故选：
D<
/p>
．
10
．
（
3
分）
如图，
正方形
ABCD
中，
点
E
、
F
分别在边
CD
，
AD
上，
BE
与
< br>CF
交于点
G
．
若
BC
＝
4
< br>，
DE
＝
AF
< br>＝
1
，则
GF
< br>的长为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】证明△
BCE
≌△
CDF
（
SAS
）
，得∠
CBE
＝∠
DCF
，
所以∠
CGE
＝
90
< br>°，根据等
角的余弦可得
CG
的
长，可得结论．
【解答】解：正方形
ABCD
中，∵
BC
＝
4
，
∴
BC
＝
CD
＝
AD
＝
4
，∠
BCE
＝∠
CDF
＝
90
°，
∵
AF
＝
DE
＝
1
，
∴
< br>DF
＝
CE
＝
< br>3
，
∴
BE
＝
CF
＝
5
，
在△
BCE
和△
CDF
中，
，
∴△
< br>BCE
≌△
CDF
（
SAS
）
，
∴∠
CBE
＝∠
DCF<
/p>
，
∵∠
CBE
+
∠
CEB
＝
∠
ECG
+
∠
CEB
＝
90
°＝∠
< br>CGE
，
cos
∠
CBE
＝
cos
∠
ECG
＝
，
∴
，
CG
＝
，
＝
，
∴
GF
＝
CF
﹣
CG
＝
5
﹣
故选：
A
．
11
．
（
3
分）不透明的袋子中只有
4
个黑球和
2
个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机
从袋
子中一次摸出
3
个球，下列事件是不可能事件的是（
）
A
．
3
个球都是黑球
C
．
3
个球中有黑球
B
．
3
个球都是白球
D
．
3
个球中
有白球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
<
/p>
【解答】解：
A
、
3
个球都是黑球是随机事件；
B<
/p>
、
3
个球都是白球是不可能事件；
C
、
3
个球中有黑球是必然事件；
D
< br>、
3
个球中有白球是随机事件；
故选：
B
．
12
．
（
3<
/p>
分）如图，△
ABC
中，
AB
＝
AC
＝
10
，
tan
A
＝
2
，
BE
⊥
AC
于点
E
，
D
是线段
BE
上的
一个动点，则
CD
+<
/p>
BD
的最小值是（
）
A
．
2
B
．
4
C
．
5
D
．
10
<
/p>
＝
2
，
设
AE
＝
a
，
BE
＝
2
a
，
BD
＝
CD
+
DH
，由垂
【分析】<
/p>
如图，
作
DH
⊥
AB
于
H
，<
/p>
CM
⊥
AB
于<
/p>
M
．
由
tan<
/p>
A
＝
利用勾股定理构建方程求出
a
，再证明
DH
＝
线段最短即可解决问题．
【解答】解：如
图，作
DH
⊥
AB
于
H
，
CM
⊥
AB
于
M
．
BD
，推出
CD
+