2020年湖南省衡阳市中考数学试题和答案
-
2020
年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共
12
个小题，每
小题
3
分，满分
36
< br>分．在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
< br>）
1
．
（
3
分）﹣
3
的相反数是（
）
A
．
3
B
．﹣
3
C
．
D
．﹣
2<
/p>
．
（
3
分）下列
各式中，计算正确的是（
）
A
．
a
3
+a
2
＝
a
5
B
．
a
3
﹣
a
2
＝
a
C
．
（
a
2
）
3<
/p>
＝
a
5
D
．
a
2
•
a
3
＝
a
5
3
．
（
3
分）
2019
年
12
月
< br>12
日，国务院新闻办公室发布，南水北调工
程全面通水
5
周年来，直接受益人口超过
1.2<
/p>
亿人，其中
1.2
亿用
< br>科学记数法表示为（
）
A
．
1.2
×
10
8<
/p>
B
．
1.2<
/p>
×
10
7
C
．
1.2
×
10
9
D
．
1.2
×
10
﹣
8
4
．
（
3
分）下列各式中
正确的是（
）
A
．﹣<
/p>
|
﹣
2|
＝
2
B
．
＝±
2
C
．
＝
3
D
．
3
0
＝
1
5
．
（
3
分）下面的图形是用数学家名字
命名的，其中既是轴对称图形
又是中心对称图形的是（
）
A
．
赵爽弦图
B
．
科克曲线
C
．
笛卡尔
心形线
D
．
斐波那契螺旋线
6
．
（
3
分）要使分式
A
．
x
＞
1
有意义，则
x
的取值范围
是（
）
C
．
x
＝
1
D
．
x
≠
0
B
．
x
≠
< br>1
7
．
（
3
分）
如图，
在四边形
ABCD
中，
对角线
AC
和
BD
相交于
点
O
，
第
1<
/p>
页（共
22
页）
下列条件不能判断四边形
ABCD
是平行四边形的是（
）
A
．
AB
∥
DC
，
AD
∥
BC
C
．
AB
∥
DC
，
AD
＝
BC
B
．
AB
＝
DC
，
AD
＝
BC
D
．
OA
＝
OC
，
OB
＝
OD
8
．
（
< br>3
分）下列不是三棱柱展开图的是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
9
．
（
3
分）
不等式组
的解集在数轴上表示正确的是
（
）
A
．
C
．
B
．
< br>D
．
10
．
（<
/p>
3
分）反比例函数
y
＝
经过点（
2
，
< br>1
）
，则下列说法错误的是
（<
/p>
）
A
．
k
＝
2
B
．函数图象分布在第一、三象限
C
．当
x<
/p>
＞
0
时，
y
随
x
的增大而增大
D
．当
x<
/p>
＞
0
时，
y
随
x
的增大而减小
11
．
（
3<
/p>
分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长
35
米、
第
2
页（共
22
页）
宽
20
米的
矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽
的小道，使种植面积为
600
平方米，则小道的宽为多少米？若设
小道的
宽为
x
米，则根据题意，列方程为（
）
A
．
35
×
20
﹣
35x
﹣
20x+2x
2
＝
600
B
．
35
×
20
﹣
35x
﹣
2
×
20x
＝
600
C
．
（
35
﹣
2x
）
（
20
﹣
x
）＝
600
D
．
（
35
﹣
x
）
（
20
﹣
2x
）＝
600
12
．
（
3
分）如图
1
，在平面直角坐标系中，
▱
ABCD
在第一象限，且
BC
∥
x
轴．
直线
y
＝
x
从原点
O
出发沿
x
轴正方向平移，
在平移过<
/p>
程中，
直线被
▱
ABCD
截得的线段长度
n
与直线在<
/p>
x
轴上平移的距
离
m
的函数图象如图
2
所示．那么
▱
ABCD
的面积为（
）
A
．
3
B
．
3
C
．
6
D
．
6
二、填空题（本大题共
6
个小题，每小题<
/p>
3
分，满分
18
分．
）
13
．
（
3
分）因式分解：
a
2
+a
＝
< br>
．
14<
/p>
．
（
3
分）计算
：
﹣
x
＝
．
15
．<
/p>
（
3
分）
已知一
个
n
边形的每一个外角都为
30
°，
则
n
等于
．
第
3
页（共
22
页）
16<
/p>
．
（
3
分）
一副三角板如图摆放，
且
AB
∥
CD
，
则∠
1
的度数为
．
17<
/p>
．
（
3
分）某班
有
52
名学生，其中男生人数是女生人数的
2
倍少
17
人，则女生有
名．
18
．
（
3
分）如
图，在平面直角坐标系中，点
P
1
的坐
标为（
，
）
，
将线段
OP
1
绕点
O
按顺时针方向旋转
45
°，
再将其长度伸长为
OP
1
< br>的
2
倍，得到线段
OP
2
；又将线段
OP
2<
/p>
绕点
O
按顺时针方向旋转
45
°，长度伸长为
OP
2<
/p>
的
2
倍，得到线段
OP
3
；如此下去，得到线
段
OP
4
，
OP
5
，
…，
OP
n
（
n
为正整数）<
/p>
，
则点
P
202
0
的坐标是
．
三、解
答题（木大题共
8
个小题，
19
～
20
题每题
6
分，
21
～
24<
/p>
题每
题
8
分，<
/p>
25
题
10
分，
26
题
12
分
，
满分
66
分．
解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
）
19
．
（
6
分）化简：
b
（
a+b
）
+
（
a+b
）
（
a
﹣
b
）
．
20
．
（
< br>6
分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的
2
个黑
球和
n
个
白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概
第
4
页（共
22
页）
率为
．
（<
/p>
1
）求
n
的值；
（
2
）所有
球放入盒中，搅匀后随机从中摸出
1
个球，放回搅匀，
再随机摸出第
2
个球，求两次摸球摸到一个白球
和一个黑球的概
率．请用画树状图或列表的方法进行说明．
<
/p>
21
．
（
8
分）如图，在△
ABC
中，∠
B
＝∠
C
，过
BC
的中点
D
作
DE
⊥
AB
，
DF
⊥
AC
，垂足分别为
点
E
、
F
．<
/p>
（
1
）求证：
DE
＝
DF
；
（
2
）若∠
BDE
＝
40
°，求∠
BAC
的度数．
22
．
（<
/p>
8
分）病毒虽无情，人间有大爱．
202
0
年，在湖北省抗击新冠
病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外
）共有
30
个省（区、市）
及军队的医
务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支
援湖北省．全国
30
个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频
数分布直
方图
（不完整）
和扇形统计图如下：
（
数据分成
6
组：
100
≤
x
＜
500
，
500
≤
x
＜
900
，
900
≤
x
＜
1300
，
1300
≤
x
＜
1700
，
170
0
≤
x
＜
21
00
，
2100
≤
x
＜
2500
．
< br>
第
5
页（共
< br>22
页）
根据以上信息回答问题：
（
1
）补全频数分布直方图．
< br>（
2
）求扇形统计图中派出人数大于等于
100
小于
500
所占圆心角
度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“
9
0
后”也有“
00
后”
，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集
支援湖北省抗疫宣传资料时得到
这样一组有关“
90
后”医务人员
的数
据：
C
市派出的
1614
名医护人员中有
404
人
是“
90
后”
；
H
市派出的
338
名医护人员中有
103
人是“
90
后”
；
B
市某医院派出的
148
名医护人员中
有
83
人是“
90
后”
．
（
3
）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务
人员（按
4.2
万人计）中，
“
90
后”大约有多少万人？（写出计算
过程
，结果精确到
0.1
万人）
23
．
（
8
分）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的
边缘线
OB
与底板的边缘线
OA
所在水平线的夹角为
120
°时，感
第
6
页（共
22
页）
觉最舒适
（如图
①
）
< br>．侧面示意图为图
②
；
使用时为
了散热，他在
底板下面垫入散热架，如图
③
，点
B
、
O
、
C
在同一直线上，
OA
＝
OB
＝
24cm
，
BC
⊥
AC
，∠
OAC
＝
30<
/p>
°．
（
1
）求
OC
的长；
（
2
）如图
④
，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线
OB'
与水平线
的夹角仍保持
120
°，求点
B
′到
AC
的距离．
（结果保留根号）
<
/p>
24
．
（
8
分）如图，在△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，
AD
平分∠
BAC
交
BC
于
点
D
，过点
A
和点
D
的圆，圆心
O
在线段
AB
上，
⊙
O
交
AB
于
点
E
，交
AC
于点
F
．
（
1<
/p>
）判断
BC
与
⊙
O
的位置关系，并说明理由；
（
2
）若
AD
＝
8
，
AE
＝
10
，求
BD
的长．
25
．
（
10
分）
在平面直角坐标系
xOy
中，
关于
x
的二次函数
y
＝
x
2
+px+q<
/p>
的图象过点（﹣
1
，
0
）
，
（
2
，
0
）
．<
/p>
（
1
）求这个
二次函数的表达式；
（
2
）求当﹣
2
≤
x
≤
1
时，
y
的最大值与最小值的差；
（
3
）
一次函数
y
< br>＝
（
2
﹣
m
）
x+2
﹣
m
的图象与二次函数
y
＝
x
2
+px+q
第
7
页（共
22
页）<
/p>
的图象交
点的横坐标分别是
a
和
b
，
且
a
＜
< br>3
＜
b
，
求
m
的取值范围．
26
．
（<
/p>
12
分）
如图
1
，
平面直角坐标系
xOy
中，
等腰△
ABC
的底边<
/p>
BC
在
x
轴上，
BC
＝
8
，顶
点
A
在
y
的正
半轴上，
OA
＝
2
，一动点
E
从（
3
，
0
）出发，以每秒
1
个单位的速度沿
CB
向左运动，到达
OB
的中点停止．另一动点
F
< br>从点
C
出发，以相同的速度沿
C
B
向左运动，
到达点
O
停止．已知点
E
、
F
同时出发，以
EF
为边作
正方形
EFGH
，使正方形
EFGH
和△
ABC
在
BC
的同侧，设运动
的时间为
t
秒（
t
≥
0
）
．
（
1
）当点
H
落在
AC
边上时，求
t
的值；
（
2
）设正
方形
EFGH
与△
ABC
重叠面积为
S
，
请问是否存
在
t
值，
使得
S
＝
？若存在，求出
t
值；若不存在，请说明理由；
（
3
）如图
2
，取
< br>AC
的中点
D
，连结
OD
，当点
E
、
F
开始运动时，
点
M<
/p>
从点
O
出发，以每秒
2
个单位的速度沿
OD
﹣
DC
﹣
CD
﹣
DO
运动，到达点
O
停
止运动．请问在点
E
的整个运动过程中，
点
M
可能在正方形
EFGH
内（含边界）吗？如果可能，求出点
M
在正方形
EFGH
内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．
第
8
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页）
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2020
年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本
大题共
12
个小题，每小题
3
分，满分
36
分．在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
）
1
．
【解答】解：﹣
3
的相反数是
3
．
< br>
故选：
A
．
2
．
【解答】解：
a
3
+a
5
不是同类项，它是一个多项式，因此
A
选项不
符合题意；
同上可得，选项
B
不符合题意；
（
< br>a
2
）
3
＝
a
2
×
3
＝
a
6
，因此
选项
C
不符合题意；
a
2
•
a
3
＝
a
2+3
＝
x
5
，因此选项
D
符合题意；
故选：
D
．
3
．
【解答】解：
1.2
亿＝
120000000
＝
1.2
×
10
8
．
故选：
A
．
4
．
【解答】解：
A
、﹣
|
﹣
2|
＝﹣
2
，故此选项错误；
B
、
C
、
＝
2
，故此选项错误；
≠
3
，故此
选项错误；
D
、
3
0
＝
1
，故此选项正确；
故选：
D
．
5
．
【解答】解：
A
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不
合题意
；
第
10
页
（共
22
页）
B
、既是
中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D
、
既不是轴对称图形，
也不是中心对称图形，
故此选项不合题意．
故选：
B
．
6
．
【解答】解：要使分式
解得：
x
≠
1
．
故选：
B
．
7
．
【解答】解：∵
< br>AB
∥
DC
，
< br>AD
∥
BC
，
< br>
∴四边形
ABCD
是平行四边
形，故选项
A
中条件可以判定四边形
A
BCD
是平行四边形；
∵
AB
＝
DC
，
AD
＝
BC
，
∴四边形
ABCD
是平
行四边形，故选项
B
中条件可以判定四边形
ABCD
是平行四边形；
∵
AB
∥
DC
，
AD
＝
BC
，则无
法判断四边形
ABCD
是平行四边形，
故选项
C
中的条件，不能判断四边形
A
BCD
是平行四边形；
∵
OA
＝
OC
，
OB
＝
OD
，
∴四边形
ABCD
是平
行四边形，故选项
D
中条件可以判定四边形
ABCD
是平行四边形；
故选：
C
．
8
．
【解答】解：
A
、
C
、
D
中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、
下两个三角形围成
三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，
均是三棱柱的表面展开图．
第
11
页（共
22
页）
有意义，则
x
﹣
1
≠
0
，