(完整版)中学《生活中的数学》校本课程教材
男人为什么喜欢亲胸-
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《生活中的数学》校本课程
目录
第一讲：生活中的趣味数学
第二讲：
数学中的悖论
第三讲：对称——自然美的基础
第四讲：斐波那契数列
第五讲：龟背上的学问
第六讲：巧用数学看现实
第七讲：运用数学函数方程解决生活中的问题
第八讲：生活中的优化问题举例
第一讲：
生活中的趣味数学
1
．“荡秋千”问题：
我国明朝数学家程大位（
1533
～
1606
年）写过一本数学著作叫做《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有
关
的数学问题是用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高
曾记；
仕女佳人争蹴，终朝笑语
欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译
成现代汉语大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地
1
尺，
将它往前推送
10
尺（每
5
尺为一步），秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为
5
尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？
下面我们用勾股定理知识求出答案：
如图，设绳索
AC=AD=x
（尺），则
AB=
（
x+1
）
< br>-5
（尺），
BD=10
（尺）
2
2
2
2
2
2
在
Rt
△
ABD
中，由勾
股定理得
AB
+BD
=AD
，即（
x-4
）
+10<
/p>
=x
，
解得<
/p>
x=14.5
，即绳索长为
14.5
尺．
2
．方程的应用：
< br>小青去植物园春游，回来以后爸爸问他春游花掉多少钱。小青并不直接回答，却调皮地说：“我带出去的钱 正
好花了一半，剩下的元数是带出去角数的一半，剩下的角数与带出去元数相同。”爸爸
踌躇一下，有些为难。
你能否帮助他把钱数算出来，小青到底
带了多少钱？花了多少钱？还剩多少钱？
方法一：设带出去<
/p>
x
元
,y
角
.
根据
剩下的元数
是带出去角数的一半
知道
y
是偶数
花了的钱分
x<
/p>
为奇数与偶数情况
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（
1<
/p>
）
x
是奇数时候
,
花一半就是花了
=
剩下
=(x-1)/2
元
,(y/2+5)
角
根据后面两句话知道
,
剩下
=y/2
元
,x
角
有二元一次方程组
:(x-1)/2=y/2,y/2+5=x
解得
x=9,y=8
（
2
）
x
是偶数时候
,
花一半就是花了
=
剩
下
=x/2
元
,(y/2+5)
角
剩下的同上面情况
有二元一次方程组
:x/2=y/2,y/2+5=x
解得
x=y=10
但是没有
10
角钱说法
不符合实际（舍）
∴答案是
9
元
8
角
方法二：设带出去
X
元<
/p>
Y
角，还剩
a
元
b
角
按照用掉一半还剩一半的等式：
10a + b = ( 10x + y)/ 2
又因为：
a = y / 2
b
= x
带入等式化简即可得：
x / y = 9 / 8
因为
y
只能是小于
10
的整数
所以，小青带
了
9
元
8
角！
用了
4
元
9
角
，还剩
4
元
9
角！
3
．工资的选择：
< br>假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择：
（
A
）
工资以年薪计，第一年为
4000
美元以后
每年加
800
美元；
（
B
）
工资以半年薪计，第一个半年为
2000
美
元，以后每半年增加
200
美元。
你选择哪一种方案？为什么？
答案：第二种方案要比第一种方案好得多
4
．我们大家一起来试营一家有
80
间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富。
经调查得知，
若我们把每日租金定价为
160
元，则可客满；而租金每涨
20
元，就会失去
3
位客人。
每间住了人的
客房每日所
需服务、维修等项支出共计
40
元。
问题：我们该如何定价才能赚最多的钱？
< br>答案：日租金
360
元。
<
/p>
虽然比客满价高出
200
元，因此失去<
/p>
30
位客人，但余下的
50
位客人还是能给我们带来
360*50=18000
元的收
入；
扣除
50
间房的支出
40*50=2000
元，每日净赚
16000
元。而客满时净利润
160*80-40*80=9600
元。
当然，所
谓“经调查得知”的行情实乃本人杜撰，据此入市，风险自担
。
第二讲
数学中的悖论
“悖论”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛
盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论有三种主要形式。
1
．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（
佯谬）。
2
．一种论断看起来好像肯
定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3
．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“
这套戏法是怎么
搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数
学世界之中。正因为如此，悖论就成了一
种十分有价值的教学手段。
悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数
学”知名于世。这就是说它
带有强烈的游戏色彩。然而，切莫以为大数学家都看不起“趣
味数学”问题。欧拉就是通过对
bridge-crossing
之
谜的分析打下了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方
格中插小木条的游戏）时分析
问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定
理。冯·纽曼奠基了博弈论。最受大众欢迎的计算机游
戏—生命是英国著名数学家康威发
明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。
悖论一览
1
．
理发师
悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理
发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？
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如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的
规定，又应该给自己
理发。这样，理发师陷入了两难的境地。
2
．
芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前
5
世
纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著
名的悖论：他提出让阿基里
斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头
1000
米开始。假定阿基里斯能
够跑得比乌龟快
10
< br>倍。比赛开始，当阿基里斯跑了
1000
米时，乌龟仍前
于他
100
米；当阿基里斯跑了下一个
100
米时，乌龟依然前于他
10
米…
…所以，阿基里斯永远追不上乌龟。
3
．
说谎者
悖论：公元前
6
世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有
如此断言：“所有克里特人所说的
每一句话都是谎话。”
如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话
——所有克里特
人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克
里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真
话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话
，两者又相悖。
所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。
公元前
4
世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论
：“我现在正在说的这句话是真的。”同上，这又是难以自圆其
说！
4
．
跟无限相关的悖论：
{1
，
2
，
3
，
4
，
5
< br>，…
}
是自然数集：
{1
，
4
，
9
，
16
，
25
，…
}
是自然数平方
的数集。
这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每
个集合中有一样多的元素吗？
5
．
伽利略
悖论：我们都知道整体大于部分。由线段
BC
< br>上的点往顶点
A
连线，每一条线都会与线段
DE(D
点在
AB
上
,E
点在
AC
上
)
相交，因此可得
DE
与
BC
一样长，与图矛盾。为什么？
6
．
谷堆悖论：显然，
1
粒谷子不是堆；<
/p>
如果
1
粒谷
子不是堆，那么
2
粒谷子也不是堆；
如果
2
粒谷子不是堆，那么
3
粒谷子也不是堆；
……
如果
99999
粒谷子不是堆，那么
100
000
粒谷子也不是堆；
7
、“意外绞刑”悖论：“一名囚犯被法官告知将于周一到周五间的某一天被绞死。
法官并且声明说：
绞刑
的具体日期将是完全出人意料的。
这个囚犯非常聪明
(
也许以前是逻辑
学教授
)
，
他由此推断出他根本不会被绞
死，为什么？
他由此推断出绞刑一定不会安排在周五，
因为否则的话，
前四天一过他就知道绞刑的具体日期了，
但法官
说过具体日期会是完全出人意料的。
法官是不会撒谎的，
因此绞刑不可能在周五。
排除了周五，
就只剩下四天
了。
但是依据同样的推理，
周四也可以被
排除掉，
...
，
以此类推，
最终每一天都可以排除掉。
于是他得出令
人欣慰的结论：
他根本不会被绞死。
可是到了周二法官却突然宣布执行绞刑，
大大出乎了他的意料！
而这，
恰
恰证明法官的确没有撒谎。”
1
、小丁和小明、小红三个小朋友并
排在有灰尘的楼梯上同时从顶上向下走。小明一步下
2
阶，小红
一步下
3
阶，小丁一步下
4
阶，如果楼顶和楼底均有所有三个人的脚印，那么仅有一个人脚印的楼梯最少有几级？
2
、偶数的难题
在很久以前，一个年迈的国王要为自己的独生公主选女婿，一时应者如云。国王于是想出了比武
招亲的办法。
经过文试、武试，三个英俊的小伙子成为最后的人选。要从这三个难分高下
的小伙子中选出一个女婿来，可真难为
了国王。他绞尽脑汁想出了一个方法。国王命人拿
出一个
4*4
的方格，将
16
枚棋子依次放在
16
个方格中。国王对
三个小伙子说：“现在你们从这１６枚棋子中随便拿去６个，但要保证纵、横行列中留下的都是偶
数枚棋子。这三
个小伙子犯难了，最后，其中一个小伙子终于解开了这道难题，迎娶了公
主。请问这个小伙子是怎样解开这道难题
的？
第三讲：
对称——自然美的基础
在丰富多彩的
物质世界中，对于各式各样的物体的外形，我们经常可以碰到完美匀称的例子。它
们引起
人们的注意，令人赏心悦目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝
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壳都使人着迷；
蜂房的建筑艺术，
向日
葵上种子的排列，
以及植物茎上叶子的螺旋状颁都令我们惊讶。
仔细的观察表明，
对称性蕴含在上述各种事例之中，
它从最简单
到最复杂的表现形式，
是大自然形式
的基础。
< br>
< br>花朵具有旋转对称的性征。花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣原来的位置，
< p>花朵就自相重合。
旋转时达到自相重合的最小角称为元角。
不同的花这个角不一样。
例如梅花为
72
°，
水仙花为
60
°。
“对称”在生物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造，分两侧对称（如蝴蝶），
辐射对称（放射虫，太阳虫等）。我国最早记载了雪花是六角星形。其实，雪花形状千奇百怪，
但又
万变不离其宗（六角星）。既是中心对称，又是轴对称。
很多植物是螺旋对称的，即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己的初始位置重合。例
如树
叶沿茎杆呈螺旋状排列，
向四面八方伸展，
不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。
这种有趣的现象叫叶
序。向日葵的花序或者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种表现形式。
“晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫的名言。无
怪乎在古典童话故事中，奇妙的
宝石交织着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵。在王冠上
，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰
的魅力。
第四讲：
斐波那契数列
斐波那契数列在自然界
中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。
（
1
）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫
瑰、南美血根草、大
波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。
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（
2
）细察以下花的类似花瓣部分，它
们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。
斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：
3
………………………百合和蝴蝶花
5
………………………蓝花耧斗菜、金凤花、
飞燕草
8
………………………翠雀花
13
………………………金盏草
21
………………………紫宛
3
4
，
55
，
8
4
……………雏菊
（
3
）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排
列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，
记其为数
0
，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子
数多半是斐波那契数。
叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一
个循回。
叶子在一个循回中旋转
的圈数也是斐波那契数。
在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序
（源自希腊词，
意即叶子
的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
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（
4
）斐波那契数有时也称松果数，因
为连续的斐波那契数会出现在松果的左和右的两种螺旋形
走向的数目之中。
这种情况在向日葵的种子盘中也会看到。
此外，
你能
发现一些连续的鲁卡斯数吗？
（<
/p>
5
）菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物。对于菠萝，我们可
以去数一下它表面上六角形
鳞片所形成的螺旋线数。
斐波那契数列与黄金比值
相继的斐波那契数的比的数列：
它们交错地或大于或小于黄
金比
的值。
该数列的极限为
。
这种联系暗示了无论
（尤其在自然现
象中）在哪
里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。
第五讲：
龟背上的学问
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传说大禹治水时，在一次疏通河道中，挖出了一只大龟，人们很是惊讶，争相观看，只见
龟背上
清晰刻着图
1
所示的一个数字方
阵。
这个方阵，按《孙子算经》中筹算记数的纵横相间制：“凡算之法，先识其位。一纵十横
，百立
千僵，千十相望，万百相当。六不积算，五不单张。”可译成现代的数字，如图<
/p>
2
所示。
方阵包括了九个数字，
每一行一与列
的数字和均为
15
，
两条对角线上的数
也有相同的性质。
当时，
人们以为是天神相助，
治水有望了。
后来，
人们称刻在龟背上的方阵为
“幻方”
(
国外称为
“拉丁方”
)
，
属于组合数学范畴。使
用整数
1
—
9
构成的
3
×
3
阶“拉丁方”唯一可能的和数是
15
，这一点只要把这
“拉丁方”中所有数加起来便可证明，
1
十
2
十
3
十
4
十
5
十
6
十
7
十
< br>8
十
9
＝
45
，要把这几个数分
配到三行
(<
/p>
或列
)
使得每行
(
或列
)
有同样的和，那么，每行
(
或列
)
的和应为
45
／
3
＝<
/p>
150
组合数学是数学中的一个分支
，在实际生活中应用很广泛，请看下面的例子。
5
名待业青年，
有
7
项可供
他们挑选的工作，
他们是否能找到自己合适的工作呢
?
由于每个人的文
化水平、
兴趣爱好及性别等原因
，
每个人只能从七项工作中挑选某些工种，
也就是说每个人都有
一张
志愿表，最后根据需求和志愿找到一个合适的工作。
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