名人名言摘录
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名人名言摘录
一
激活的理论
要证明一个几何题
，从认知心理学看，其本质是寻找条件与结论之间
的逻辑蕴涵关系，这个过程有三个阶段
：知识点被激活；思路点的扩张力及按条件与结论之
间的线索接通的三阶段。什么是思路
点呢？
“在证明命题时，
认知结构中首先被激活的知识点叫做思路点。
【
1
】
”
什么是思路点的扩张力？“认知结构中各思路点
的激活能力与向外扩展的能力称为扩展力，
”
【
2
】这里既有量的指标，又有质的指标，量的指标是指一个思路点激活其它知识
点的数量，
质的指标是指一个思路点激活其它知识点的正确与清晰的程度。
二
关于“对一题多证
(
或一题多解”
的论述
有句名言说“一个
新想法是旧成份的新组合
??
它是开启新想法大门的
钥匙
,
没有新成分
,
只有新组合
.
”
这是对一题多证
(
或一题多解
)
的辩证论述
,
国际数学教
育家
g.
波利亚说
:
“重新组合的可能性是无限的
,
困难
的问题需要一种神奇的不寻常的崭
新的组合
,
而解题者的才能就在于组合的独特性
.
”
三比较数学
比较是在思维中确
定所研究的对象的相同点和不同点。
“
在比较中认识
一切
[1]
”
这是一句格
言，
它一针见血地说明了比较在认识中的作用，
比较既是一种研
究方法，
又是认知的一种策略。它不但用于研究对象的数学性质，也用于证实这些数学性
质。
比较数学就是将两
个数学概念、推理、证明和两个数学题进行类似比
较而发现异同的数学。比较数学在数学
教学中应该有它特殊的认识作用。
唐朝魏徵说
:
“以史为鉴
,
可以知兴替
,
以铜为
鉴
,
可以正衣冠
,
以人
为鉴
,
可以知得失”
(
引自《贞观纪要》
),
四
以退求进的策略
普遍化就是从考虑
一个对象过渡到考虑包含该较小集合的更大的集
合
.
而特殊化是从考滤一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中的一个较
小的集合
,
或仅仅一个对象
.
华罗庚教授说的
:
“要善于退
,
足够地退，
退到最原始而又不失去重要
性的地方是学好数学的一个决窍
.
”
他还说：
“”
五
数形结合的理论
中考题之展现出
“数形结合”
的数学思想，
表现出数与形常结合在一
起，<
/p>
在方法上相互渗透、
在内容上相互联系、
在一定的条件下相互转化、
在认识上相互促进、
在理解上相互补
充、共同促进学生的数学思维能力的提高。
华罗庚还说：
“数与形，
本是相倚依，
焉能分作两边飞；
数无形时少直
觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家
万事休；切莫忘，几何代数流一体，永远
联系莫分离。
”
什么是数形结合的思想呢？
数和形数学对象表现出的两个侧面，也是数学中最基本的研究对象，
还是数学发展进程中的两大支柱，笛卡尔第一个把变量通过坐标引入数学，就为数和形的结
< br>合、转化提供了可能，也给数学提供了一个双向的工具；几何概念可以用代数表示（如正方
形的几何概念用代数式
a
来表示，
正方体体的几何概念用代数式
a
来表示，
< br>等，
）
反之，
代数
语言也可用几何来解释，同一事物的两个侧面：数和形相互联系又相互转化的思想就是数形
结合的思想。
数学家拉格朗日说
:
“只要代数与几何分道扬镳
,
它们的进展就缓慢
,
它们的
应用就狭窄
,
但是当两门科学结合成伴侣
,
它们就互相吸取新鲜活力
,
从那以后
,
就以快速
的步伐
23
走向完善
.
”
①选择题概念
所谓直接法是直椄从题设的条件出发
,
通过合理的运算
,
严格的推理
,
从而得出正确的结果
,
以确定选择支与迷惑支的方法
.
所谓验证法是通过分析确定适当的手段进行验证
,
或将各选择支逐一
代入题干中的亊项进行验证
,
以判定选择支正误的方法
.
所谓排除法是通过
逻辑判断肯在所有的选择支中除－个外其余都是迷
惑支，从而找出正确答案的方法。
所谓数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓
,
是知
识转化为能力的桥梁
,
有着普遍应用的意义
.
所谓分类讨论的数学思想是针对问题中含有变数或参数
,
或针对问题
的不同方靣进行既不重复
,
又不遗漏地分类叙述
,
才能使解题步骤完整的思想方法
.
所谓数形结合思想
是把数与形这两个最古老、最基本的研究对象，实
现互相转化，使得抽象变直观、陌生变
熟悉、复杂变简单、一般变具体、使问题迅速获解的
－种思想方法。
解客观题的方法有直接法、排除法、特殊值法、验证法、图象法、正负数分
析法、奇偶数分析法、质数与合数分析法、等等
.
所谓直接法是直椄从题设的条件出发
,
通过合理的运算
,
严格的推理
,
从而得出正确的结果
,
以确定选择支与迷惑支的方法
.
所谓正负数分析法
是根据正负数加、减、乘、除、乘方的法则及逻辑
判断，区分选择题的选择支与迷惑支，
从而找出正确答案的方法。
②题组的定义
所谓设计题组是围
绕某一训练目标，精心设计－批由浅入深、且有代
表性的、有內在联系的、并将知识、方
法、技能、能力融为一体、使学生在解题过程中欣赏
到题组的内部规律，感知到组內蘊涵
到的递进性、类比性、延伸拓展性、联想性、猜想性，
从而更深刻地理解知识与方法。<
/p>
何谓题组教学呢？“题组”
，
就是在教师备课时，将教学本身的科学
性和人对科学的认识规律，有机
地结合起来，根据教学目的、教学内容、教学方法、学生接
受能力、精心选编的－组例题
或习题，这类题简称“题组”
。
①徐利治教授谈数
学哲学：把数学哲学和数学史的研究成果运用于数
学教育过程之中
,
促进数学的哲学、
历史和教育三者的有机结合
,
则是这方面一个值得探索的、
很有希望的方向。<
/p>
实际上
,
从
i9
世纪以来
,
已有不少数学家和数学教育
家从不同角度进行过一
这方向的探索。如「
f~klein
的《
19
世纪数学史讲义》
,g.?poiya
的《数学的发现》
、
《数学
与猜想》
等著作中便运用了许多数学史和数学
哲学研究的成果
.2o
世纪
6o
年代以来关于
“新
数学”
教育功过是非的讨论
,
也是在数学哲学和数学史背景上进行
的
.
近十几年来
,
国内外数学
教育界对数学哲学和数学史表现出越来越浓厚的兴趣
,
这绝不是偶然的
.
然而
,
这样一种自然
趋势
,
若不从理论上即实践上加以概括总结
,
进行分析研究
,
是很难深入、持久地发展下去的
.
一
将数学哲学研究成
果运用于数学教育之中，对于培养学生的数学思维
能力有何影响呢？数学哲学研究大体上
可分为数学本体论、数学认识论、数学方法论这三方
面
数学本体论主要研究数学对象的性质及存在方式
.
在数学史上
,
数学对
象的含
义有过多次的变化
,
这种变化在数学教育中有所反映
:
有经验的教师都知道
,
学生在开
始接触“用字母表示数”的观念以及虚数、微积分等概念时
,
很容易感到困惑
,
因为这正是数
学对象的含义发生变化的时期
.
今天学
生们理解上的困惑
,
在一定意义上正是历史上思想困惑
的逻辑“重演”
。因此
,
考察数学对象的历史演变
,
总结前人在
理解数学对象演变时的经验教
训
,
无疑
对今天的数学教育有着重要启发意义
.
在数学教育中
,
应当帮助学生理解数学对象的
现实意义
,
并从中锻炼如何从现实世界中提炼数学对象的能力
.
而数学本体论研究提供了培
养这种能力的思想基础。<
/p>
数学本体论还要研究数学模型的性质和构成方式问题
,
这方面的研究
对培养学生数学思维能力也很有指导意义
.
建立和处理数学模型的过程
,
就
是实践一理论一实
践的过程。数学教育的一项重要任务
,
就是培养学生建立和处理数学模型的能力
.
而
要培养这
种能力
,
必须不断深化对数学
模型的一股性质和构成方式的了解。在数学教育中
,
经常可以发
现有些学生对解决应用问颗不感兴趣
,
或感到困难
.
他们不善于建立数学模型
,
面对实际问题
无从下手
,
或无法使构造的数学模型具有可解性
.
造成这种状
况的主要原因之一
,
正是在于他
们对数
学模型的意义、价值、性质和构成方式缺乏必要的了解
.
数学认识论主要研
究数学认识过程的特点和规律性
.
这方面的研究成
果能用于指导数学教育过程中的认识活动
,
使教师能
根据学生认识能力发展的规律来选择和
确定适当的教学形式
,<
/p>
以提高教学质量
.
数学认识过程是数学认
识主体与客体相互作用的过程
.
在数学教育中
< br>,
主客体相互作用表现为进行数学认识和实践活动的人对数学对象的理解、
掌握
和运用。数学教育的认识过程往往表现为从基本概念和原理出发<
/p>
,
逐渐展开理论体系
,
< br>使讨论
的内容逐渐接近实际问题
.
这种特殊的认识过程一方面是数学教育所必需的
,
另一方面又
容易
使学生误认为数学认识活动中可以没有实践环节
,
因而把对数学知识的学习变成对基本概念、
原理、公式的死记硬背
,
最终导致运用数学知识分析问题和解决问题的能力的缺乏
.
只有通过
数学实践
,<
/p>
才能获得正确的数学认识。然而
,
在数学
教学中如何确定认识与实践环节的比重和
相互作用途
径
,
如何更快更好地在学生头脑中建构数学知识
的逻辑体系
,
同时又避免
“从理论
到理论”
的倾向
,
这些问题的深人解决
,
都有待于对数学认识活动中主客体关系的
进一步探究
.
数学认识论研究还
涉及数学抽象、数学经验、数学直觉、数学美等因
素在数学认识活动中的作用
.
这方面的研究对于培养学生的数学思维能力也是很有价值的
.
学
生对这些因素的理解和运用
.
大体上都是从具体直观的印象出发
,
逐渐深化和严格化
.
数学教
师应针
对不同年龄、同接受能力的学生
,
用不同层次和程度的语言去讲
解抽象、经验、猜测、
想像、
直觉等因素的含义
,
引导他们循序渐进地发展数学思维能力。
如果教师把
自己的理解生
硬地灌输给学生
,
必然会
有适得其反的效果
.
须知能力教学并不像知识教学那样
,
可以把教师
理解的东两平移到学生那里去
,
这就是数学认识论带来的重要启示
.
数学认识论研究在数学教育中的作用
,
还可以表现为对数学教学方式
和方法的影响
.
< br>通过
深入探讨学生认识活动过程的各个环节及其相互作
用的规律性
.
可以为
设计适当的教学环
境、
教学程序和教学手段提供指导或参考意见
,
还可以有针对性地克服学生
认识过程中的思想障碍
,<
/p>
发掘其认知潜在能力。
数学方法论主要研
究数学思维活动的一般规律和方法
.
近年来
,
数学方
法论受到数学教育界的较多关注
< br>.
很多数学教师已直接将有关的数学方法论知识引人数学教
学之中
.
有必要指出
,
数学方法论毕竟是数学哲学层次上的理论成果
,
是以
数学本体论和认识
论为理论基础的
.
如
果急于将数学方法论成果变成一种技巧或工具
,
并降低到经验层
次上使用
,
那只能给数学方法论在数学教育中的应用带来不利影
响。
数学方法论主要研
究数学中各种思维方法的性质和作用
,
包括演绎、
归
纳、
综合
`
化归、
形式化、
公理化等数学教育中经常强调的方法
,
以及观察、
实验、
< br>合情推理、
逆向思维等容易被忽略的方法。
波利亚
（
g.?po1ya
关于数学发现规律和合情
推理模本的论述
,
阿卡托斯
（
l~lakatos
）
关于数学证明与反驳的
讨论
,
都充分考虑数学教育的需要
,<
/p>
可以直接应
用于数学教学活动之中。
数学方法论研究的另一课题
,
是讨论数
学思维的训练方式和途径
,
这是
一个更
接近数学教育的研究领域
.
数学是一门思维的艺术。
数学思维的活动过程中有方法论因
素
,
即运用各种方
法分析和处理实际
问题。
数学思维的发展中也有方法论因素
,
即通过适
当方式和途径培养人们的数学思维品质和思维能力
,
完善数学思维结构本身
.
数学思维品
质和
能力的发展变化
,
又与人的大脑生
理结构和机能有密切关系
.
神经生理学研究表明
,
大脑左半
球主要承担抽象思维收敛思维的任务
,
大脑右半球主要承担发散思维的任务。
两半
球的思维活
动相互影响
,
相互促进。笔
者曾在《数学与思维》
(
参见文献
[1]
徐利治，王前
数学与思维
长沙湖南教育出版社
1990)
一书中
对数学与左脑思维、数学与右脑思维、数学思维过程中左右脑的配合
等问题作过较详尽的讨论
,
这里不再赘述。
数学思维的训练要考虑到这一因素。
既注意各种思
维品
质和能力的分别训练
,
又注意各种思维品质和能力的相互联系和
均衡发展。
数学思维训练
还要考虑到学生学习兴趣的培养
,
学生知识结构的改善
,
思维训练效果的评估
,
思维训练与正
常教学活动的配合等问题
,
它们都需通过数学方法论研究加以
解决。
从上面的讨论可以
看出，
数学哲学研究的各个方面
,
都与
数学教育有密
切联系
,
都对学生数学思
维能力的培养有重要影响
.
然而
,
由于传统的学科划分的影响
,
以往的
数学哲学研究很少考虑到数学教育的需要
,
而
数学教育工作者对数学哲学研究成果也知之甚
少
.
有些人把数学教育的思想基础仅仅归结为数学教育心理学
,
< br>没有意识到数学哲学是数学教
育更深刻的思想基础
,
因而很多问题就无法上升到数学哲学高度加以认识
.
这种状况是由于历
史原因形成的
,
改变这种状况也就需要一个过程
,
需要付出艰苦的努力。数
学哲学工作者和数
学教育工作者都有一个了解对方专业
,
借鉴对方成果
,
学习对方长处的任务
,
需要加强合作
,
互<
/p>
相支持
.
只有这样
,
才能实现数学哲学与数学教育的有机结合
.
二
在数学哲学研究成
果运用于数学教育的过程中
,
需要广泛利用数学史
所提供的生动素材
,
这一点上面已经论及
.
就培养学生的数学思维能力而言
,
前人数学思维发
展中的经验、教训是最有借鉴意义的。然而
< br>,
数学研究历来比较重视成果的积累
,
< br>而理论成果
经过严格逻辑整理之后
,
已抹掉了实际思想过程的痕迹。同样
,
以往的数学教育比较
重视理论
知识本身的传授
,
这就使人们
很少接触数学史的素材
,
很少运用数学史的生动事例启发和培养
学生的思维能力
,
难以体会数学史对于
数学教育的价值
,
由此造成数学史与数学教育的脱节
~
要改变这种状狃
,
必须
多方面探索将数学史研究成果运用于数学教育的途径。
数学史研究不妨大
体上分为“内史”和“外史”两个方面。
“内史”研
究以考察数
学理论成果的历史形态为主
,
包括数学成果产的年代生的年代、
最初的形态和后来
的演变、
创立者的贡
献、
数学成果的传播等
/
外史”
研究以考察数学发展与社会生活各方面的
关系为主
,
包括数学发展与哲学、科学技术、经济、军事、宗教等方面的关系
,
以及数学家生
平和思想、数学事业的发展、数学教育
等方面的问题。传统的数学史研究多注重内史研究
,
而近年来外
史研究引起人们越来越大的兴趣。因为外史研究可以更全面更细致地展示前人数
学思维发
展的实际情况
,
而这些情况恰恰是数学教育改革所亟需的
.
当然
,
内史研究的
很多成
果也可以为数学教育所用
,
关键
在于如何选择与加工
,
使之更适合数学教学活动的需要
.
对于数学教育而言
,
数学史的外史研究
中有这样几个方面的成果很有
利用价值
.
首先是数学哲学史
,
即数学与哲学的关
系史
,
这是数学思想历史演变的
基本线
索。数学本体论、认识论和方法论研究都有着悠久的历史
,
出现
过许多著名的学派
,
如
占希腊的
pyt1?agoras
学派、
p1ato<
/p>
学派、
a
ⅰ
st
c,t1e
学派、近现代的约定主义学派、逻辑
主义学派、直觉
主义学派、形式主义学派等
,
它们都在数学思想发展中产生过重
大影响
.
在将
数学哲学研究成果运用于
数学教育的过程中
,
可以直接利用数学哲学史的素材
,
并说明前人对
有关的数学哲学问题是如何看的<
/p>
,
对在哪里
,
错
在哪里
,
于今天的数学教学活动有何启示。比
< br>如
,17
世纪关于微积分基本概念本质的讨论
,
就涉及很深刻的哲学问题
,
参加论战
newton
、
ieibniz
、
berkciey
等
人
,
< br>都是哲学史上举足轻重的人物
.
论战的结果导致了
19
世纪微积分
基本概念表述的形式化
,
又为后来数学形式主义的产生铺平了道路
~
与此相应
,
今天的微积分教
学也要
经历由较为直观的表述向严格的形式化表述的转化
.
如何使学生
顺利完成这种思想转
折
,
又不致受到形
式主义观点消极因素的影响
,
自然需要借鉴数学史的素材
,
从中获得必要的
启示。
其次
,
要注意数学家思想活动的历史记
录
,
特别是数学家从事研究工作、
获得
重大发现的思想记录
,
专门记录这方面思想活动的文献很少
,
有关素材大都散见于数学家
的全集、
选集、
传记资料
,
以及讨论数学思想方法的演讲、
谈话记录、
杂文和别人的回忆录
等
材料
. descartes
、
hami1t0n
、
gauss
、
p0inca
、
had
amard
等人
,
都留下过自己获得
重大数学
发现时的生动的思想记录
,
特
别是关于创造性思维活动过程的记录
,
读起来活灵活现
,
充分展
示了数学家的机智和敏锐的洞察力
,
极有启发意义。
polyca
认为
,
数学发现是一种技巧，
发现
的能力可以通过灵活的教学加以培养从而使学生们领会发现的原则并付诸实践。
实际上
,
数学
教学中的解题训练就是数学发现的演习。学生解题活动中的探索性思维与数学家从事研究活
动的探索性思维
,
本质上是相通
.<
/p>
的。
正因为这样
,
有关数学家创造性思维活动过程的历史记录
,
就成为培养学生
数学思维能力的好教材
.
学生们不仅可以从中学习到数学家的思
想方法
,
而且
可以学习到数学家的刻苦
钻研精神、
顽强毅力和严谨学风
,
这对
于调动学生的非智力因素也是
大有好处的。
< br>最后
,
要注意研究数学社会史
,
即数学与其社会应用的关系史。
数学的各个分支
之间都有内在的联系
,
它们相互影响
< br>,
相互渗透
,
构成一个有机的整
体
.hi1bert
曾认为
,
数学
的生命力正是在
于它的各个分支之间的联系
.
无论纯粹数学分支
,
还是应用数学分支
,
都有存
在的必要
~
如果片面强调某些分支的重
要性而忽略另一些分支
,
就会破坏数学有机整体的平衡
发展
,
这方面的历史经验教训是不胜枚举的
~
古希腊几何学强调逻辑严谨性。
②徐利治教授谈消化和理解：
我们学习数学理论、
方法或数学定理时。
怎样才算真正懂了呢？事实上，只有做到了直观上的懂才
算“真懂”
。
所谓“真懂”
的意思
是指：对数学的理论、方法或定理能洞察其直观背景，并且看清楚它是如何从具体特例过渡
到一般
(
抽象
)
形式的。
如此说来
,
为了达到“真懂”或“彻悟”的境界
,
就不能只停留在弄清
楚演绎论证的步骤
,
还必须重视具体特例的分析
,
注意直观背景
素材的综合
,
亦即必须通过人
脑的联想
力和概括思维能力从具体素材中领悟出最基本
:
最本质、最一般
性的东西
.
达到了这
个境界
,
数学上的理论、方法或定理就好像是您自己发现的一样
< br>,
您就能用自己的语言随时把
它们复述出来
.
当然
,
这些知识您也就终
生难忘了。
.
如果一位数学教师
只给学生讲清楚一些数学定理的形式演绎论证步骤
,
而不指出那
些定理的直观背景和整个来龙去脉
,
那就好比带领一个人进人森
林中
,
只给他看一
些个别的树木
.
却不让他见识整片森林的形貌
,
这就是所谓的
“见树不见见林”
.
优秀的数学教
师无疑都会使学生“既见树
,
又见林”
。但要做到这一点并非易事
,
教师本身首先要对数学教
材做一番整体性的分析概括使教材内容成为他自
己脑海中非常直观浅显的东西
.
这样才可能
使学生也感到所学的知识是比较直观的
,
是完全符合他们的
认识过程的。
记得
2o
世纪
4o
年代我在西南
联大时的老师华罗庚先生曾不止一次地
对我们讲过他的读书经验
.
他说
,
“一本数学书应该越读越薄<
/p>
.
”
怎样变薄呢
?
其实
,
就是要彻底
< br>消化书中的知识
,
将其变为非常直观、
< br>非常概括的材料
,
以致最后就只留下最精髓的那一点儿
.
这样，当然书就变薄了
.
[1]
徐利治谈治学方法与数学教育
（
m
）大连
大连理工大学出版社
2008
年
1
月版
p35-36
把它理解得非常自然
,
非常直观
,
以至于达到所谓的“一目了然”
,
它
才真正变成你自己的知识财富
.
这时候
,
你就能使用自己的语言很自
然地而不是背诵式地去表
述你所理解的一切
,
< br>在你脑子中“强记”它们也就毫无必要了。
比如
,
你能用数学归纳法去证明二项式定理
,
你可以认为二项式定理你
已经懂了
.
但真正的懂不能只停留在形式推理上
,
你还必须懂得
函数展开式为什么必然是那个
样子
,
二
项式系数为何恰为相应的组合数
??
这样
,
你才真正从全局上、直观上把握住二项式定
理的实质
.
真正
的懂离不开数学直观
,
因此
,
数学直观力的培养非常重要。在学习过程
中
,
处处多问几个为什么
,
< br>尽量通过几何图形的直观比拟、
不同实例间的相互比较
,
来想清楚种
种数量关系或空间形式的必然性
,
将有利于培养你的直观力
.
数学直观力也是导
致发明创造的一种能力
.18
世纪卓越的物理学家
maxw
ρ
i
有着把每个数
学物理问题在头脑中构成形象的习惯
,
藉此
,
他作出了许多重大的发现
和创造
.
还有杰出数学家
fuler,
他的许
多发现也都是凭借明快的数学直观力获得的
.eu1e
【一
生勤于计算
,
因而熟能生巧
,
常能从算例中归纳出一般公式来。
他还喜欢做类比、
联想、
试算
(
实
验
)
和观察
,
而这种ェ作方法正是使他不断产生数学直观力的重要条件
:
现在来谈
“化”
这个字，
比方
,
当朋友弄不明白你的说话意思时，
你会
来一个“换句话说”
.
就是保留原意而改变表述形式的意思。在处理数学问题时
,
往
往需要若
干次的
“换句话说”
才能把厚
来的问题化难为易、
化繁为简或化生为熟
,
所以
,
数学中的
“化”
就是指化简、化归和变化形式的意思
,
国内外有不
少数学竞赛题实际就是要考人们化的本事。
青年人要学好数学
，还需要学会猜想、分析和鉴赏。这就是我在上面
提到的猜、析、赏三个字。
[1]
徐利治谈治学方法与数学教育
（
m
）大连
大连理工大学出版社
2008
年
1
月版
p66 <
/p>
③徐利治谈直觉：
“直觉是人脑对于数学对象事物（结构及其关系
）的某
种直接的领悟或洞察。数学直觉往往产生于经验、观察、归纳、类比和联想的基础
之上”
他
又说：
“我们思考一个数学问题或命题，有时经过一段曲折道路之后
,
忽然出于某种联想而豁
然开朗
,
或
是想到了一个解决方案
;
或是猜到了一条证明途径
??
这些就是以数学直觉为基础所
形成的顿悟
.
有些学者往往把直觉和顿悟等同起来
,
但这样也容易引起误解
.
因为一般数学直
觉未必都是瞬间完成的
,
通常它需要一
个酝酿、
补充和反映的过程
.
事实上<
/p>
,
渐悟和顿悟都是直
觉的表现形式
.
总之
,
数学直觉是一种直接反映数学对
象结构关系的心智活动形式
,
审
美往往
构成思维与对象之间的直接联系
,
并以直接推断的形式
(
例如以洞察、预见或者合理猜
想等形式
)
把握住对象关系的本质
.
< br>正是上述思维形式能够促使人们预见通向真理的道路
,
彻
底悟透数学真理并能导致创造发明
.
因此
,
在数学教育中理应把培养数学直觉力作为一个不
容忽视的目标
.
粗略说来
,
直觉具有“了解事物整体”的作用
,
还具有将细节“组合成
和谐性整体”的功能
(<
/p>
这两点西方哲学启蒙人笛卡尔（
descartes
）就已经明确地解释过
.)
此
外
,
数学直觉还具有审美作用
,
具有辨别真伪的作用
.
特别值得重视的是<
/p>
,
直觉有时能把一些事
物间的隐微关系串
联起来
,
给人们提供解决疑难的线索
,
或者揭示某些论证命题的路线
.
所以<
/p>
,
数学直觉的面很广
,
它包含着“审美直觉”
、
“关联直觉”和“辨伪直觉”
等等
,
而这些直觉又
是相互关联的
.
已故法国数学家
hadamard
写过
一本《数学领域的发明心理学》
,
书中
曾发展了杰出的法国数学家
poincaro
关于数学发明创造
的学说
.
他们的共同见解是认为数学
创
造发明的关键在于选择数学观念间的
“最佳组合”
,
而这种最佳选择往往就是依靠
“美的直
觉”作出的
.
任何一个数学工作者在研究过程中都会遇到无数可能的组合。
”
“关联直觉”
又
可分为相似直觉（类比直觉）
、空间的对称直觉、次序直
觉、相关性直觉、对应性直觉、连续
性直觉
（
1
）能力论述
教育家威谦说：
“平庸的数师是叙述，
好教师是讲解，
优异的教师是示
范，伟大的教师是启发。
”德国教育家第斯多惠说：
“一个坏教师奉送真理，一个好教师则教<
/p>
人发现真理。
”他又说：
“数学的艺术不
在于传授本领，而在于激励，唤醒和鼓舞。
”
所谓审美的创造能力是教师与学生对数学对象通过审美感受
,
审美鉴
赏
,
审美想象而创造出新颖
独特
有价值的创造性思维成果的能力
.
审
美创造能力是审美、
品美、
鉴美的最高境界。
< br>审美创造的三阶段是审美感受
审美构思
,
审美的教学表达
.
发现数
学美
、感受数学美、
表现数学美、
创造数学美需要有教学法加工
.
所谓审美想象能力
是教师与学生对头脑中的已有表象进行加工改造而
创造新形象的心理过程的审美能力
.
所谓审美鉴赏能力是指审美者对审美对象的鉴别与欣赏能力
.
在数学
教学中
,
对于数学美的鉴别﹑
识别美的形态﹑
理解美的程度都是通过比较来实现的
,
在教
学中通过比较来鉴别美的程度
;
所谓审美感受能力是指教师与学生凭借审美感官对数学活动的感知能
力
.
审美感官
(
< br>眼与耳等五官
)
是沟通美与美感的桥梁
< br>.
要想感知与理解数学美
,
也是一个
“以
美促智”的过程
.
要想鉴赏、感受其美，一定要具备某些美的特征和客观上的“美的标准”
；
主观上的“审美准则。
”又说
：
“简单性与简洁性是一条公认的审美准则。┅或是从中发现某
些具有普遍性或统一性的秩序和规律。这说明“和谐性”
、
“<
/p>
秩序性”
、
“规律性”
与“统
一性”
等也都是人们心目中的审美标准。
”
苏霍姆林斯基说：
“没有审美教育就没有任何教育。
”
所谓审美就是作为
认识主体的教师与学生对数学客体——数学对象的
美的品赏﹑
鉴别和领会
.
数学中存在美是任何人没法否认的
,
正如哪里有生活
,
哪里就有
美一样
,
哪里有数学
,
哪里就有美
,
“数学的优美感
,
不过就是问题的解
答适合我们心灵需
要而产生的满足感
.
”
这只要从数学的对称美
,
和谐美
,
奇异美
,
简洁美立刻可以得到
.
在数
学教学中还存在教学美﹑
思维美﹑
方法美和层次美
.
审美教育简称美育
,
它是通过教育培
养学生正确
,
、健康的审美观点﹑
审美情趣﹑
以便提高学生的欣赏美﹑
创造美的能力的教
育
.
首先提出审美教育的是柏拉图
,
他说
:
“
从小培养起对于美的爱好
,
并且培养起融美于心
灵的习惯
.
”
审美教育包括对艺术美的欣赏
,
对自然美的陶冶
,
对社会美的感受
,
对科学美
﹑数学美的审视
.
不是每一个人都可以欣赏到数学美的
,
要使学生欣赏到数学美
,
必须有数<
/p>
学教师的提醒﹑学生的知识经验﹑
能力水平和探索数学问题中的刻苦追求
.
正如马克思说
:
“你想得到艺术的享受
,
你本身必须是一个有艺术修养的人
.
< br>”
所谓审美能力是指
教师与学生在数学课堂中顺利地进行审美活动
,
鉴
赏美和创造美的数学活动的本领
.
它包括审美感受能力﹑
审美鉴赏能力﹑
审美想象能力和
审美创造能力
.
审美意识越强，
其审美能力就越高，
从而其
创造发明
（发现）
的才能也越高，
它们
之间的关系成正比例。
徐利治教授说：<
/p>
“所谓‘审美意识’
。
就是人们感受、鉴赏，乃至创造
各种美好事物的一种自觉的心理状态。它是美学
专家和心理学家都关心的问题。我觉得还要
强调指出，它也是教育家和一般科学家都必须
重视的问题。
”
首先谈对培养
‘审美意识’
或审美能力的必要性。
徐利治
教授说：
“数
学美和文学艺术美确有不少相通之处，大凡具有创
造性精神和发明能力的科学家，都在不同
程度上具有数学和文学方面的审美意识和审美能
力。正因为如此，就培养有创造性的科学文
化人而言，上述审美意识的培养就有其特殊重
要性。
”
一
审美感受能力的培养
所谓审美感受能力
是指教师与学生凭借审美感官对数学活动的感知能
力
.
审美感官
(
眼与耳等五官
)
是沟通美与美感的桥梁
.
要想感知与理解数学美
,
也是一个<
/p>
“以
美促智”的过程
.
要想鉴赏、感受其美，一定要具备某些美的特征和客观上的“美的标准”
；
主观上的“审美准则。
”又说：
“简单性与简洁性是一条公认的审美准则。┅或是从中发现某
些具有普遍
性或统一性的秩序和规律。这说明“和谐性”
、
“
秩序性”
、
“规律性”
与“统
一性”
等也都是人们心目中的审美标准。
”
通常都说“狠抓双基，培养能力”
，
即基础知识；基本技能；能力又
分一般能力与特殊能力。
数学教师必须明确知识
（概念）
、
技能和能力的介定及其相互关系，
能力是对于思
维材进行信息加工过程的概括。如在解分式方程中，懂得换元法是理解知识，
而掌握换元
法的步骤，
过程是理解了技能
，
判断在什么情况下使用换元法，
在
“
元”
不明确
时，怎样创造条件构造“元”
就是对能力的透彻理解了；在证恒等式中，懂得通分是理解知
识
，而掌握通分的步骤，过程是理解了技能，而在证明例
9?
的过
程中，直接通分繁难而转向
用其类比方法间接通分达到证明目的则是对能力的透彻理解。
懂得代入法是理解知识，而掌
握代入法的步骤，过程是理解了技能，判断在不能直接代入
时，怎样创造条件实施代入就是
对能力的透彻理解了。
(2)
教育理念
“最有价值的知识
是关于方法的知识
(
达尔文语
)
”
21
世纪是信息社会
,
需要会学习、
会思考、善发现、知识广博、开拓
进取、
标新立异、
具有发现能力的人才
.
数学教学要以
“多出人才
,
快出人才
,
出好人才”
为
目标
,
培养学生素质的数学观
,
数学为大众的教育观
,
确立四个观念
:
①确立逻辑思维能力
与非逻辑思维能
力、
智力与非智力因素共同培养的观念
;
②数学应用观念
;
③思维开放的观念
;
④重视数学思想方法的观念
.
新的课堂教学
,
首先要创设情境要以教师为主导
;
调
动学生思维积极
性要以学生活动为主体
;
教学生数学思维要以学生思维为核心
;
提出问题要
21
世纪是信
息社会
,
需要会学习、会思考、善发现、知识广博、开拓进取、标新立异、具有发现能力的
人才
.
数学教学要以“多出人才
,
快出人才
,
出好人才”
为目标
,
培养学生素质的数学观
,
数学为大众的教育观
,
确立四个观念
:
①确立逻辑思维能力与非逻辑思维能力、
智力与非智力
因素共同培养的观念
;
②数学应用观念
;
③思维开放的观念
;
④重视数学思想方法的观念
.
新的课堂教学
,
首先要创设情境要以教师为主导
;
调
动学生思维积极
性要以学生活动为主体
;
教学生数学思维要以学生思维为核心
;
以学生的数学思维为主线
;
探索问题要明确是什么方式
;
对数学思维的材料的加工过程要以能力为立意
;
让学生在情境
中沉思
,
在情境中领悟
,
在一系列问题解决中
,
完成知识的学习过程
.
使学生在数学
课堂上
获得“一双能用数学视角观察世界的眼睛
;
一个能用数学思维思考世界的头脑
;
一幅为国家
谋富强、为人民谋幸福的心肠”
真正做到“一切为了学生
,
为了一切学生
,
为了学生的一切
.
”
只有贯彻新的教育理念
:
以学生活动
为中心
(
一个中心
);
学会学习
,
学会创造
(
两个学会
);
才能有三个转变
:
以教师为中心向以学生活动为中心转变
;
以研究教
法为中心向研究学法为中心转变
;
以学习知识为中心向以创造为中心转变
.
引进数学美、对称美、和谐美、简洁美、思维美是为了学生学得简单
一点
,
有趣一点
,
轻松一点
,
鲜活一点
,
以激发学生的学习兴趣
.
这种数学语言叙述美极了
,
使很多“只能会意
,
不能言传”的数学知
识一说即明白
.
数学是人类的一种文化
,
它的内容、
思想、方法和语言是现代文明的
重要组成部分
.
数学教师不放过任何一个机会来训练学生的数学语言
,
训练数学思维与训练
数学语言同样重要
.
当然
,
教师强调证明
f(x)?x
在实数域
(-1,??)?(??,?1
)
上是增函数是训
练数学思维
.
1?x
所谓构造法是构造性策略
.
构造法，<
/p>
即构造性解题方法，
它是根据数学
问题的
条件或者结论的特征，
以问题中的数学关系为框架，
以问题的数
学元素为
“元件”
，
得
出新的数学对象或者数学模型，
从而使问题转化并得
到解决的方法
.
这里所说的
“元件”<
/p>
可以
是
:
方程<
/p>
(
组
)
、函数、
代数式、不等式、几何图形、公式、向量、复数、算法与命题
,
甚至于
构造类比问题使问题转化
,
并得
到解决
.
要明确
,
构造“元件”是手段
,
转化问题是策略
,
证出
了数学问题是目的
.
下面以高中教材上的题讲构造法解题
. [1]
教师既是知识的传递者
,
又是决策者
,
教学过程的引导者、组
织者、
指导者、
学生构建知识的帮助者、
促进者、
中介者、
评价者
,
但在人格上是平等的
.
其次
,
创
设
情境可以使学生
“产生情绪高昂和智力振奋的内心状态”
本文一开始就创设了构造一次函
数证明不等式的情境
,
吊起学生的胃口
;
其三
是教师从知识的权威者转变为与学生平等的参
与者、主动研数学可以给你一双明亮的眼晴
,
提供你观察数量关系的本领
,
还可给你一颗探
索数学规律的好奇心
,
点燃你追求上进的求知欲望
,
好好学数学吧
!
它给你越来越睿智的头
脑
,
让你越来越聪明
.
研究者
,
从而成为与学生共同的发现者
;
其四
,
教师从知识的传播者
转变为学生学习知识的促进者、导演者与指导者
,
有时出现“师导生思”
,
有时又出现
“师
赞生高昂”的芬围
;
其五是学生感
到困难时多铺垫
,
多启发
,
多互动
,
这样既能激发学生积极
思考
,
又能使教师
“从当局者变为旁观者”
,
以便应付课堂上突然出现教师遇料之外的情况
;
最后要指出的是提问式、讨论式、研究式需要教师有丰富的教学经验
在实践中、在事实上
,
在与学生的共同探索与发现中
,
教师
既是表扬
学生的鼓励者、知识传播者、创设情境的决策者、构建学生知识的帮助者、与学
生共同探索
者、共同发现者
,
难得布鲁纳说
:
“探索是数学教学的
生命线
.
”
数学解题教学要贯
彻、实施以“知识、方法、能力、素质、创新”
为
要素的多维教育模式
,
创设、营造学生主体参与、师生交流、生生交流、生师交流活跃的教
学氛围
.
(3)
关于论证推理与合情推理—猜想
论证推理与合情推理
,
波利亚说：<
/p>
“
一个认真想把数学作为他终身事业
的学
生必须学习论证的推理
;
这是他的专业也是他那门学科的特殊标志
.
< br>然而为了取得真正
的成就他还必须学习合情推理
;
这是他的创造性工作所赖以进行的那种推理
.
”
教学实践表
明
,
硬塞给学生的论证推理是不符合教育学规律的
,
在某种情况下
,
教合情推理
,
教猜想比
教论证推理、教证明对培养学生的能力更为重要
波利亚说：
“合情推理就是猜想”
<
/p>
猜想过程既需要观察、又需要对比
与想象。想象力比
知识更重要，因为想象力既是智力的翅膀，又能概括一个普遍的规律。
(4)
挖掘隐含条件
什么是隐含条件
?
所谓隐含条件是指数学问题中那些若明若暗
,
含而
不露的已知条件
,
或者从题设中不断挖掘并利用条件进行推理和变形而重新发现的条件
.
数学问题难度的标志之一是隐含条件的深度与广度
.
一般来说
,
隐含
条件通常隐蔽在数学定义与性质中
;
或者隐蔽在函数的定义域与值域之中
;
或者隐蔽在几何
图形的特殊位置上
;
或者隐蔽在知识的相互联系之中
.
挖掘隐含条件
,
用综合法
,
从已知条件入手
,
由因导果地运用推理手
段
,
寻求隐含结论
,
它是结论成立的充分条件
;
或者用分
析法
,
从结论出发
,
执果索因地寻
求隐含条件
,
它是结论成立的必要条件
.
要注意的是这两种寻求隐含条件的方向恰好相反
.
（
5
）
关于学
习迁移的论述
所谓迁移力是把在一个情境中的观察、
感
知、
注意、
记忆、
思维、
艺术基础中学到的事物迁移到新情境中的能力
.
强行记忆叫强记忆
,
理解记忆容易迁移
,
强记忆弱迁移或负迁移
.
所谓知识条理化是指用恰当的反例用于知觉学习
;
概念学习
.
对于何
< br>时、何地、如何运用所学知识的理解
,
通过反例来增强学习者的运用知识的能力
.
为什么学生容易犯非本质属性泛化的毛病
,
是因为非本质属性的负迁
移的结果
.
为此可用反例及辩析题制造认知冲突
,
使学生认概念的本质属性
.
利用反例
、辩
析题、变式题进行教学都属于变式教学的范畴
.
反例的特点是改变对象本质属性而保持非本
质特征不变
< br>;
辫析题的特点是改变对象的非本质属性而保持本质特征不变
.
十六字诀“去粗取精
,
去伪存真
,
由此及彼
,
由表及里
.
”
是实现知
识迁移的好办法
.
迁移本身是一种
“想象”
的体现
,
知识或策略的迁移就是对不
同事物
间的想象
.
“如果
—怎么办”
型的问题解决本身
,
更是地地道道的
“想象”
的问题
,
没
有对“如果”
可能引出东西的“想象”
,
何以能找到“怎么办”
?
“概括案例”
也同样离
不开“想象”
,
没有“想象”
,
哪来的“抽象”
,
没有“抽象”
,
哪来的“概括”
.
人失去
了“想象”
,
知识将成为教条
,
智慧将趋于枯竭
.
培根说
:
“知识就是力量
.
”
爱因斯坦补
充说
:
< br>“想象比知识更重要
.
”
知识是由想象创造出来的
,
知识又是由想象激活的
.
知识又
是由想象推动发展的
,
知识更是由想象带向无限的
.
大量的表面上看风
马牛不相及的问题之间的迁移是由于它们有共同的
抽象结构所至
.
影响知识迁移的因素有
:
①学习
的情境
;
②问题的表征
;
③迁移的条件
;(
为
什么
类比推理是数学学习或成功迁移的一个有效途径
,
“认知要素
”相同是指意义上的、理
解上的、策略上的、原理上的
,
或者是间接的而不是直接的
.
④迁移与元认
知
.
迁移的实质是什么
?
迁移的实质是
一个要求学习者积极参与选择和
评估策略、思考资源和接受反馈的过程
< br>,
也是把迁移看成一个动态的过程
.
关于弱抽像与强抽象的论述
规律性、探索性的“先猜后证”
为什
么如此重要
?
因为科学的发明、
创造、
探索过程就是一种“先猜后证”
的过程，为了训练学生的观察
能力、归纳能力、类比
能力、联想能力、推理能力、猜想能力，必须在解题中出现“先猜
后证”
的数学题。而弱抽
象与强抽象
是先猜后证的理论基础
.
什么是
“弱抽
象”
与
“强抽象”
呢
?
所谓
“弱抽象”
就
是一般化
,
或者是“从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合
,
或者从考虑一个较
小的集合过渡到考虑包含该较小集合的更大的
集合”
[1]
弱抽象也可以叫做“概念扩张式抽
象”
.
这是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象
,
从而形成比原型更为普遍、更为一般
的概念或理论
,
并使前者成为后者的特例
;
所谓“强抽象”
就是特殊化
,
换句话说“特殊
化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中的一个较小集合
,
或仅仅一个对象
.
特
殊化在求解问题时常常很有用”
[2].
强抽象也可
以叫做
“概念强化式抽象”
.
这是指
通过引
入新特征强化原型完成抽象
,
从而
,
所获得的新概念或理论就是原型的特例
.
一
类比名言
数学家费尔马说
:
“
在数学里用类比得出的结论并不是真理
,
┉┉适合
于某些特殊情况的法则可能是很有用的
,
但是不能作为科学的根据
,
在这种情
况下只能用证
明来满足要求
.
”
数学定理和公式的证明，一般用演绎法。但是，去发现真理往往比事
后论
证更为重要，而发现真理既靠归纳，又靠类比，更靠直觉。但
20
世纪以来，弄得直觉与猜想
在数学教学中好像没有地位了
，
直到国际数学教育家波利亚
（
pol
ya
）
的一些著作
（怎样解题、
数学与猜想
1
、
2
卷）出版之后，才为数学中的猜想与直觉挽回一些声誉，
推理有两种―论证推理与合情推理
,
深
孚众望的数学教育家
g?
波利亚
说
:
“一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学习论证的推理<
/p>
;
这是他的专业也是他那
门学科的特殊标
志
,
然而为了取得真正的成就他还必须学习合情推理
;
这是他的创造性工作所
赖以进行的那种推理
,
”
〔
1
〕合情推理就导致猜想
.
逻辑推理需要分析与
综合、抽象与概括、
一般化与特殊化、
等思维操作；
合情推理需要想象、
归纳、
类比、
联想、
等直觉思维的参与。
先猜后证的数学思想能够将
“猜想”
与“证明”
、
收敛思维与发散思维、左脑思维与右脑思
维、逻辑推理与合情推理很好地结合起来。<
/p>
徐利治教授说：
“历史上凡是有杰出贡献的数学家，
无一例外的都是运
用归纳法与类比法的大师。
例如
，
最擅长于演绎论证的高斯
（
gaus
s
）
也曾自称他的许多结果
是利用归纳
法猜到的。而证明只是补行手续。┅正如哈达码（
hadamard
）指出的，逻辑在这
里起到验收
“战利品”
的作用。
事实上，
从事数学
创造性研究如同人在迷雾中摸索前进一样，
需要用眼睛辩识方向，用双腿迈向目的地。直
觉就好比眼睛，起向导领路作用。逻辑就是双
腿，没有逻
辑不可能到达目的地。
”
[2]
这是对合情推理与论证推理谁更重要的辩
证评价。
< br>
正如国际数学教育家
g
。波利亚说：<
/p>
“我们可以构造出新问题，这些新
问题我们很容易利用以前所解决
的问题加以解决，但这些易解决的新问题又容易显得索然无
味。
”又说：
“找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易，这需要经验、鉴别力和好运
气。但是，当我们成功地解决了一个好问题之后，我们应当去寻找更多的好问题。好问题
同
某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长。找到一个以后，你应当在周围找找；很可能在
附近
就有几个
[1]
”
[1]g
·波利亚著
怎样解题
(m)
北京
科学出版社
1984
年版
p65
波利亚说
:
“
得自许多类似情况的类比结论比得自较少情
况的类比结论
要强
.
但是这里质量仍然比数量更为重要
.
清晰的类比较模糊的相似更有价值
,?
”
“类比就是一种相似
.
”
它是从一种特殊到另一种特殊的推理
.
先猜后证是一种数学思想
,
“猜”不是
瞎猜、乱猜
,
而是要在探索中去
猜
,
要以直觉为先导
,
以联想为手段
,
以逻辑为根据
,
以观察为向导
,
以思维为核心地去猜
.
以研究性学习为园地
,
以类比联想为工具
,
以归纳发现为手段
,
以先
猜后论的数学思想为指导
,
正如英国心理学家培英说
:
“创造发明都是
由于类似联想所引起
的”
,
这时我们自然
得出以下的合情推理的猜想
.
“类比就是相似比
较
.
”联想是一种既有目的又有方向的想象
,
是由当
前感知或思考的问题想起其它事物的心理活动
.
所谓类比联想是以类比为方法、
以联想为
导向
的探求规律和探索解题思路的策略
.
波兰数学家斯·
巴拿赫说：
“一个人是
数学家，
那是因为他善于发现判
断之间的类似；如果能判明论证
之间的类似，他就是一个优秀的数学家；可是，我认为还应
当有这样的数学家，他能够洞
察类似之间的类似。
”
我们用类比联想的
方法不但构造了简单类比联想题
(
这是合情推理的
猜想
),
而且还用论证推理证明了它
.
正于
g
·
< br>波利亚说
:
“在求解所提出问题的过程中
,
我们经
常可以利用一个较简单的类比问题的解答
;
我们可能利用它的方法或者可能利用它的结果
,
或
者可能三者同时利用”
[1]
[1]g
·波利亚著
怎样解题
(m)
北京
科学出版社
1984
年版
p43,
g.
波利亚说“如果把这种猜测的似真性当作肯定性
,
那将是愚蠢的
,
但是忽视这种似真的
猜测将是同样愚蠢甚至更为愚蠢”
「
2
」
g.
·
波利亚著
怎样解题
(m)
科
学出版社
1982
年
p43
由于
“清晰的类比较模糊的相似更有价值”
在先猜后证
的过程中必须
分清归纳猜想与类比猜想
,
还要分清是解题思路的类比猜想还是探索数学规律的类比猜想
.
类比是数学思维的主旋律
;
联想是数
学思维的中介与桥梁
;
“天下数学一大猜”
,
猜想是数学
创造的主要工具
;
数学创造是数学赖以发展的原动力
.
「
3
」傅世球著
类比联想
.
猜想及数
学创造
(j)
数学教学研究
2002
年
4
期
p14
读者还可以看出<
/p>
“类比不但有发现真理、
认识真理的认识论基础
< br>,
而且
还有证明真理的方法论意义
.
”
又说
“客观事物之间的相似性和
差异性是类比推理的逻辑基础
,
相似性的存在提供了类比的可能
性
,
而差异性的存在又限制着类比的范围
.
如果强调了事物之
间的相似性而忽视其差异性
,
那么就会把类比视为万能的
“法宝”
到处乱用
;
反之
,
如果片面地
强调事物之间的差异性而忽视其相似性
,
那么就会陷入“不可知论”的泥坑
.[2]
”
[2]
傅世球
中学数学教学的艺术
(m)
长沙
湖南教育出版社
1989
年
5
月
p73