中学数学之经典案例
爱情好无奈-
页眉内容
数学课型模板
在义务教育各个学段中
，
关于数学部分，
《新课程标准》
安排
了
“数
与代数”
“空间与图形”
“统计与概率”
“实践与综合应用”四个学习
领域。
高中阶段的数学教学包括
《集合与函数》
《三角函数》
《不等式》
《数列》
《复数》
《排列、组合、二项式定理》
《立体几何》
《平面解析
几何》等部分。综合来看，可以把数学课程模板分成两类，
代数和几
何。
一、代数课程模板（等
差数列（第一节）
）
导入
师：零花钱是大家都很喜欢的，
老师每个月上交工资，然后也会收
到零花钱。我们都希望零花钱越多越好，但往往不禁花
。所以我每个
月都会统计自己月初收到的零花钱和月末余下的零花钱。
< br>（
ppt
展示表
格如下）
月份
收入
剩余
思考
1
：上
述表格中的数据变化反映了什么样的信息？（通过学生
喜欢的话题来吸引大家参与教学的
兴趣，让同学们自由谈论）
师：大家可以看到，老师的生活多
不容易啊，零花钱还不如同学们
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1
150
35
2
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30
3
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25
4
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20
5
190
15
6
200
10
7
210
5
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的多。
那么现在同学们能用数学文字语言来描述上述数列的特征吗？
生：
第一排月份和第二排收入是依次变大的数据，
第三排剩
余是依
次变小的数据。
而且每一排后一项与它的前一项的差等于
常数
（描述
1
）
。
师：反例：
1
< br>，
3
，
5
，
6
，
12
，这样的数列特征和上述数列一样么？
生
1
：不一样，他们之间的差不是一个常数。
生
2
：每一项与它的前一项的差等于同一个常数（描
述
2
）
。
<
/p>
师：
反例：
1
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
这样的数列特征和上述数列一样么？
生
1
：不一样，从
第二项起往后和上述一样，但第一项第二项之间
不符合规律。
生
2
：
从第二
项起，
每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
（描
述
3
）
（把学生的回答写在黑板上，
通过反例的说明，
让学
生深刻的理解
这三组数列的共同特征：
1
、前后项为同一常数，
2
、从第二项起）
新授
师：用数学符号语言：
生
3
：
a
n
-
a
n
1
=d
师：等价么？
生
4
：应加上（
d
是常数）
n
≥
2,n
∈
N*
（让学生充分进行讨论，注意文字描述与符号描述的严谨性）
师：对式子进行变形可得：
a
n
=
a
n
1
+d
（
d
是常数）
n
≥
2,n
∈
N*
，
如果我们能跳出
d
的思维定势，能得到很多的公式变形。
（为今后更
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好的研究其特征，埋下伏笔）
师：这样的数列在你日常生活中存在？
生
1
：
1
，
3
，
7
，
7
，
9
，
11
，
·
·
·
d=1
生
2
：
10
，
15
，
20
，
25
，
30
，
35
，
40
，
·
·
·
d=5
（让学生举例，加深对数列的感性认识）
师：
满足这样特征的数列很多，
所以我们有必要为这样的数
列取一
个名字？
生：等差数列
（让学生给出数学的定
义，并有自己的语言进行交流。当然也允许
学生提出“等加数列”等的说法，教师可进行
比较，差有利于加一加
进行消项等）
定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等
于同一个常数，那么这
个数列就叫等差数列，
d
为公差。
a<
/p>
1
为数列的首
项。
a
2
a
1
d
，
a
3
a
2
d
，
a
4
a
< br>3
d
，
·
·
·
a
n
a
n
1
d
·
·
·
（
n
≥
2,,n
∈
N*
）
（对定义进行分析，强调：
1
、同一常数，
2
、从第二项起。同时在
学生的举例中改动几个数，问学生破坏定义的什么
要求，注意对数列
概念的严谨性分析。
）
师：
回到表格中抽象出的
3
个数列，分别说明他们的公差。
d=1
d=10
d=-5
（引导学生发现公差
d
对数列的影响，
当
d>0
时
数列是递增，
当
d<0
时数列是递减，
当
d=0
时数列是常数列。
）
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a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
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170
180
190
200
师：见上表，
请
7
号的同学回答
a7
，请
8
号的同学求
a8
，请
42
号
的同学求
a42
·
·
·
师：若能求出数列的通项公式，问题就能较好的解决；
（再提出问题，引导问题进一步发展，发现求通项的必要性）
生：我们把问题推广到一般情况。若一个数列
a
1
，
a
2
，
a
3
，
·
·
·
，
an
，
·
·
·是等
差数列，它的公差是
d
，那么数列
{
an }
的通项公式是什
么？
方法
1
．
n=2
a
2
a
1<
/p>
d
n=3
a
3
a
2
d
a
1
2
d
< br>
n=4
a
4
a
3
d
a
1
3
d
< br>
·
·
·
·
·
a
n
a
n
1
d
a
1
(
n
1
)
< br>d
当
n=1
时，也成立。
（归纳、猜想。培养学生合情推理的能力）
< br>a
2
a
1
d
a
3
a
2
d
a
4
a
3
d
a
5
a
< br>4
d
...
< br>2
。
a
n
a
n
1
d
方法
用叠
加得
a
n
a
1
(
n
1
)
d
，
当
n=1
时，
也成立。
整理得：
a
n
a
1<
/p>
(
n
1
)
d
n
∈
N*
<
/p>
（回过来再说明等差的优点，体现用等差概念的优势，化繁为简，
化腐朽为神奇，体现“数学之美”
；并让学生自由的交流，进行“再创
< br>页脚内容
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造”
）可推出
a
n
a
m
(
n
1
)
d<
/p>
，
n
、
m
∈
N*
师：
1
、对通项公式进行分析；通项公式中含有
a
1
，
d
，
n<
/p>
，
an
四个
量，
其中
a1
和
d
是基本量，
当
a1
和
d
确定后，
通项公式便随之确定
．
从
已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利
用方程的
思想求出第四个量的值（即知三求一）
2
、
a
n
< br>
a
m
(
n
1
)
d
，
n
、
m
∈
N*
挖掘等差数列的函数特征：
等差数列的通项公式
an= a1
＋（
n
－
1
）
d
．可表示为
an=dn
< br>＋
c
（其中
c=a1
－
d
，
n
属于
N*
）
的形式，
n
的系数即为公差．
当
d
≠
0
时，
an
是
定义在自然数集上的一次函数，
其图象是一次函数
y=dx
＋
c<
/p>
（
x
属于
R
）
的图象上的一群孤立的点．
（画图略）<
/p>
（在数列的通项公式中，每取一个
n<
/p>
，都有唯一一个
an
与之对应，
让学生联系映射的思想，挖掘数列的函数特征）
巩固：
师：
回到表格中抽象出的
4
个数列，分别说
明他们的通项公式。
a
n
a
1
(
n
1
)
d
a
n
a
1
(<
/p>
n
1
)
d
a
n
a
1
(
n
1
)
d
=1+
（
n-1
）
=n
=150+
（
n-1
）
*10
=35+
（
n-
1
）
*
（
-5
）
小结
：这
节课我们一起对生活中常见的一类数据，进行了一次有意
义的探索，并总结等差数列的概
念求出了等差数列的通项公式，等差
数列的定义是判断一个数列是否是等差数列的依据之
一，通项公式是
通项
an
与项数
n
的关系的一种解析表示，
它从函数和方程两
个角度为
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