解三角形知识点及题型归纳总结
那年秋天-
1
解三角形知识点及题型归纳总结
知识点精讲
在
ABC
中，角
A
< br>,
B
,
C
所对边依次为
a
,
b
,
c
.
1.
角的关系
A
B
C
180
o
,
sin
A
sin(
< br>B
C
)
cos
A
cos(
B
C
),
tan
A
< br>
tan(
B
C
),
sin
A
B
C
< br>A
B
C
cos
,cos
sin
.
2
2
2
2
2.
< br>正弦定理
a
b
c
2
R
(2
R
为
ABC
的外接圆的直径）
.
sin
A
sin
B
sin
C
正弦定理的应用：
①已知两角及一边求解三角形
.
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：
1,
无解
；
若
ah
a
已知角Ａ求角Ｂ
. <
/p>
sin
B
<
/p>
1,
B
2
1,
两解（一锐角、一钝角）
若
a
〉
b,
已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）
.
3.
余弦定理
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C<
/p>
（已知两边
a,b
及夹角Ｃ求第三边
c
）
a
2
b
2
c
2
（已知三边求角）<
/p>
.
cos
C
2
ab
余弦定理的应用：
①已知两边及夹角求解第三边；②已知三边求角；③已知两边及一边对角不
熟第三边
.
4.
三角形面积公式
S
ABC
1
1
1
1
ab
sin
C
bc
sin
A
ac
sin
B
.
2
2
2
2
题型归纳及思路提示<
/p>
题型
1
正弦定理的应用
思路提示
（
1
）已知两角及一边求解三角形；
（
2
）已知两边一对角；
.
大角求小角一解（锐）
1
两解－
sin
< br>A
（一锐角、一钝角）
小角求大角
－
一解－
sin
A
1
（直角）
< br>
无解－
sin
A
1
< br>
（
3
）两边一对角，求第三边
.
一、利用正弦定理解三角形
2
例
4.39
已知
ABC
中，
< br>cos
A
5
< br>3
,sin
B
,
a
1
求
cos
C
及边长
c
13
5
分析
已知两角及一边用正弦定理
.
解析
因为
A
,
B
,
C
为
ABC
的内角
，所以有
cos
C
< br>
cos[
(
A
B
)]
cos(
A
B
)
cos
A
cos
B
sin
A
sin
B
.
因为
A
(0,
),
且
cos
A
所以
A
(0,
5
0,
13
2
),
sin
A
12
.
由此知
sin
A
sin
B
0,
据正弦定
理得
a
b
所
以
A
B
,<
/p>
因此
B
(0,
),
且
13
2
3
4
sin
B
,
得
cos
B
,
5
5
5
4
12
3
16
63
.
因此
sin
C
.
故
cos
C
13
5
13
5
65
65
63
1
a
sin
C
21
c
a
65
c
.
,
< br>由正弦定理得
得
12
sin
A
20
sin
C<
/p>
sin
A
13
评
注
本题已知两角及一边，用正弦定理：在
ABC
中，
< br>A
B
a
b
s
in
A
sin
B
.
变式
1
在<
/p>
ABC
中，角
A
,
B
,
C<
/p>
所对边依次为
a
,
b
,
c
,
a
2,
b
<
/p>
2,
sin
B
cos
B
2,
则角Ａ的大小为
.
o
例
4.40
在
ABC
中
，
角
A
,
B
,
C
所
对
边
依
次
为
a
,
b
< br>,
c
,
B
30
,
c
6,
记
b
f
(
a
).
若
函
数
g
(
a
)
f
(
a
)
k
(
k
是常数）只有一个零点，则实数
k
的取值范围是（
）
.
A
.{
k
0
k
3
或
k
6}
B
.{
k<
/p>
3
k
6}
C
.{
k
k
6}
D
.{
k
k
6
或
k
3}
< br>
分析
三角形问题首先根据题
意画出三角形，
ＡＣ
的最小值为
ＢＣ<
/p>
边的垂线段，再根据零点的意义及函数
求解
.
o
解析
由
g
(
a
)
f
(
a
)
k
0,
且
b
f
(
a
).
，得
k
f
(
a
)
b
,
如图
4
－
34
所示，由
< br>B
30
,
c
6,
知Ａ
Ｃ边和的最小值为
c
sin
B
3,
唯一的
a<
/p>
(
BC
)
符合
f
(
a
)
k
即若
k
3,
则
f
(
a
)
b
3,
< br>此时存在函数
g
(
a
)
有唯一零点，若
3
<
/p>
k
6
时，则<
/p>
f
(
a
)
b
(3,6),
此时以点Ａ为圆心，
b
边为半径的圆与
ＢＣ边及
延长线有两个交点
C
1
,
C
2
，
如图
4
－
34
所示，
则存在两个
a
值<
/p>
(
a
1
BC
1
,
a
2
BC
2
),
使得
g
(
a
)
f
(
a
)
k
有两个零点
.
若
k
6
时，则
f
(
a
)
b
6,
则以点Ａ为圆心，
b
边为半
径的圆与
ＢＣ边及延长线
（除点Ｂ外）
只有一个交点
C
3
，
使得
a
BC
3
，
故函数
g
(
a
)
有唯一零点
.
综上，实数
k
的取值范围为
k
3
或
k
6.
故
选Ｄ
.
3
评注
三角形问题一般先根据题意作出图
形，抓住已知量，充分想到三角形的边角关系及正弦定理，
并尽可能转化和构造
直角三角形
.
变式
1
（<
/p>
1
）在
ABC
中，已知角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
< br>c
,
且
b
3
2,
a
2,
如果三角形有解，则
角
A
的取值范围是
;
(2)
在
ABC
中，
已知角
A
,
B
,
C
< br>所对的边分别为
a
,
b
,
c
,
且
b
1,
a
2,
如果三角形有解，
则角
B
的取值范
围是
（
3
）
在
ABC
中，<
/p>
已知角
A
,
B<
/p>
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,
且
a
<
/p>
2
3,
c
3,
如果三角形有解，
则角
C
的取
值范围是
.
二、利用正弦定理进行边角转化
例
4.41
在
ABC
中，若
A=2B
，则
a
的取值范围为（
）
.
b
A.(1,2)
B
.(1,
3)
C.(
2,
2)
D.(
2,
3)
分析
题中有边与
角的关系及角的范围，
可考虑用正弦定理转化为角的关系，
再由
角的范围来定边的范围
.
a
sin<
/p>
A
sin
2
B<
/p>
2cosB,
且
(
A
B
)
(0,
),
即<
/p>
0
3
B
得
0
B
，因此
b
sin
B
sinB
3
1
a
cos
B
(
,1),<
/p>
所以
(1,
2
).
故选
A.
< br>2
b
a
b
c
2
R
，进行边与角的转化，在条件中有边也有
评注
在
ABC
中，利用正弦定理
sin
A
sin
B
sin
C
解析
由正弦定理知
角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公式来求解
.
变式
1
（<
/p>
1
）若在锐角
ABC
中，若
A=2B
，则
（
2
）若在直角
ABC
中，若
A=2B
，则
a
的取值范围为
;
b
a
的取值集合为
b
a
（
3
）若在钝角
ABC
中，若
A=2B
，则
的取值集合为
.
b
变式
2
在
ABC
中
，
B
60
o
,
AC
3<
/p>
，则
AB+2BC
的最大值为
.
变式
3
< br>已知
a
,
b
,
c
,
分别为
ABC
三个内角
A
,
B
,
C
< br>的对边，
a
cos
C
3
a
sin
c
b
c
0
，
（
1
）求
A
；
（
2
）
若
a
2
，<
/p>
ABC
的面积为
3
，求
b
,
c
.
变
式
4
（
2012
江
西
理
17
）
在
ABC
中
，
角
A
,
B
,
C
的
对
边
分
别
为
a
,
b
,
< br>c
,
已
知
A
4
，
b
sin(
C
)
c
si
n(
B
)
a
,
4
4
（
1
）求证：<
/p>
B
C
2
;
（
2
）若
a
2
，求
ABC
的面积
.
题型
2
余弦定理的应用
思路提示
(1)
已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边
.
(2)
已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
4
<
/p>
0,
则
ABC
为锐角三角形
若余弦值
0,
则
ABC
为直角三角形
.
0,
则
ABC
为钝角三
角形
一、利用余弦定理解三角形
例
4.42
在
ABC
中，
b
1,
c<
/p>
3,
C
2
，则①
a= .
②
B
______.
3
1
2<
/p>
分析
已知两边一对角，求第三边用余弦
定理，求另一对角用正弦定理
.
2
解
析
①由余弦定理得，
c
2
a
2
< br>b
2
2
ab
cos
C
，得
< br>3
a
1
2
a
(
)
，即
a
2
a
2
0
，且
a
0
，故
a
1.
1
b
c
②由正弦定理得，
，即
< br>
sin
B
sin
B
sin
C
b
c
B
C
，则
B<
/p>
30
o
<
/p>
3
1
sin
B<
/p>
，得
，又
3
2
2
变式
1
在
ABC
中，
a
3,
b<
/p>
2
6,
B
2
A
,
，
(1)
求
cos
A
的值；
（
2
）求
c
的值
.
变式
2
在
<
/p>
ABC
中，若
a
2,
b
c
7,cos
B
1
，
则
b
______.
4,
变式
3
已知
ABC
的三边长成公比
为
2
的等比数列，则其最大角的余弦值为
.
例
4.43
在
ABC
中，角
< br>A
,
B
,
C
所对边的长分别为
a
,
b
,
c
,
若
a
2
b
2
c
2
，则
cos
C
的最小值为
2
（
）
.
1
1<
/p>
3
2
C
.
D
.
A
.
B
.
2
2
2
2
a
2
b
< br>2
c
2
c
2
c
2
c
2
1
2
解析
因为
cos
C<
/p>
当且仅当
a
b
时取
“
=<
/p>
”
，
所以
cos
C
的最小
2
2
ab
2
ab
a
b
2
c
2
2
值为
.
故选
C.
变式
1
在<
/p>
ABC
中，角
A
,
B
,
C<
/p>
所对边分别为
a
,
b
,
c
,
若
a
c
1.
B
30
o
，求
b
的取值范围
.
变式
2
在
ABC
中，角
A
,
B
,
C
所对边分别为
a
< br>,
b
,
c
,
若
b
4
.
B
60
,
，求
S
<
/p>
ABC
的最大值
.
二、利用余弦定理进行边角转化
例<
/p>
4.44
在
A
BC
中，角
A
,
B
,
C
所对边分别为
a
,
b
,
c
,
若
(
a
2
c
2<
/p>
b
2
)
tan
B
3
ac
,
则角
B
的值为
（
）
.
o
1<
/p>
2
A
.
6
B
.
3
C
.
6
或
5
2<
/p>
D
.
或
6
3
3