相似三角形知识点归纳(全)
excel练习题-
《相似三角形》—
中考考点归纳与典型例题
知识点
1
有关相似形的概念
(1)
形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形
.
(2)
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例
，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比
叫做相似比
(
相似系数
)
．
知识点
2
比例线段的相关概念、比例的性质
（
1
）定义：
在四条线段
a
,
b
,
c
,
d
中，如果
a
和
b
的比等于
c
和
d
的比，那么这四条线段
a
,
b
,
c
,
d
叫做
成比例线段
，简称
比例线段．
注
：①比例线段是有顺序
的，如果说
a
是
b
,
c
,
d
的第四比例项，那么应得比例式为：
b
d
．
c
a
a
b
(
交换内项
)
c<
/p>
d
，
a
c
②
d
c
，
核心内容：
ad
bc
(
交换外项
)<
/p>
b
d
b
a
d
b
(
同时交换内外项
)<
/p>
c
a
．
（
2
）黄金分割：把线段
AB
分成两条线段
AC
,
BC
(
AC
BC
)
，且使
AC
是
AB
和
BC
的比例中项，
即
AC
AB
BC
，
叫
做
把
线
段
AB<
/p>
黄
金
分
割
，
点
C
叫
做
线
段
AB
的
黄
金
分
< br>割
点
，
其
中
2
AC
5
1
AC
B
C
5
1
长<
/p>
短
5
1
AB
≈
0.618
A
B
．即
简记为：
＝
＝
2
AB
AC
2
全
长
2
0
注：
①黄
金三角形：顶角是
36
的等腰三角形
②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形
< br>（
3
）合、分比性质：
a
c
a
b
c
d
．
b
d
b
d
注：
实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个
比的前项，后项之间
b
a
d
c
a
c
a
c
发生同样和差变化比例仍成立．如：
等等．
a
b
c
d
b
d
a
b
c
d
a
c
e
m
(
b
d
f
n<
/p>
0
)
，
b
d
f
n
a
c
e
m
a
．
那么
b
d
f
n
b
（
4
）等比性质：如果
A
B
C
D
E
F
知识点
3
比例线段的有关定理
平行线分线段成
比例定理
:
三条平行线截两条直线
,<
/p>
所截得的对应线段成比例
.
已知
AD
∥
BE
∥
CF,
可得
AB
DE
AB
DE
BC
EF
BC
EF
AB
BC
等
.
或
或
或
或
BC
EF
AC
DF
AB
DE
AC
DF
DE
EF
A
特别在三角形中：
由
DE
∥
BC
可得：
AD
AE
BD
EC
AD
AE
或
或
DB
EC
AD
EA
AB
AC
B
D
E
C
知识点
4
相似三角形的概念
（
1
）
定义：
对应角相等，
对应边成比例的三角形，
叫做相似三角形．
相似用符号
“∽”
表示，
读作
“相
似于”
．相似三
角形对应边的比叫做相似比
(
或相似系数
)
．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
注：
①对应性：即把表示对应顶点的
字母写在对应位置上
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
④全等三角形是相似比为
1
的相似三角形．
（
2
）三角形相似的判定方法
1
、平行法：
（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边
(
或两边的延长线
)
相交，所构成的三角
形与原三角形相似
.
2
< br>、判定定理
1
：简述为：
两角对
应相等，两三角形相似．
AA
3<
/p>
、判定定理
2
：简述为：
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
．
SAS
4
、判定定理
3
：简述为：
三边对应成比例，两三角形相似
．
SSS
5
、判定定理
4<
/p>
：直角三角形中，
“
HL
”
全等与相似的比较：
三角形全等
两角夹一边对应相等
(ASA)
两角一对边对应相等
(AAS)
两边及夹角对应相等
(SAS)
三边
对应相等
(SSS)
、
(HL
）
三角形相似
两角对应相等
两边对应成比例，且夹角相等
三边对应成比例
“
HL
”
<
/p>
（
3
）射影定理：
如图，
Rt
△
ABC
中，∠
BAC=90
°，<
/p>
AD
是斜边
BC
上的高，
2
则
∽
＝＝＞
AD
=BD
·
DC
，
2
∽
＝＝＞
AB
=BD
·
BC
，
2
∽
＝＝＞
AC
=CD
·
BC .
B
A
D
C
知识点
5
相似三角形的性质
(1)
相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)
相似三角形周长的比等于相似比．
(
3)
相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(4)
相似三角形面积的比等于相似比的平方
．
知识点
6
相似三角形的几种基本图形：
（
1
）
如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“
A
型”与“
X
型”图）
A
D
E
A
E
D
C
C
B
B
(3)
(1)
(2)
如图：其中∠
1=
∠
2
，则△
ADE
∽△
ABC
称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反
A
共角型”、
“反
A
共角共边型”、
“蝶型”）
D
A
A
1
E
E
4
E
1
A
D
1
D
2
2
C
2
C
B
C
B
B
(3)
一线三等角的变
形
:
知识点
7
等积式证明题常用方法归纳：
(1)
总体思路
:
“等积”变“比例”
，
“比例”找“相似”
(2)
找相似：
通过
“横找”
“竖看”
寻找三角形，
即横向看或纵向寻找
的时候一共各有三个不同的字母，
并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，
并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形
相似，然后由相似三角形对应边成比例即可
证的所需的结论
.
(3)
找中间比：
若没有三角形
(
即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者
三个字母，但这几个字
母在同一条直线上
)
，则需要进行“转移”
(
或“替换”
)
，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段
代换、等比代
换、等积代换
.
即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式
左右两边的比表示出来。
(4)
添
加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线
(
通常是添加平行线
)
构成
比例
.
注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的
重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂
线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。
知识点
8
相似多边形的性质
(1)
相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比．
(2)
相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．
(3)
相似多边形面积比等于相似比的平方．<
/p>
注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因
此，熟练掌握相似三角形知识是
基础和关键．
知识点
9
位似图形有关的概念与性质
（
1
）
位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
.
（
2
）
位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
.
（
3
）
位似图形的对应边互相平行或共线
.
（
4
）位似图形具有相似图形的所有性质
.
位似图形的性质：
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
.
在平面直角坐标系中，
如果位似是以
原点
为位似中心，
相似比为
k
，
那么位似图形对应点的坐标比等
于
k
或
-k.
（若位似中心不是原点，则向坐标轴作垂直构造直角三角形，利用相似解决或是先平移到原
点，求出对应点的坐标再平移回去）
知识点一：平行线成比例定理
典型例题
BE
3
AE
交
BD
于点
F
，
例
1
、
如图，平行四边形
ABCD
中
E
是
BC
上的一点，
，
EC
4
BE
及
DF
的值。
BF
6
cm
，求
DA
A
D
F
例
2.
如图，平行四边形
< br>ABCD
的对角线
AC
与
BD
相
O
，
E
是
CD
的中点，
AE
交
BD
于
F
，则
DF:FO
＝
_____
。
B
E
C
交于
跟踪练习
1
：
如图，
平行四边形
ABCD
中，
O
1
、
O
2
、
O
3
为对角线
BD
上三点，且
BO
1
＝
O
1
O
2
＝