解三角形知识点总结及典型例题自己总结的
什么是绩效考核-
解三角形知识点总结及典型例题
一、
知识点复习
1
、正弦定理及其变形
a
b
c
2
R
sin
A
sin
B
sin
C
(
R
为三角形外接圆半径）
（）
1
a
< br>
2
R
sin
< br>A
,
b
2
R
sin
B
,
c
2
R
sin
C
(
边
化角公式）
（
2
）
sin
A
a
b
c
(
角化边公式）
,sin
B
,sin
C
2
R
2
R
2
R
a
sin
A
a
sin
A
b
sin
B
,
,
< br>b
sin
B
c
< br>sin
C
c
sin
C
（
3
）
< br>a
:
b
:
c
sin
A
:sin
B
:sin
C
(4)
2
、正弦定理适用情况：
（
1
）已知两角及任一边
（
2
）已知两边和
一边的对角（需要判断三角形解的情况）
已知
a
，
b
和
A
，求
B
时的解的情况
:
如果
sin
A
sin
B
，则<
/p>
B
有唯一解；如果
sin
A
sin
B
1
，则
B
< br>有两解；
如果
sin
B
1
，则
B
有唯一解；如果
sin
B
1
，则
B
无解
.
3
、余弦定理及其推论
b
2
c
< br>2
a
2
cos
A
2
2
2
2
bc
a
b
c<
/p>
2
bc
cos
A
a
2
c
2
b
2
2
2
2
b
a
< br>c
2
ac
cos
B
cos
B
2
ac
c
2<
/p>
a
2
b
2
2
ab
cos
C
a
2
b
2
c
2
cos
C
2
ab
4
、余弦定理适用情况：
（
1
）已知两边及夹角；
（
2
）已知三边
.
5
、常用的三角形面积公式
（
1
）
S
ABC
（
2
）
S
< br>ABC
1
底
< br>
高
；
2
1
1
1
ab
sin
C
bc
sin
A
ca
sin
B
（两边夹一角）
.
2
2
2
6
、三角形中常用结论
（
1
）
a
b
c
,
b
c
a
,
a
c
b
< br>(
即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）
；
（
2
）
在
ABC
中，
A
B
a
b
sin
A
sin
B
(
即大边对大角，大角对大边）
.
（
3
）在△
ABC
中，
A
B
C
，所以
sin(
A
B
)
sin
C
；
cos(
A
B
)
cos
C
；
tan(
A
B
)
tan
C
.
sin
A
B
C
A
B
C
cos
,
cos
sin
.
2<
/p>
2
2
2
二、典型例题
题型
1
边角互化
[
例
1 ]
在
ABC
中，若
sin
A
:
sin
< br>B
:
sin
C
< br>
3
:
5
:
7
，则角
C
的度数为
【解析】由正弦定理可得
a
:
b
:
c
3
:
5
:
7
，
,
令
a
、
b
、
c
依次为
3
、
5
、
7<
/p>
，
a
2
b
2
c
2
3
2
5
2
7
2
1
则
cos
C
=
=
=
2
ab
2
3
5
2
因为
0
C
，所以
C
2
3
2
2
2
2
2
2
[
例
2 ]
< br>若
a
、
b
、
c
是
A
BC
的三边，
f
(
x
)
b
x
(
b
<
/p>
c
a
)
x
c
，则函数
f
(
x
)
的图象与
x
轴
( )
A
、有两个交点
B
、有一个交点
C
、没有交点
D
、至少有一个交点
【解析】由余
弦定理得
b
c
a
2
b
c
cos
A
，所以
2
2
2
f
(
x
)
b<
/p>
2
x
2
2
bc
cos
A
g
x
c
2
=
(
bx
c
cos
A
)
2
c
2
c
2
cos
2
A
，因为
cos
2
A
1,
所以
c
2
c
2
cos
2
A
0
，因此
f
(
x
)
0
恒成立，所以其图像与
x
轴没有交点。
题型
2
三角形解的个数
[
< br>例
3]
在
ABC
中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是
(
)
A
、
a
7
，
b
14
，
A
30
；
C
、
b
4
，
c
< br>5
，
B
30
；
题型
3
面积问题
[
例
4]
ABC
的一个内角为
1
20
，并且三边构成公差为
4
的等差数列，则
ABC
的面积为
【解析】设△
ABC
的三边分别：
x
4
,
x
,
x
4
，
∠
C=120
°，∴由余弦定理得：
(
x
4
)
(
x
4
)
x
2
x
(<
/p>
x
4
)
cos
120
，解得：
x
10
，
∴
ABC
三
边分别为
6
、
10
、
14
，
2
2
2
0
B
、
b
25<
/p>
，
c
30
，
C
150
；
D
、
a
6
，
b
3
< br>，
B
60
。
0
S
V
ABC
1
1
3
ab
sin
C
6
10
<
/p>
15
3
. <
/p>
2
2
2
2
2
2
2
题型
4
判断三角形形状
[
例
5]
在
ABC
中，已知
(
a
b
)
sin(
A
B
)
(
a
b
)
sin(
A
<
/p>
B
)
,
判断该三
角形的形状。
【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
方法一：
a
[sin(
A
B
)
sin(
A
B
)]
b
[
sin(
A
B
)
s
in(
A
B
)]
2
2
2
a
2
cos
A
sin
B
2
b
2
cos
B
sin
A
由正弦定理，即知
sin
A
cos
A
sin
B
sin
B
cos<
/p>
B
sin
A
<
/p>
2
2
sin<
/p>
A
sin
B
(s
in
A
cos
A
sin
B
cos
< br>B
)
0
sin
2
A
sin
2
B
由
0
2
A
,
2
B
2
，得
2
A
2
B
或
2
A
2
B
,
即
ABC
为等腰三角形或直角三角形
.