代数发展史
亲爱的老婆-
代数发展史
一门科学的历史是那门科学中
最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，
而历史
却能给我们智慧。数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，
人类的进步和
科学思想是一致的。
数学发展到现在，
已经成为科学世界
中拥有
100
多个主要分支学科的庞大的‚共和
国‛。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的
范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个
数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互
相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。
‚代数‛（
algebra
）一词最初来源于公元
9
世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉
子米
（
al-
Khowārizmī，
约<
/p>
780
－
850
）
一本著作的名称，
书名的阿拉伯文是‘ilm
al
-jabr
wa’l
muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》
．
al-
jabr
意为‚还原‛，这里指把负
项移到方程另一端‚还原
‛为正项；
muqabalah
意即‚对消‛或‚化简‛，指
方程两端可
以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把‚a
l-
jabr‛译为拉丁文‚aljebra‛，拉丁文
‚alje
bra‛一词后来被许多国家采用，英文译作‚algebra‛。
阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉
子米的传记材料，很少流传下
来．一般认为他生于花拉子模
[K
hwarizm
，位于阿姆河下游，今乌兹别克境内的希瓦城
(
Хива)
附
近
]
，
故
以
花
拉
子
米
为
姓<
/p>
．
另
一
说
他
生
于
巴
格
达
附
近
的
库
特
鲁
伯
利
(Qut-
rubbullī
)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等
教育，后到中
亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久
成为远近闻
名的科学家．东部地区的总督马蒙
(al-
Ma’mūn，公元
786
—
833
年
)
曾在默夫
召见过花拉子米．公元
813
年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子米到首
都巴
格达工作．公元
830
年，马蒙在
巴格达创办了著名的‚智慧馆‛(Bayt
al
-Hikma
h
，是自公
元前
3
世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关
)
，
花拉子米是智慧馆学术工作的主要领
导人之一．
马
蒙去世后，
花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，
直至去世．
花
拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局
势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣
昌盛的时期．
花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等
领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：
《
代数
学》和《印度的计算术》
．
18
59
年，我国数学家李善兰首次把‚algebra‛译成‚代数‛。
< br>后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》
，卷首有‚代数
之法，无
论何数，皆可以任何记号代之‛，亦即：代数，就是运用文字符号来代替数字的
一种数学
方法。
古希腊数学家丢番图
（
Diophantus
）用文字缩写来表示未知量，在公元<
/p>
250
年前后
丢番图写了一本数学巨著《
算术》
（
Arithmetica
）<
/p>
。其中他引入了未知数的概念，创设了未
知数的符号，并有建立方
程序的思想。故有‚代数学之父‛（
Father
of
algebra
）的称号。
代数是
巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的
伟大数学成
就。发展至今，它包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分。
1
、算术
算术给予我们一个用之不竭的、充
满有趣真理的宝库
----
高斯（
Ga
uss,1777-1855
）
数可以说成是统治整个量的世界，
而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的
装备
---
麦斯韦
(James Clark Maxwell
1831-1879)
算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的‚数学‛，如《九章
算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有‚计算技术‛之意。现在一< p>
般所说的‚算术‛，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学中，则有‚数论‛的含< p>
义。作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们
的四则运算，并
通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。
算术是数学中最古老的一个分支，它
的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐
渐地建立起来的。
它们反映了在许多世纪中积累起来，
并不断凝固在人们意识中的经验。
自
然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，
产生的抽象概念。日常生活中要求人们
不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长
度、重量和时间。为了满足这些简单的
量度需要，就要用到分数。
现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在
1
0
世纪或
11
世纪。
< br>它后来被阿拉伯人采用，
之后传到西欧。
15
世纪，
它被改造成现在的形式。
在印度算术的后面
，明显地存在着我国古代的影响。
19
世纪中叶，
格拉斯曼（
Grassmann
）
第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其它命题，可
以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。后来，皮亚诺（
Peano
）进一步完善了格拉
斯曼的体系。
算术的基本概念和逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了
世界的客观规律性。尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此广泛，因此我
们几乎离不开它。同时，它又构成了数学其它分支的最坚实的基础。
2
、初等代数
作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。代数一词的拉丁文
原意是‚归位‛。代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的：其一
是增加未知数的个数，
考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组
(
主要
是一次方程组
)
；其二是增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的
主要内容在
16
世纪便已基本上发展完备了。<
/p>
古巴比伦
(
公
元前
19
世纪～前
17
世纪
)
解决
了一次和二次方程
问题，欧几里得的《原本》
(
公元前
4
世纪
)
中就有用几何形式解二次方
程的方法。我国的《九章算术》
(
公元
1
世纪
)
中有三次
方程和一次联立方程组的解法，并
运用了负数。
3
世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。
13
世纪我国出现的天
元术
(
李冶《测
圆海镜》
)
是有关一元高次方程的数值解法。
< br>16
世纪意大利数学家发现了三
次和四次方程的解法。<
/p>
代数学符号发展的历史，可分为三个阶段。第一个阶段为三世纪
之
前，对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，称为文字叙述代数。第二个阶段
为
三世纪至
16
世纪，对某些较常出现
的量和运算采用了缩写的方法，称为简化代数。三世纪
的丢番图的杰出贡献之一，就是把
希腊代数学简化，开创了简化代数。然而此后文字叙述
代数，在除了印度以外的世界其它
地方，还十分普通地存在了好几百年，尤其在西欧一直
到
15<
/p>
世纪。第三个阶段为
16
世纪以后，对问
题的解多半表现为由符号组成的数学速记，
这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系
，
称为符号代数。
韦达
（Viète）
在他的
《分
析方法入门》
（
Inartem analyticem isagoge,1591
）著作中，首次系统地使用了符号表示
未知量的值进行运算，提出符
号运算与数的区别，规定了代数与算术的分界。韦达是第一
个试图创立一般符号代数的的
数学家，他开创的符号代数，经笛卡尔（
Descarte
）改
进后
成为现代的形式。笛卡尔用小写字母
a, b,
c
等表示已知量，而用
x, y, z
代表未知量。
这种用法已经成为当今的标准用法。
‚＋‛、‚－‛号第一次在数学书中出现，是
1489
年维德曼的著作《商业中的巧妙速算法》
（Behend und hüpsch
Rechnung uff allen
kauffmanschafften, 1
489
）
。不过正式为大家所公认，作为加、减法运算的符号，
那是从
1514
年由荷伊克开始的。
1
540
年，
雷科德
(R.
Rcorde)
开始使用现在使用的‚＝‛。
到<
/p>
1591
年，韦达在著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。<
/p>
1600
年哈里奥特（
T. Harri
ot
）创
用大于号‚＞‛和小于号‚＜‛。
1631
年，奥屈特给出‚×‛、‚÷‛作为乘除运算符。
1637
年，笛卡尔第一次使用了根号，并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面
的字
母表示未知数的习惯做法。至于‚≮‛、‚≯‛、‚≠‛这三个符号的出现，那是近
代的
事了。
数的概念的拓广，在历史
上并不全是由解代数方程所引起的，但习惯上仍把它放在
初等
代数里，以求与这门课程的安排相一致。公元前
4
世纪，古希腊
人发现无理数。公元
前
2
世纪
(
西汉时期
)
，
我国开始应用负数。
1545
年，
意大利的卡尔达诺
(N.
Cardano)
在
《大
术》中开始使用虚数。
1614
年，英国的耐普尔发明对数。
17
世纪末，一般的实数指数概念
才逐步形成。
3
、高等代数
在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；而二次以上
方
程发展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内
容
的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代
数
分支学科。作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。高次方程组（即非线性方程
组
）发展成为一门比较现代的数学理论
----
代数几何。
线性代数是高等代数的一大分支。
我们知道
一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线
性代数中
最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而
且写了成
千篇关于这两个课题的文章。向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数
组的一个
集合，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理
上所说的
事情。向量用于梯度，散度，旋度就更有说服力。同样，行列式和矩阵如导数一
样（虽然
在数学上不过是一个符号，表示包括的极限的长式子，但导数本身是一个强有力
的概念，
能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）
。因此，虽然表面上看，行列式
和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然
而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。
线性代数学科和矩阵理论是伴随着
线性系统方程系数研究而引入和发展的。<
/p>
十七世纪日本数学家关孝和提出了行列式（
< br>determinant
）的概念，他在
1683
年写
了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是‚解行列式问题的方法
‛，书里对行列式的概
念和它的展开已经有了清楚的叙述。而在欧洲，第一个提出行列式
概念的是德国的数学家，
微积分学奠基人之一莱布尼兹
（
Leibnitz
，
1693
年）
。
1750
年克莱姆<
/p>
（
Cramer
）
在他的
《线
性代数分析导言》
（
Introduction d l'analyse des lignes
courbes alge'briques
）中发
表了求解线
性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的
Cramer
克莱姆
法则）
。
1764
年，
Bezout
把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含
n
个未知量的
n
个齐
次线
性方程，
Bezout
证明了系数
行列式等于零是这方程组有非零解的条件。
Vandermonde
是第
一个对行列式理论进行系统的阐述（即把行列式理论与线性方程组求解相分离）
的人。并
且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身
进行研究
这一点而言，他是这门理论的奠基人。
参照克莱姆和
Bezout
的工作，
1772
年，
Laplace
在《对积分和世界体系的探讨》中，证明了
Vandermonde
的一些规则，并推广了他的展开
行列式的方法，用
r
行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在
仍
然以他的名字命名。
1841
年，德国数学家雅可比（
Jacobi
）总结并提出了行列式的最系
统的
理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西（
Cauchy
< br>）
，他大大发展了行列
式的理论，在行列式的记号中他把
元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同
时发现两行列式相乘的公式及改进
并证明了
laplace
的展开定理。相对而言，最早利用矩<
/p>
阵概念的是拉格朗日（
Lagrange
）在
1700
年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了<
/p>
解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，
他首先需要一阶偏导数为
0
，
另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。
这个条件就是今天所谓的
正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。
大约在
1800
年，高斯（
G
auss
）
提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地
球表面测量计算中的最小二乘法问
题。
（这种涉及测量、求取地
球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。
）虽然高
斯
由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出