1667

－

174 8)

才在莱布尼兹函数概念的基

础上，

对函数概念进行了明确定义：

由任一变量和常数的任一形式所构成的量，

贝努利把变

量

x

和常量按任何 方式构成的量叫“

x

的函数”

，表示为 ，其在函数概念中所说的任一形式，

包括代数式子和超越式子

.

18

世纪中叶欧拉

(L

．

Euler

，瑞，

1707

－

1783)

就给出了非常形象的，一 直沿用至今的

函数符号

.

欧拉给出的定 义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组

成的解析表达式

.

他把约翰•贝努利给出的函数定义称为解析函数，

< br>并进一步把它区分为代数

函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数

表示的函数）

，还考虑了“随意函数”

（表示任意画出曲线的函数）

，不难看出，欧拉给出的

函数定义比约翰•贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义

.

1822

年傅里叶

(Fourier

，法，

1768

－

1830)

发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式

子表示，

或用多个式子表示，

从而结束了函数概 念是否以唯一一个式子表示的争论，

把对函

数的认识又推进了一 个新的层次

.1823

年柯西

(Cau chy

，法，

1789

－

1857)

从定义变量开始给

出了函数的定义，

同时指出，

虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，

但是对函数来说不

一定要有解析表达式，

不过他仍然 认为函数关系可以用多个解析式来表示，

这是一个很大的

局限， 突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷

.

1837

年狄利克雷

(Dirichlet

，德，

1805

－

1859)

认为怎样去建立

x

与

y

之间的关系无关

紧要，他拓广了函数概念，指出：

“ 对于在某区间上的每一个确定的

x

值，

y

都有一个或多

个确定的值，那么

y< /p>

叫做

x

的函数

.

”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中

所有的关 于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受

.

至

此，

我们已可以说，

函数概念、

函数的本质定义已经形成，

这就是人们常说的经典函 数定义

.

等到康托尔

(Canto r

，

德，

1845

－

1918)

创立的集合论在数学中占有重要地位之后，< /p>

维布

伦

(Veblen

< br>，美，

1880

－

1960)< /p>

用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合

概念 ，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，

变 量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）

.

1914

年豪斯道夫

(F

．< /p>

Hausdorff)

在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数

.

其优点是

避开了意义不明确的

“变量”

、

“对应”

概念，

其不足之处是又引入了不明确的概念

“序偶”