近世代数发展简史
苏州周庄-
近世代数发展简史
根据课程教学安排，
通过查阅近世代数发展历史的相关资料，<
/p>
了解了相关的知识，
并对
近世代数的知识
结构和发展脉络有了更清楚的认识和理解，
以下是我将对近世代数及其发展
历史的认识。
一、近世代数的定义
代数学是以数、
多项式、矩阵、变换和它们的运算，以及群、环、域、模等为研究对象
的学科，
而近世代数
（又称抽象代数）
是代数学研究的一
个重要分支，
主要研究群、
环、
域、<
/p>
模这四种抽象的代数结构，并深入研究了具有一定特性的群、环、域、模及其子结构、商结
构、同态和同构、以及作为它们支柱的具体例子，
它不仅在代数
学中，
而且在现代数学的理
论与应用中都具有基本的重要性。<
/p>
二、近世代数的发展
代数学的起源较早，在挪威数学家阿贝尔（
Abel
，
.
）证明五次以上方程不能用根式求
解
的进程中就孕育着群的概念；
1830
年，年仅
19
岁的伽罗瓦（
Galois
，
E.
）彻底解决了代
数方程的根式
求解问题，
从而引进数域的扩张、
置换群、
可解群等概念；
后来，
凯莱
（
Cayley
，
A.
）在
1854
年的文章中给出有限抽象群；戴德金（
Dedekind
，
）于
1858
年在代数数域中又
引入有限交换群和有限群；克莱因
（
Klein
，
.
）于
1872
年建立了埃尔朗根纲领，这些都是
抽象群产生的主要源泉。然而抽象群的公理系统直到
1882
年凯莱与韦伯（
Weber
，
H.
）
在
的同一期分别给出有限群的公理定义，
1893
年韦伯又给出无
限抽象群的定义。由于李
（
Lie
，<
/p>
.
）对连续群和弗罗贝尼乌斯（
Frob
enius
，
.
）对群表示的系统研究
，对群论发展产
生了深刻的影响。
同时，
李在研究偏微分方程组解的分类时引入李代数的概念，
然而，
它
的
发展却是
19
世纪末和
20
世纪初，
由基灵
（
Killing
，
）
、
外尔
（
Weyl
，
（
.
）
H.
）
和嘉当
（
Cartan
）
等人的卓越工作才建立了系统理论。
域这个名词虽
是戴德金较早引入的，
但域的公理系统却是迪克森（
Dicks
on
，
.
）与亨廷
顿（
Huntington
，
.<
/p>
）于
19
世纪初才独立给出。而域的系统
发展是从
1910
年，施泰尼茨
（
Steinitz
，
E.
< br>）的著名论文“域的代数理论”开始的。同期，布尔（
Boole
，
G.
）研究人
的思维规律，
于
1854
年出版《思维规律的研究》
，建立了逻辑代数，即布尔代数。但格论是
在
1933
～
1938
年，经伯克霍夫（
< br>Birkhoff
，
.
）
、坎托罗维奇（Канторович
.
П<
/p>
.
В
.
）
、奥尔（
Ore
，
O
.
）等人的工作才确立了在代数学中的地位。另一方面，
184
3
年，哈密
顿（
Hamilton
，
.
）
引进四元数并奠定了矢量代数和矢量分析的
基础，而四元数系又构成实
数域上有限维可除代数。凯莱与西尔维斯特（
Sylvester
，
.
）一
起建立了代
数型的理论，
奠定了代数
不变量的矩阵理论。
凯莱又是矩阵代数的创始人，
他建立了八元
数与非结合代数，
同时，克利福德（
Clifford
，
.
）将八元数（复四元数）及外代数推广到一
般克利福德代数，
并将其成功地应用于非欧几里得空间中运动的研究。
< br>
19
世纪和
20
世纪之交，库默尔（
Kummer
，
.
）
引入对代数数论有重要
影响的理想数概
念，他于
1844
年指
出整环未必有惟一分解性质。戴德金将库默尔理想数推广并引出现代理
想的概念，建立了
代数数域的理论和代数整数环上理想的惟一分解定理。特别是
1894
< br>年，
嘉当（
Cartan
，<
/p>
.
）关于复单李代数的完全分类以及
19
07
年，韦德伯恩（
Wedderburn
，
）发
展了嘉当关于实数域和复数域上线性结合代数的结构
定理，
从而创立了一般域上结合代数的
结构定理，
极大地发展了近世代数的理论。
在此期间，
群以及与
其紧密相关的不变量概念在
分析、
几何、
力学和理论物理中都发挥了重大影响，
而这些学科的发展反过来又促进了代数
的发展。如诺特（
Noether
，
M.
）研究代数簇在双有理变换下的不变性质和关于曲面的著名
定理，
便导致多项式环理想理论的建立。
因此，深
入研究代数的相关概念，
以及从各种具体
对象抽象出共同特性来
进行公理化的研究，就导致近世代数的进一步演变，
促进了相
对独
立的学科，如群、域、线性代数、代数数论、环论等向纵深和综合两方面发展
.
德国代数学
派在这方面起了领导作用，戴德
金、希尔伯特（
Hilbert
，
D.
）和韦伯以及施泰尼茨等对代
数学抽象公理化的研究有很大贡献
，其中突出的成就是布饶尔（
Brauer
，
< br>R.
（
D.
）
< br>）
、哈塞
（
Hasse
，
H.
）
、诺特（
Noether
，
.
）
、
阿尔贝特（
< br>Albert
，
.
）关于有限维
结合代数的理论，
它阐明了有理数域上单代数都是其中心
F
上的循环代数。
特别是诺特于
1920
年引入左
（右）
模的概念，
并研究了模在有限群表示论中的作用，
以及模与代数
结构理论之间的联系，
使模
成为数学的重要工具，从而又推动了
环论的发展。
1921
年，她写的“整环的理想理论”建
立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理，成为交换代数的里程碑。
1926
年，她又给出
戴德金环的公理刻画，因此，诺特是近世
代数的
奠基人之一。她和阿廷（
Ar
tin
，
E.
）以及
< br>他们的学生（包括中国数学家曾炯之）为中心，在
20
世
纪
20
—
30
年代，对域论、类域论、
代数的理想理论到
< br>阿廷环的推广取得辉煌成就。
其中，
阿廷在
1927
年将代数结构定理推广
到极小条件环上，就
是著名的韦德伯恩
-
阿廷定理，成为环论发展的一个新里程碑；
同
时，
克鲁尔（
Krull
，
W.
）创立了局部环
的理想理论，范
•
德
•
瓦尔登（
Van der Waerden
，
.
）
等人发展并简化了单纯代数的结构和环的理
想理论
.20
世纪
30
年代初，范
•
德
•
瓦尔登的
《近世代数学》综合总结了从伽罗瓦起
100
年来近世代数各方面的工作，是近世代数的一