子主题四有理数与无理数的发展历史(精)
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子主题四
有理数与无理数的发展历史
学习目标
知识与技能
通过一系列的探究活动，
了解有理数
的发展，
会进行有理数的分类．
并通过
查阅资料、折纸、拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要
性．进一步
理解数的本质属性，破除对无理数的神密感与畏惧感．
过程与方法
探讨有理数的产生、
应用，
借助计算器探索圆周率是无限不循环小数，
并从
中体会无理数的本质属性与无限逼近的思想，
感受数学对事物量的刻画从粗放到
精细再到精准的变化过程，
体验数学表达事物的特有的方法
（说不清的事物，
不
便于表达的事物引入概念用符号
表示出来，再为其建立一套法则）．
情感态度与价值观
通过经历探究活动，
获得解决实际问
题的成功体验；
培养现代社会学习、
生
活、
工作、
研究应具备的基本态度和交流合作意识．
由数的发展过程的变迁感受
人类在面对问题时，那种不断追问、不断追求、
不断创造的求索精神．树立用符
号表示事物的信心．
重难点分析
重点
<
/p>
查阅文献和资料，
探究有理数产生、
分类
和发展过程。
了解有理数和无理数
对数学的作用，进一步理解有
理数本质属性．
难点
理解无理数产生的背景，以及对无理数的本质属性的认识．
探究数的发展历史不仅可以使学生
对数的产生和发展有一个初步的认识，
同
时，
< br>也有利于学生更深刻地理解有理数、
无理数的意义与价值，
形成科学的学习
态度，
因此，
探究有
理数和无理数的起源、
发展及作用及其本质属性成为这一子
主题
的重点．
由于无限不循环小数的产生与学生的实际生活联系不太密切，
< br>且极
易与无限循环小数产生混淆，
还有，
一些历史资料学生阅读起来比较困难，
因此，
探究无理
数产生的背景及其本质属性成为这一活动的难点，
建议老师在活动中要
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进行必要的指导和示范，
同时，
对学生搜集到的资料要
根据学生的认知水平进行
适当地解释和说明，以帮助学生更好地理解和使用资料．
活动建议方案
《有理数与无理数的发展历史》活动建议方案
一、活动流程框图
课题引入
二、活动过程
2.1
活动任务
探究有理数的概念、意义、作用、地位；探究无理数的产生与价值，及有理
数与无理
数联系与区别，揭示其本质属性．
本探究子主题设计以下三个活动：
2
.2
活动
1
：有理数的分类
2.2.1
活动内容
明确探究任务
任务一：查阅关于有理
数产生、分类的资料，并提出自己的想法与困惑．
任务二：探究有理数产生的过程，及有理数名称的由来；
任务三：
探究已学过的数哪些是有理数，
试
给出有理数的定义，
理清你所学
过的数与有理数之间的关系．<
/p>
分组探究：
学生分组对任务进行探究，
教师在学生完成任务探究之后组织进行交流和汇
报，每项任务分别选择两个小组进行汇报，其他组进行完善与补充．
参考资料
1.
有理数的产生
很久很久以前，
< br>人类的祖先群居在森林里、
山洞中，
身上披的是兽皮和树
叶，
吃的是山上的野兽、树上的野果和河里的鱼，终年靠狩猎为生．那时候，虽然每
有理数的分类
有理数的发展
介绍无理数
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天猎取的食物不多，
但仍然有一个记数的问题．
开始，
人们只是以
“多”
和
< br>“少”
来区分．
渐渐地，
有人想
到可以扳着手指头来数数．
因为那时每天狩猎的结果也
只是“屈
指可数”的水平．再后来．狩猎的工具改进了，水平也提高了，当猎物
超过十个以后，<
/p>
“屈指”已不可数，于是又想到在一条绳子上打结来记数．又过
了
不知多少年代，人们渐渐感到“结绳”不但麻烦，而且时间一长往往记不清这
些
“结”
指的是什么了，
终于想到要用一些符号来
表示各种不同的东西和各种东
西的数目，
出现了最早的数字．<
/p>
例如，
在殷墟的甲骨文中，
有许多数字<
/p>
（参见
《中
国数学的世界之最》一文）<
/p>
．在国外，大约在公元
8
世纪，有一种印
度的数字传
入阿拉伯，它们是：
1
、<
/p>
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
、
10
．这种数字后来又由阿拉
伯人传入欧洲，
被欧洲人称作阿拉伯数字．
这些数字符号，
在使用过
程中又经人
们不断改进，最后演变成现在我们所使用的数字．
数字的出现，
给人们的生产和生活带来了极大的方便．
但如何用尽量少的数
字来表示那么多的数呢？这个问题，
在中国人首先创造了十进制记数法以后，
才
最终得到圆满的解决．
打猎有时两人合作才能猎获一只兔
子，
有时五人合作一共猎获两只羊，
如何
分配这些食物呢？起初，人们只知道“二分一”
、
“五分二”
；后来，才逐渐形成
了分数的概念，记录下来，就是“二分之一
”
“五分之二”……《周髀算经》中
已大量使用分数，
《九章算术》
（约公元前
100-50
）给出了相当完整的分数理论，
比欧洲同类著作大约早
< br>1400
年．我们现在所说的分数除法把除数“颠倒相乘”
，
就是我国古代数学家刘徽（公元前
3
世纪）的原话．
人类对
0
的认识比较晚．打不到野兽，空手而归，这
是最初对“
0
”的印象：
空虚、饥饿、
一无所有．在记录这种情况时，各民族大多不约而同地用空位来表
示．后来，又用符号“
□”表示空位（有人推测这是个空无一物的牲畜栏）
，慢
慢地就
演化成现在的“
0
”了．
正如伟大导师恩格斯所精辟论断的
那样：
“数和形的概念不是从其他任何地
方，而是从现实世界中
得来的．
”
在小学数学中，算式“<
/p>
2-3
”给我们的印象是不够减．但学习了有理数的知
识后，我们就能解决这个问题了．有理数包括正数、负数和
0
．正负数的概念也
是从生产实际的需要中产生的．生产发展了，人们的财富多
起来，促使人们“互
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通有无”
，进行交换．于是，人们把私有财产记为正，欠债记为负；收入记为正
，
支出记为负；运进记为正，运出记为负；超出记为正，不足记为负……人们从这
些具有相反意义的量中抽象出了正数和负数的概念．负数是相对于正数而言
的．
正数和负数既相互对立，
又相互依存．
我们的祖先不仅最早认识到负数的存
在，而且总结出正负数的加减运算法则（如
《九章算术》
）
，这在当时也是一件重
大创造．
2.
有理数的分类
< br>整数和分数统称有理数，负数的引入使数的范围扩大，你能将有理数正确
分类吗？
正整数
整数
0
负整数
有理数<
/p>
正分数<
/p>
分数
负分数
正整数
正有理数
<
/p>
正分数
<
/p>
或有理数
0
负整数
负
有理数
负分数
注意：
有时为了研究的需要，
整数也可以看成是分母为
1
的分数，
但上面分
类中分数显然不包括整数．<
/p>
到现在为止，我们学过的数（除
π
之外）都是有理数．
在自然数中，零表示
一个物体也没有，引入负数后，我们知道零是正、负数
的界限，表示“基准”的数，是一
个实际存在的数量，从这个角度讲，有理数还
可以分成正有理数、零、负有理数．
2.2.2
活动组织方式
本探究活动采用查阅资料、小组合作的探究，集体交流的形式．
教师先提出活动任务，学生在课前查找资料；
教师组织学生课上进行分组交流和探究，各组完成探究后再进行全班交流．
2.2.3
活动评价方式
三个活动全部结束后，
师、
生对探究活动进行过程
性评价和效果性评价，
包
括学生自评，互评和教师评价．
学生根据过程性学习评价表和终结性学习评价表对自己的探究过程和
结果
进行自评与互评；
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教师根据学生的汇报和交流的情况，
参考学生的自评与互评结果，
以及学生
完成的小论文对学生进行评价．
2.2.4
所需学习资源
2008
年我国主要经济数据
.doc
有理数名称的由来
.doc
数域的扩
充（
1
）
.jpg
< br>数域的扩充（
3
）
.jpg
2.1.5
所需学习时间
15
分钟．
2.3
活动
2
：有理数的发展
2.3.1
活动内容
探究有理数的发展和有理数的应用．
明确探究任务
任务一：查阅关于有理
数发展与应用的资料，并提出自己的想法与困惑．
任务二：<
/p>
探究有理数的发展经历了哪些主要阶段、
有哪些典型问题与代表人
物；
任务三：探究有理数的主要作用
，及在应用方面的著名的、有趣的问题．
分组探究：
学生分组对任务进行探究
，
教师在学生完成任务探究之后组织进行交流和汇
报，每项任务
分别选择两个小组进行汇报，其他组进行完善与补充．
2.3.2
活动组织方式
本探究活动采用查阅资料、小组合作的探究，集体交流的形式．
教师先提出活动任务，学生在课前查找资料；
教师组织学生课上进行分组交流和探究，各组完成探究后再进行全班交流．
2.3.3
活动评价方式
三个活动全部结束后，
师、
生对探究活动进行过程
性评价和效果性评价，
包
括学生自评，互评和教师评价．
学生根据过程性学习评价表和终结性学习评价表对自己的探究过程和
结果
有理数的产生
.doc
有理数的分类
.doc
数域的扩充（
2
）
.jpg
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