平面几何著名定理
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平面几何著名定理
1
、欧拉（
Euler
）线：
同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉
线；
且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半
2
、九点圆：
任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个
点共圆，<
/p>
这个圆称为三角形的九点圆；
其圆心为三角形外心与垂心所连线段
的中
点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
3
、费尔马点：
已知
P
为锐角△
ABC
内一点，当∠
APB
＝∠
BPC
＝∠
CPA
＝
< br>120
°时，
PA
＋
PB
＋
PC
的值最小，这
个点
P
称为△
ABC
< br>的费尔马点。
4
、海伦（
Heron
）公式：
在△
ABC
中，边
BC
、
CA
、
AB
的长分别为
a
、
b
、
c
，若
p
＝
则△
ABC
的面积
S
＝
p
(
p
a
)(
p
b
)(
p
c
)
1
（
a
＋
b
＋
c
）
，<
/p>
2
5
、塞瓦（
Ceva
）定理：
< br>
在△
ABC
中，过△
ABC
的顶点作相交于一点
P
< br>的直线，分别交边
BC
、
CA<
/p>
、
BD
CE
AF
1
；其逆亦真
AB
与点
D
、
E
、
F
，则
DC
E
A
FB
6
、
密格尔（
Miquel
）点：
若
AE
、
AF
、
ED
、
FB
四条直线相交于
A
、
B
、
C
、
D<
/p>
、
E
、
F
六点，构成四个
三角形，它们是△
ABF
、△
AED
、△
B
CE
、△
DCF
，则这四个三角形的外
接圆共
点，这个点称为密格尔点。
7
、葛尔
刚（
Gergonne
）点
:
E
A
密格尔
（
Miquel
）点
B
F
C
D
△
ABC
的内切圆分别切边
AB<
/p>
、
BC
、
CA<
/p>
于点
D
、
E
、
F
，则
AE
、
BF
、
CD
三线共点，这个点称为葛尔刚点。
L
1
O
1
P
1
葛尔刚点
M
1
Q
1
N
1
8
、西摩松（
Sims
on
）线：
已知
P
为△
ABC
外接圆周上任意一点
，
PD
⊥
BC
，
PE
⊥
ACPF
⊥
AB
，
D
、
E
、
F
为
垂足，则
D
、
E
、
F
三点共线，这条直线叫做西摩松线。
9
、黄金分割：
把一条线段
(AB)
分成两条线段
,
使其中较大的线段
(AC)
是原线段
(AB)
与较小
线段
< br>(BC)
的比例中项
,
这样的分
割称为黄金分割