几何毕业论文
萝卜饭-
向量的数性积和矢性积在解题中的一些应用
唐健
2
数学科学学院
数学与应用数学
2007
级（
1
）班
指导教师
李树霞
摘
要
本文通过两个向量的数性积和矢性
积在三角、平面几何、空间解析几何的不同应用
来深刻的了解向量是解题的重要方式
.
关键词
向量；数性积；矢性积
向量是现代数学的基本概念之一
,
是线性代数、解
析几何、微分几何等各种
理论的基础
,
而两向量的数性积和矢性积又是向量的两大基本点
,
因而两向量
的
数性积和矢性积就显得十分重要
.
下
面就两向量的数性积和矢性积的应用予以举
例
.
数性积定义
两个矢量
a
和
b
的模和他们夹角的余弦
的乘积叫做矢量
a
和
b
的数性积（也称内积）
,
记做
a
b
或
a<
/p>
b
.
即
a
b
a
b
cos
(
a
,
b
)
.
如果<
/p>
a
0
,
b
0
,
那么
cos
(
a
,
b
< br>)
a
b
a
b
.
特别地
,
当
a
b
时
,
a
a
a
.
记
a
< br>
a
a
,
则
a
a
.
2
2
< br>
2
数性积性质
1
设
a
,
b
均为非零矢量
,
有
a
b
=
a
射影
a
b
=
b
射影
b
< br>a
.
（几何
< br>
意义）
数性积性质
2
a
b
a
b
0
.<
/p>
（正交条件）
矢性积定义
两个矢量
a
和
b
的矢性积
（也称外积）
是一个矢量
,
记做
a
b
或
a
b
,
< br>它
的
模
是
a
b
a
b
s
in
<
/p>
(
a
,
b
)
,
它
的
方
向
与
a
和
b
都
垂
直
,
并
且
按
<
/p>
1
<
/p>
a
,
b
,
a
b
这个顺序构成右手标架
0
;
a
,
b
,
a
b
,
如图
1
0
图
1
矢性积性质
1
两不共线矢量
a
和
b
的矢性积的模<
/p>
,
等于以
a
和<
/p>
b
为邻边所构
成的平行四边形的面积
.
（几何意义）
矢性积性质
2
两矢量
a
和
b
共线的充要条件是
a
b
=
0
.
1
向量的数性积和矢性积在三角中的应用
在一些三角公式中
,
用传统的代数方法证明往往非常复杂
,
且艰涩难懂
,
如
果
用向量数性积或矢性积来证明
,
便十
分的简洁且易理解
.
1.1
向量数性积在三角中的应用
例
1
证明公式
cos(
< br>
)
cos
cos
< br>
sin
< br>sin
.
证明
如图
2
0
图
2
在
单<
/p>
位
圆
中
取
的
终
边
OA
,
的
终
边
< br>OB
,
则
OA
< br>
(cos
,
sin
)
,
OB
(cos
,
sin
)
,
OA
OB
cos
cos
sin
sin
)
又
OA
OB
OA
OB
cos
(
OA
,
OB
)
cos(
2
cos(
)
cos
cos
sin
sin
证毕
.
例
2
证明余弦定理
.
证明
如图
3
图
3
<
/p>
在
ABC
中
,
AB
,
BC
,
CA
的长度分别为
c
,
a
,
b
,<
/p>
AC
AB<
/p>
BC
AC
AC
(
AB
BC
)(
AB
BC<
/p>
)
AB
2
AB
BC
BC
2
2
2
AB
2
AB
BC
cos(
180
B
)
BC
< br>
c
2
2
ac
cos
B
a
2
2
即
b<
/p>
2
a
2
c
2
2
ac
cos
B
同理可证
a
2
b
2
c
2
2
bc
cos
A
c
a
< br>b
2
ab
cos
C
2
2
2
证毕
.
1.2
向量的矢性积在三角中的应用
例
3
证明正弦定理
证明
如图
3
,
在
ABC
中
,
AB
,
B
C
,
CA
的长度分别为
c
,
a
,
b
.
S
ABC
1
1
AB
AC
AB
AC
s
in
A
2
2
1
cb
sin
A
2
又
S<
/p>
ABC
1<
/p>
1
BC
BA
BC
BA
sin
B
2
2
1
ac
sin
B
2
1
1
cb
sin
A
ac
sin
B
2
2
b
a
a
c
b
c
即
同理可证
,
sin
B
sin
A
sin
A
s
in
C
sin
B
sin
C
3
a
b
c
证毕
.
sin
A
sin
B
sin
C
例
4
证明三角形面积的海伦（
Heron
）公式：
2
< br>p
(
p
a
)(
p
b
)(
p
c
),
式
中
p<
/p>
1
(
a
b
c
),
为三角形的面积
.
2
证明
设
ABC
的三边向量<
/p>
BC
a
,
CA
b
,
AB
c
,
a
a
,
b
b
,
< br>c
c
,
那么
根据矢性积的几何意义有
1<
/p>
a
b
2
1
1
2
2
a
b
(<
/p>
a
b
)
4
4
2
又
(
a
b
)
a
b
(
a
b
)
2<
/p>
且
a
b
c
0
,
a
b
c
1
2
2
<
/p>
2
因此
(
a
b
)
c
,
a
b
< br>(
c
a
b
)
2
2
2
2
< br>
2
2
从而
1
2
<
/p>
2
1
2
2
2
2
a
b
(
c
a
b
)
4<
/p>
4
2
1
2
2
1
2
2
2
2
a
b
(
c
a
b
)
<
/p>
4
4
1
4
a
2
b
2
(
c
2
a
2
b
2
)
2
16
1
(
2
ab
c
2
a
2
b
2
)(
2
ab
c
2
a
2
b
2
)
16
1
2
c
(
a
b
)
2
(
a
b
)
2
c
2
< br>16
1
(
c
a
b
)(
c
a
b
)(
a<
/p>
b
c
)(
a
b
c
)
(
1
)
16
将
p
1
(
a
b
c
)
带入（
1
）得
<
/p>
2
2
p
(
p
a
)(
p
b
)(
p
c
)
证毕
.
2
向
量的数性积和矢性积在几何中的应用
向量的数性积和矢性积在
几何中的主要应用体现在用数性积证明关于平分、
4
三角形的高线、中线的相关问题
,
而矢性积主
要应用其几何意义解决相关图形的
面积问题
.
2.1
向量的数性积在平面几何中的应用
例
5
证明平行四边行的对角线交于一点且互相平分
.
图
4
证明
如图
4
在平行四边形
< br>ABCD
中
,
设对角线
AC
的中点为
O
,
连接
DO
和
OB<
/p>
,
则有
DO<
/p>
DA
AO<
/p>
CB
OC<
/p>
OB
,
所以
D
,
O
,
B
三点共线
,
点
O
平分
DB
.
例
6
证明三角形三条高线交于一点
.
图
5
证明
如图
5
在
<
/p>
ABC
中
,
AC
,
BC
边上的高交于点
P
.
令
PA
a
,
PB
b
,
PC
c
,
则
AB
b
<
/p>
a
,
BC
c
b
,
CA
a
c
,
又
因
为
PA
BC
,
则
a
(
c
b
)
0
,
a<
/p>
c
a
b
,
PB
AC
,
b
(
a
c
)
0
,
a
b
b
c<
/p>
b
c
a
c
c
(
b
a
)
0
,
即
PC
AB
,
所以
P
在第三边
AB
的高线上
.
< br>
< br>
例
7
证明三角形三条中线交于一点
.
图
6
证明
如图
6
AD
,
BE
,
CF
为
ABC
的三条中线
< br>,
设
AD
,
BE
交于点
G
,
< br>则存在
唯一实数对
,
使得
5
AG
AD
BG
BE
<
/p>
2
(
AB
AC
)
(
BC
BA
)
2
又
AG
< br>
GB
AB
< br>,
则
2
A
B
2<
/p>
AC
2
BC
2
2
BA
2
< br>AB
2
(
AB
BC
)
2
BC
(
AB
2
)
AB
BC
又因为
AB
和
BC
不共线
,
1
2
2
,
即
< br>
3
0
2
1
1
< br>
2
即有
CG
CA
AG
CA
(
AB
AC
)
(
CB
CA
)
CA
3
3
3
1
(
CB
<
/p>
CA
)
3
1
则
CF
(
CB
CA
)
,
所以点
G
在中线
CF
上
,
且
G
为三等分点
.
2<
/p>
2.2
向量的矢性积在平面几何中的应用
例
8
在直角坐标系内已知三点
A
(
1
,
2
,
3
),
B
(
2
,
< br>
1
,
5
),
C
(
3
,
2
,
5<
/p>
),
试求以
AB
,
AC
为两邻边的平行四边形的面积
.
解
由矢性积的几何意义得
,
i
j
k
< br>AB
AC
< br>1
2
3
0
2
24
i
12
j
6
k
,
8
从而
AB
AC
24
2
12
2
6
2
6
21
,
< br>
所以以
AB
,
AC
为两邻边的平行四边形的面积为
6
21
.
例
9
已知
ABC
的顶点
A
(
4
,
10
,
137
),
B
(
7
,
9
,
138
)
和
C
(
5
,
5
,
138
),
求<
/p>
（
1
）
ABC
的面积；
（
2
）边
AC
上的高
h
；
6
（
3<
/p>
）
ABC
所在
的平面方程
.
解
< br>（
1
）
AB
(
3
,
1
,
1<
/p>
),
AC
(<
/p>
1
,
5
,
1
),
AB
AC
(
1
5
,
1
< br>
3
,
15
1
)
(
4
,
<
/p>
2
,
14
),
S
ABC
1
1
2
1
AB
AC
4
(
2
)
2
(
14
)
2
2
16
3
6
.
2
2
2
（
2
）又
<
/p>
AC
1
5
2
1
3
3
,
h
2
S
ABC
2
2
.
AC
（
3
）因为
ABC
所在平面的法向量就是
AB
AC
,
所以它的
方程就是
4
(
x
4
)
2
(
y
10
)
14
(
z
137
)
0
,
即
2
x
y
< br>7
z
196
< br>
0
.
3
向量的数性积和矢性积在空间解析几何中的应用
向量的数性积和矢性积在空间解析几何中的应用主要体现在运用数性积求
解空间中平面的方程、点到平面的距离、两平面、两直线、直线与平面的位置关
系
,
而矢性积则运用于求解空间中平面的方程、将直线方程化为参数方程
、空间
中的直线方程
,
点到直线的距离
、两异面直线间的距离等问题
.
3.1
向量的数性积在空间解析几何中的应用
3.1.1
求解空间中平面的方程
例
10
已知平面
经过点
P
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
而且垂直与非零向量
n
< br>
(
A
,
B
,
C
),
求
的方程
.
解
设
P
(
x
,
y
,
z
)
是空间中任意一
点
.
若
P
在<
/p>
上
,
即有
P
0
P
垂直与
n
,
所以有
n
p
0
p
0
.
< br>
这就是平面的向量方程
.
坐标表示为
A
(
x
x
0
)
B
(
y
y
0
)
C
(
z
z
0
< br>)
0
.
这就是经过点
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
又垂直于方向
(
A
,
< br>B
,
C
)
的平面的方程
.
3.1.2
求点到平面的距离公式
例
11
求点
P
1
(
x
1<
/p>
,
y
1
,
z
1
)
与平面
:
Ax
By
Cz
D
0
的距离
.
解
设点
P
1
在平面
上的垂足为
P
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
),
那么所求的距离就是
P
0
P
1
.
7
因为
P
0
在
上
,
故
Ax
0
By
0
Cz
0
D
0
.
由
的方程得
,
n
(
A
< br>,
B
,
C
)
是
的向量
.
即
P
0
P
1
与
n
共线<
/p>
,
所以有
<
/p>
n
p
0
p
1
n
p
0
p
1
.
又因为
n
P
0
P
1
A
(
x
1
x
0
)
< br>
B
(
y
1
y
0
)
C
(
z
1
z
0
)
Ax
1
By
1
Cz
1
D
,
于是得
n
P
0
P
1
P
0
P<
/p>
1
Ax
1
By
1
Cz
1
D
A
B
C
2
2
< br>2
.
n
这就是点
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
与平面
Ax
By
Cz
D
0
的距离
.
3.1.3
空间中两平面的位置关系
由平面的方
程可以判断两个平面之间的相互位置关系
.
因而首先来讨论两个
平面的夹角
.
对平面
< br>
1
:
A
1
x
B
1
y
C
1
z
D
1
0
:
A
x
B
y
C
z
D
0
2<
/p>
2
2
2
2
法向量分别为
n
1
(
A
1
,
B
1
,
C
1
),
n
2
(
A
2
,
B
2
,
C
2
).
当两个平面相交时
,
它们构成的两
个相邻且互补的二面角叫做两个平面的夹
角
.
< br>这两个角中的一个等于向量
n
1
与
n
2
的夹角
n
1
,
n<
/p>
2
,
就可以得
到
,
cos
(
n
1
,
n
2
)
n
1
n
< br>2
n
1
n
2
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
2
A
< br>1
B
1
C
1
A
2
B
2
C
2
2
2
2
2
2
2
.
这就是计算两个平面夹角的公式
.
因
而
,
就能由此判断两平面的位置关系
,
（
1
）两个平面垂直的充要条件是
1
2
:
A
1
A
2
< br>B
1
B
2
C
1
C
2
0
.
（
2
）两个平面平行的充要条件是
A
1
B
1
C
1
< br>
.
A
2
B
2
C
2
8
1
||
2
: