三角函数的发展史
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三角函数的发展史
“三角学”，
英文
trigonometry
< br>，
法文
trigonometrie
，
德文
Trigonometrie
，
都来自拉丁文
trigonometria
。现代三角学一词最初见於希腊文。最先使用
trigonometry
这个词的是皮蒂斯楚斯
( Bartholomeo Pitisc
us,1516-1613)
，他
在
1
595
年出版一本著作
<<
三角学
:
解三角学的简明处理
>>
，
创造了这个新词。
它
是由<
/p>
τριγωυου(三角学
)
及
μετρει
υ(测量
)
两字构成的，
原意为
三角形的测量，
或者说解三角形。
古希腊文裏没有这个字，
原因是当时三角学
还
没有形成一门独立的科学，
而是依附於天文学。
因此解三角形构成了古代三角学
的实用基础。
早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。
还在很早的时候，<
/p>
由於垦殖
和畜牧的需要，人们就开始作长途迁移；后来，贸易的发
展和求知的欲望，又推
动他们去长途旅行。
在当时，
这种迁移和旅行是一种冒险的行动。
人们穿越无边
无际、
荒无人烟的草地和原始森林，
或者经水路沿著海岸线作长
途航行，
无论是
那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天
拿太阳作路标，夜裏则以星星为
指路灯。
太阳和星星给长期跋山
涉水的商队指出了正确的道路，
也给那些沿著遥
远的异域海岸航
行的人指出了正确方向。
就这样，
最
初的以太阳和星星为目标的天文观测，
以及为这种观测服务的原
始的三角测量就应运而生了。
因此可以说，
三角学是紧密地同天
文学相联系而迈
出自己发展史的第一步的。
三角学问题的提出
三角学理论的基础
，
是对三角形各元素之间相依关系的认识。
一般认为，
这
一认识最早是由希腊天文学家获得的。
当时，
希腊天文学家为了正确地测量天体
的位置。
研究天体的运行轨道，
力求把天文学发展成为一门以精确的观测和正确
的计算为基础之具有定量分析的科学。
他们给自己提出的第一个任务是解直角
三
角形，
因为进行天文观测时，
人与星
球以及大地的位置关系，
通常是以直角三角
形边角之间的关系反
映出来的。
在很早以前，
希腊天文学家从天文观测的经验中
获得了这样一个认识：
星球距地面的高度是可以通过人观测星球时所
采用的角度
来反映的
(
如图一
)
；角度
(
∠
ABC)
越大，星球距地面
(AC)
就越高。然而，星球的
高度与人观测的角度之间
在数量上究竟怎麼样呢？能不能把各种不同的角度所
反映的星球的高度都一一算出来呢<
/p>
?
这就是天文学向数学提出的第一个课题—制
造弦表。
所谓弦表，
就是在保持
A
B
不变的情况下可以供查阅的表
(
如
图二
)
，
AC
的长度与∠
ABC
的大小之间的对应关系。
独立三角学的产生
虽然后期的
阿拉伯数学家已经开始对三角学进行专门的整理和研究，
他们的
工作也可以算作是使三角学从天文学中独立出来的表现，
但是严格地说，
他们并
没有创立起一门独立的三角学。
真正把三角学作
为数学的一个独立学科加以系统
叙述的，是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯。
雷基奥蒙坦纳斯是十五世纪最有声望的德国
数学家约翰
�
谬勒的笔名。
他生
於哥尼斯堡，
年轻时就积极从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工
作，
并热
心出版古希腊和阿拉伯著作。因此对阿拉伯数学家们在
三角方面的工作比较了
解。
1464
年，他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了《论各种三角形》。在书中，
他把以往散见在各种书上的三角学知识，
系统地综合了起来，
成了三角学在数学
上的一个分支。
现代三角学的确认
直到十八世纪，所
有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都
始终被认为是已知圆内与同一条
弧有关的某些线段，
即三角学是以几何的面貌表
现出来的，
这也可以说是三角学的古典面貌。
三角学的现代特徵，
是把三角量看
作为函数，
即看作为是一种与角相对应
的函数值。
这方面的工作是由欧拉作出的。
1748
年，尤拉发表著名的《无穷小分析引论》一书，指出：”三角函数是一种
函
数线与圆半径的比值”。
具体地说，
任意一个角的三角函数，<
/p>
都可以认为是以
这个角的顶点为圆心，
以
某定长为半径作圆，
由角的一边与圆周的交点
P
向另一
边作垂线
PM
后，所得
的线段
OP
、
OM
、
MP(
即函数线
)
相互之间所取的比值
(
如图
八
)
，sinα＝
MP/OP
，cosα＝
OM/OP
，tanα＝
MP/OM
等。若令半径为单位长，
那麼所有
的六个三角函数又可大为简化。
尤
拉的这个定义是极其科学的，
它使三角学从静态地只是研究三角形解法的
狭隘天地中解脱了出来，
使它有可能去反映运动和变化的过程，
从而使三角学成
为一门具有现代特徵的分析性学科。
正
如欧拉所说，
引进三角函数以后，
原来意
义下的正弦等三角量，
都可以脱离几何图形去进行自由的运算。
一切三角关系式
也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出。
这样，
就使得从希帕克起许多数
学家为之奋斗而得出的三角关
系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。
严格地说，这时才是三角学的真正确立
。
“正弦”的由来
公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当
时三角
学仍然还是天文学的一个计算工具，
是一个附属品，
但是三角学
的内容却
由於印度数学家的努力而大大的丰富了。
三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们
还
造出了比托勒密更精确的正弦表。
我们已知道，托勒密和希帕
克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧
所夹的弦对应起来的。
印度数学家不同，
他们把半弦
(AC)
与全弦所对弧的一半
(AD)
相对应，
即将
AC
与∠
AOC
对应
(
如图五
)
，
这样，
他们造出的就不再是”全弦表”，
而是”正弦表”了。
印度人称连结弧
(AB)
的两端的弦
(AB)
为”吉瓦”，是弓弦的意思；称
AB
的一半
(AC)
为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误
解
为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是
”dschaib”。十二世纪，阿拉伯文被转译
成拉丁文，这个字被意译成了”si
nus”。
三角学输入我国，开始
於明崇祯
4
年
(1631
年
)
，这一年，邓玉函、汤若
望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译
的三角
学。在《大测》中，首先将
sinus
译为”正半弦”，简称”
正弦”，这就
成了正弦一词的由来。
“弦表”问世