几何三大难题
悬崖上的金鱼姬主题曲-
几何三大难题
<
/p>
如果不知道远溯古希腊前辈所建立和发展的概念、方法和结果，我们就不可
能理解近
50
年来数学的目
标，也不可能理解它的成就
.
Herm??nn Weyl
§
1
问题的提出和解决
数学的心脏
数学是由什么组成的公理吗定义吗定理吗证明吗吗公式吗诚然
，没有这些组成部分数
学就不存在，它们都数数学的必要组成部分，但是，它们中间的任
一个都不是数学的心脏
.
数学家存在的主要理由就是提出问题和
解决问题
.
因此，数学的真正组成部分是问题和解
.
两千多年以来，数学就是在解决各种问题中进行的
.
那么，什么样的问题是好问题呢对此希尔伯特有一段精彩的
论述：
“要想预先正确判断
一个问题的价值是困难的，
并且常常是不可能的；
因为最终的判断取决于科学从该问题获得
的收益，虽说如此，我们仍然要问：是否存在一个一般准则，可以借以鉴别好的数学问题，
一个老的法国数学家曾经说过：
一种数学理论应该这样清晰，
使你能向大街上遇到的第一个
人解释它
.
在此以前，这一理论不能认为是完善的
.
这里
对数学理论所坚持的清晰性和易懂
性，我想更应该把它作为一个数学问题堪称完善的要求
.
因为清楚地、易于理解的问题吸引
着
人们的兴趣，而复杂的问题却使我们望而却步
.
”
“其次，为了具有吸引力，一个数学问题应该是困难的，但却不能是完全不
可解决的，
使我们白费力气
.
在通向哪
隐藏的真理的曲折道路上，它应该是指引我们前进的一盏明灯，
最终以成功的喜悦作为我
们的报偿
.
”
在数学史上这样的例子是不胜枚举的
.
本章介绍的几何作图三
大问题就是最着名的问
题之一
.
希腊古典时期数学发展的路线
希腊前
300
年的数学沿着三条不同的路线
发展着
.
第一条是总结在欧几里得得《几何原
< br>本》中的材料
.
第二条路线是有关无穷小、极限以及求和
过程的各种概念的发展，这些概念
一直到近代，微积分诞生后才得以澄清
.
第三条路线是高等几何的发展，即园和直线以外的
曲
线以及球和平面以外的曲面的发展
.
令人惊奇的是，这种高等几
何的大部分起源于解几何
作图三大问题
.
几何作图三大问题
古希腊人在几何学上提出着名的三大作图问题，它们是：
( 1
)
三等分任意角
.
( 2
)
化园为方：求作一正方形，使其面积等于一已知园的面积
.
( 3
)
立方倍积：求作一立方体，使其体积是已知立方体体积的两倍
.
解决这三大问题的限制是，只许使用没有刻度的直尺和圆规，并在有限次内完成
.
1.4
问题的来源
这三个问题是如何提出来的呢由于年代久远，已无文献可查
.
据说，立方倍积问题起
源于两个神话
.
厄拉多赛（
Eratoshenes
of
Cyrene
，约公元前
27
―约前
194
）
是古希腊着名
的科学家、
天文学家、数学家和诗人
.
他是测量过地球周长的第一人
.
< br>在他的《柏拉图》一书
里，
记述了一个神话故事
.
说是鼠疫袭击了爱琴海南部的一个小岛，
叫提
洛岛
.
一个预言者说，
他得到了神的谕
示：须将立方形的阿波罗祭坛体积加倍，瘟疫方能停息
.
建筑是
很为难，
不知道怎样才能使体积加倍
.
于是去请教哲学家柏拉图
.
柏拉图说
，
神的真正意图不在于神坛
的加倍，而是想使希腊人因忽视几何
学而羞愧
.
另一个故事也是厄多拉塞记述的
.
说古代一位悲剧诗
人描述克里特国王米诺斯为他的
儿子克劳科斯修坟的事
.
他嫌坟修造得太小，命令有关人必须把坟的体积加倍，但要保持立
方的
形状
.
接着又说，
“赶快将每边的长都
加倍
.
”厄拉多塞指出，这是错误的，因为边长加
倍，体积就变成原来的
8
倍
.
这两个传说都表明，立方倍积问题起源于建筑的需要
.
三等分任意角的问题来自正多边形作图<
/p>
.
用直尺和圆规二等分一个角是轻而易举的
.
由
此可以容易地作出正
4
边形、
正
8
边形，
以及正
2n
次方边形，
其中
n
≥
2
是自然数
.
很自然
地，人们会提出
三等分一个角的问题
.
但这却是一个不可能用尺规解决的问题<
/p>
.
圆和正方形都是最基本的几何图形，
怎样做一个正方形和一个已知圆有相同的面积呢
这就是化园为方的问题
< br>.
历史上恐怕没有一个几何问题像这个问题那样强烈地吸引人们的兴
趣
.
早在公元前
5
世纪，就有很多人研究这个问题了，都想在这个问题上大显身手
.
化园为方的问题相当于用直尺和圆规作出√π的值
< br>.
这个问题的最早研究者是安那克
萨哥拉，可惜他的关于
化圆为方的问题的
研究没有流传下来，以后的研究者有希波克拉茨
（
Hippocrates of Chios
，公元前约
460
年）
.
他在化圆为方的研究中求出了某些月牙形
的面积
.
此外
.
还有安提丰，他提
出了一种穷竭法，具有划时代的意义，是近代极限论的先
声
.<
/p>
“规”和“矩”的规矩
<
/p>
在欧几里得几何学中，
几何作图的特定工具是直尺和圆规，
而且直尺上没有刻度
.
直尺、
在欧几里得几何学
中，
几何作图的特定工具是直尺和圆规，
而且直尺上没有刻度<
/p>
.
直尺、
圆规的用场是
< br>
直尺：
（
< br>1
）已知两点作一直线；
（
2<
/p>
）无限延长一已知直线
.
圆规：已知点Ｏ，Ａ，以Ｏ为心，以ＯＡ为半径作圆
.
希腊人强调，几何作图只能用直尺和圆规，其理由是：
（
1
）希腊几何的基本精神是，从极少数的基
本假定——定义、公理、公设——出发，推
导出尽可能多的命题
.
对作图工具也相应地限制到不能再少的程度
.
（
2
）受柏拉图哲学思想的
深刻影响
.
柏拉图特别重视数学在智力训练方面的作用，他主<
/p>
张通过几何学习达到训练逻辑思维的目的，
因此对工具必须进行限
制，
正像体育竞赛对运动
器械有限制一样
.
（
3
）
毕达哥拉斯学派认为圆是最完美的平面图形，圆和直线是几何学最基本的研究对
象，因此
规定只使用这两种工具
.
问题的解决
用直尺和圆规能不能解决三大问题呢答案是否定的，
三大问题都是几何作图不能解决的
.
证明三大问
题不可解决的工具本质上不是几何的而是代数的，
再带舒缓没有发展到一定水平
时是不能解决这些问题的
.1637
年迪卡儿创
立了解析几何，
沟通了几何学和代数学这两大数
学分支，从而为
解决尺规作图问题奠定了基础
.1837
年法国数学家旺策尔（
Pierre
< br>Antzel
）
证明了，
三等分
任意角和立方倍积问题都是几何作图不能解决的问题，
化圆为方问
题相当于用尺规作出的值
.1882
年法国数学家林得曼证明
了∏是超越数，
不是任何整系数代
数方程的根，从而证明了化圆
为方的不可能性
.
但是，
正是在研究这些问题的过程中促进了数学的发展
< br>.
两千多年来
.
三大几何难题起
了
许多数学家的兴趣，
对它们的深入研究不但给予希腊几何学以
巨大影响，
而且引出了大量的
新发现
.
例如，
许多二次曲线、
三次曲线以及几
种超越曲线的发现，
后来又有关于有理数域、
代数数与超越数、
群论等的发展在化圆为方的研究中几乎从一开始就促进了穷竭法的发展，
二穷竭法正是微
积分的先导
.
§
2
放弃“规矩”之后
问题的难处在于限制用直尺和圆规
.
两千多年来，数学
家为解决三大问题投入了热大量
精力
.
如果解除这一限制，问题很容易解决
.
2. 1
帕普斯的方法
帕普斯（
Pappus
，约
300
―
350
前后
)
是希腊亚历山大学派晚期的数学家
.
他把希腊自古以
来各名家的着作编为《数学汇编》
，共
8
卷
.
其中也包括了他
自己的创作
.
在第
4
卷中，他讨
论了三等分任意角的问题
.
下面的方法就是帕普斯的
.
设ОА＝α
,
过点А做角α的另一边的垂线АВ
.
过点А作ОВ的平行线
.
考
虑过
点О的一条直线，它交АВ于点С，交平行线于Ｄ，并使СＤ＝
2
ａ
.
这时∠СОВ＝
证
如图
15-1
所示，只要
证明了∠ＡＯＧ＝
2
∠ＣＯＢ，那
么∠ＣＯＢ就是
1
α
.
3
1
α
.
3
D
设Ｇ是ＣＤ的中点，
并作ＧＥ
⊥ＡＤ，从而
直线ＧＥ与ＡＢ并
E
A
行
.
由ＣＧ＝ＧＤ＝ａ
C
G
ＡＥ＝ＥＤ，
O
可知△ＡＧＥ≌△ＤＧＥ，
从而∠
B
ＧＤＡ＝
∠ＧＡＤ，
ＡＧ＝ＧＤ＝
图
15-1
ａ
.
又∠Ｇ
ＤＡ与∠ＣＯＢ是内错角，所以∠ＧＤＡ＝∠ＣＯＢ
.
注意到，△ＡＯＧ是等腰三角形，于是，
∠ＡＯＧ＝∠ＡＧＯ＝∠ＧＤＡ＋∠ＧＡＤ＝
2
∠ＣＯＢ<
/p>
.
这就是说，ＯＤ三等分了角α
.
这种作法的关键一步是，使СＤ＝
< br>2
ОА
.
这只能使用有刻度的直
尺才能实现，它违反
了欧几里得几何学作图的规则
.
具体做法是这样的：
在直尺上标出一段线段
ＰＱ
,
其长为
2<
/p>
ОА，
然后调整直尺的位置，
使它过点Ｏ
，并且
Ｐ
在АВ上，
Ｑ
在过А的平行线上
.
这种办法叫“插入原则”
.
2. 2
阿基米德的方法
< br>在图
15-2
上，是任意给定的一个角，其顶点在点
.
我们的目的是三等分这个角
.
在该角
的一边上取一点，然后以点为心，以为半径做一圆，圆与的延长线交
于点Ｃ，与角的另一边
交于点Ｂ
.
<
/p>
作图的关键步骤是，
使用
“插入原则”<
/p>
.
在直尺上标出两点Ｌ和Ｒ，
并且使ＬＲ
＝
.
现在
上直尺过点Ｂ，
且使直尺上的点Ｒ在圆弧ＣＢ上，
然后移动直尺，
使
Ｒ沿圆周运动，直到点
Ｌ落在ＯＣ的延长线上
.
直线ＥＤＢ表示这时直尺的位置，即直尺过点Ｂ，且ＤＥ＝
.
< br>
B
D
E
设
.
因
为是等腰三角形，所以
.
同时，是的外角，从而
这就证明了是的三分之一
.
C
图
15-2
O
A
2. 3
时钟也会三等分任意角
大家知道，
时钟面上有时针、分针和秒针，秒针用不到，
只看时针和分针
.
分针走一圈，
< br>时针就走一个字
.
也就是，分针转过角，时针转过角的<
/p>
12
分之
1
，即
转过角
.
注意到
12
< br>是
3
的倍数，
我们就可以利用时
钟三等分一个任意
角了
.
具体作法如下
.
把要三等分的任意角画在一张透明纸上
.
A
C
开始时，
把时针和分针并在一起，
设它们正
好
在
12
的
位置上（图
15-3
）
.
把透明纸铺到钟
面上，
使
角的顶点落在针的轴心上，
角的一边
12
1
通
过
12
的位置
.
然后把分针拨到和角的另一
1
2
边重合的位置
.
这时时针转动了一个角，在透
10
9
3
8
B
4
7
6
5
明纸上把时针的现在位置记下来<
/p>
.
我们知道，时针所走过的∠ＡＯＣ一定是∠ＡＯＢ的
12
分之
1.
把∠ＡＯＣ
放大
4
倍就是∠ＡＯＢ的
3
分之
1.
这种解法出现
在前苏联别莱利曼的着作
《趣味几何学》
中，
< br>这是一本很好的科普读物，
O
它告诉我们如何把几何知识用到实际中去
.
2. 4
达芬奇的化圆为方
图
15-3
< br>如何化圆为方的问题曾被欧洲文艺复兴时期的大师达
·
芬
奇用以种巧妙的方法给出解
答：取一圆柱，使其底和已知圆相等，高时底面半径ｒ的一半
.
将圆柱滚动一周，产生一个
矩形，其
面积为
2
πｒ×ｒ／
2
＝π
.
这正好是圆的面积
.<
/p>
再将矩形化为正方形，问题就解决
了
.<
/p>
§
3
从几何到代数
用直尺圆规可以作什么图
用欧几里得的直尺圆规可以完成哪些作图呢下面的
5
种基本作图是可以胜任的（图
15-4
）
：
（
1
）
用一条直线连接两点
.
（
2
）
求两条直线的交点
.
（
3
）
以一点为心，定长为半径作一圆
（
4
）
求一个圆与一条直线的交点，或切点
.
（
5
）
求两个圆的交点，或切点
.
还有，用直尺圆规作图必须在有限次内完成，不允许无限次地作下去
.<
/p>
换言之，不允许
采取极限手段完成作图
.
图
15-4
根据直尺的基本功能，我们有下面的重要结论：
一个作图题可否用直尺完成，决定于是否能反复使用上面
5
< br>种基本作图经有限次而完
成
.
这就是用直尺圆规可能与不可能的基本依据
.
< br>
具体说来，用尺规作什么图呢
（
1
）
二等分已知线段
.
（
2
）
二等分已知角
.
（
3
）
已知直线Ｌ和Ｌ外一点Ｐ，过Ｐ作直线垂直Ｌ
.
（
4
）
任意给定自然数ｎ，作已知线段的ｎ倍，ｎ等分已知线段
.
（
5
）
已知线段，
可做其做法如图
15-5
所示
.
接着
r
也可做，
这里
r
是正
有理数
.
这样
做：设都是自然数，因此
.
先做的
p
倍
，再做
p
，这样就做出来了
.
上面各条告诉我们，已知线段的加、减、乘、除能用几何作图来实现<
/p>
.
+b
b
b
1
1
b
图
15-5
另一方面，代数学告诉我们，从
0
，
< br>1
出发利用四则运算可以构造出全部有理数
.
事实上，
1+1=2
，
1+2=3
，
.
因此，我们通过加法可以得到全体自然数
.0
减去任何
一
个自然数都得到负整数，因此，借助减法可以得到全体负整数
.
从整数出发，借助除法，我
们可以得到全体有理数
.
现在我们知道了，只要给定单位
1
，我们可以用尺规作出数轴上的全部有理点
.
几何与
代数在这里达到了完全的统一
.
（
6
）
已知线段可作
.
这一条超出了
有理作图的范围
.
如图
15-6
，
OA
a
，以
OB
为直径作圆
.
过
C
A
作<
/p>
OB
的垂直线交圆周于
C
.
直角三角形
OA
C
与直角三角形
OBC
有一个公共角∠
COB
，由
此可得，∠
OCA
< br>
∠
ABC.
这样一来，我们有，
OCA
∽
ABC.
O A
B
设
AC
我们有，
图
15-6
域的定义
近代代
数是研究运算性质的，它把普通实数满足的运算法则推广到更大的范围中去
.
本
段给出域的定义，为后面研究可构造数域做些准备
.
设
R
是
一个集合，下面的公理对
R
中的任何元素，
b
，都成立
.
公理
1
（
1
）
；
（
2
）
；
（
3
）存在唯一得元
素，使得；
（
4
）对任意的，都存在惟一的，使得
.
公理
2
（
1
）
；
（
2
）
（
3
）存在惟一的元素
1
，使得
.
（
4
）对任意的（除外）
，都存在
惟一的，使得
公理
3
我们把满足这些公理的集合
R
叫做一个
域
.
全体有
理数对加法和乘法构成一个域，叫做
有理数域
.
全体实数对加法和乘法构成一个域，
叫做
实域
，
全体复数也是一个域，
叫
复数域
.
可构造数域
在下面的讨论中，我们假定最初只给了一个元素，即单位长
1.
由
1
出发，我们用直尺
和圆规通过有
理运算——加、减、乘、除——能做出所有的有理数，这里
r
和
s
是整数，即
做出整个有理数域
.
进而我们能做出平面上的所有有理点，
即两
个坐标皆为有理数的点
.
我们
还能做出
新的无理数，如，它不属于有理数域
.
从出发，通过“有理”作
图，可以做出所有
形如
（
15-1
）
的数，这里是有理数
.
同样地，我们可
以做出所有形如
的数，这里，
b
，是有理数
.
但
这些数总可以写成（
15-1
）的形式
.
例如
这里
是有
理数，且分母不可能是零（为什么）
.
同样，
< br>
这里是有理数
.
因此，由的作图，我们产生了全部形如（
15-1
）的数集，其中，
b
是任意有
理数
.
由此得
命题
1
形
如（
15-1
）形成一个域
.
这个域比有理数域大
.
事实上在（
15-1
）中取就可得到有理数域
.
有理数域是它的一部
分，称为它的
< br>子域
.
但是，它显然小于全体实数数域
< br>.
将有理数域记为
F
，这个构造的数域记为，称它为
F
的
扩域
.
中的数都可用直尺和圆规
< br>做出来
.
现在我们继续扩充可作数的范围
.
在中取一个数，如
.
求它的
平方根而得到可作图的
数
用它可以得到由所有形如
的数，它们也形成一个域
.
称为的扩域，
记为
，
现在可以是
中的任意数，即，
q
形如，
，
b
为
有理数
.