第十九讲平面几何中的几个著名定理
惹火烧身-
第十九讲平面几何中的几个著名定理
几何学起源于土地测量，几千年来
，人们对几何
学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的
逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过
演绎推理得到不少结论，
这些结论一般就称为定理．
平
面几何中有不少定
理，除了教科书中所阐述的一些定
理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可<
/p>
以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而
简捷地解决不
少问题．而这些定理的证明本身，给我
们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃
思
维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结
论体现了
数学的美，使人们感到对这些定理的理解也
可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著
名的定
理．
1
．梅内劳斯定理
亚历山
大里亚的梅内劳斯
(Menelaus
，约公元
100
年，
他和斯巴达的
Me
nelaus
是两个人
)
曾著
《球面论》
，
着重讨论球面三角形的几何性质．
以他的名子命名的
“梅内劳斯定理”
现载在初等几何和射影几何
的书中，
是证明点共线的重要定理．
定理
一直
线与△
ABC
的三边
AB
，
BC
，
CA
或延
长线分别相交于
X
，<
/p>
Y
，
Z
，则
证
过
A
，
B
，
C
分别作直线
XZY
的
垂线，设垂足
分别为
Q
，
P
，
S
，见图
3
－
98
．由△
AXQ
∽△
BXP
得
同理
将这三式相乘，得
说明
(1
)
如果直线与△
ABC
的边都不相交，
而相
交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交
点，且
交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出
现零，分子也出现零，这时定理的结论应改
为
AX
×
B
Y
×
CZ=XB
×
YC
×
ZA
，
仍然成立．
(2)
梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△
ABC
的
边
AB
和
AC
上分别取点
X
，
Z
，在
BC
的延长线上取点
Y
，如果
那么
X
，
Y
，
Z
共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用
来证明
三点共线．
例
1
已知△
ABC
的内角∠
B
和∠
C
< br>的平分线分别
为
BE
和
CF
，∠
A
的外角平分
线与
BC
的延长线相交于
D
，求证：
D
，
E
，
F
共线．
证如图
3
－
99
有
相乘后得
由梅内劳斯定理的逆定理得
F
，
D
，
E
共线．
例
2(
戴沙
格定理
)
在△
ABC
和△
A
′
B
′
C
′中，
若
AA
′，
BB
′，
CC
′相交于一点
S
，
则
AB
与
A
′
B
′，
BC
与
B
′
C
′，
AC
与
A
′
C
< br>′的交点
F
，
D
，
E
共线．
证
如图
3
－
100<
/p>
，直线
FA
′
B
′截△
SAB
，由梅
< br>内劳斯定理有
同理，直线<
/p>
EC
′
A
′和<
/p>
DC
′
B
′分别
截△
SAC
和△
SBC
，得
将这三式相乘得
< br>所以
D
，
E
，
F
共线．
2
．塞瓦定理
意大利
数学家塞瓦
(G
．
Ceva)
在
1678
年发表了下面
的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理．
定理
在△
ABC
内任取一点
P
< br>，直线
AP
，
BP
，
CP
分别与边
BC
，
CA
，
AB
相交于
D
，
E
，
F
，则
证
如图
3
－
101<
/p>
，过
B
，
C
分别作直线
AP
的垂线，
< br>设垂足为
H
和
K
，则
< br>由于△
BHD
∽△
CKD
，所以
同理可证
将这三式相乘得
说明
(1
)
如果
P
点在△
ABC
外，同样可证得上述
结论，但
P
点不能在直线
AB
，
BC
，
CA
上，否则，定理<
/p>
的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理
的结论应改为
BD
×
CE
×
AF=DC
×
EA
×
FB
，
仍然成立．
(2)
塞瓦定理的逆定理也成立，即“在△
ABC
的边
BC
，
CA
，
AB
上分别取点
D
，
E
，
F
，如
果
那么直线
AD
，
BE
，
CF
相交于同一点．”
证
如图<
/p>
3
－
102
，<
/p>
设
AD
和
BE<
/p>
相交于
P
，
作直
线
CP
，
交直线
AB
于
F
′，由塞瓦定理得
所以
F<
/p>
′
B=FB
，
即
F
′与
F<
/p>
重合，所以
AD
，
BE
，
CF
相交于同一点．
塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．
例
3
求证
：
三角形的三条中线、
三条内角平分线
和三条高所在的直线分别相交于同一点．
证
(1)
如果
D
，
E<
/p>
，
F
分别是△
A
BC
的边
BC
，
CA
，
AB
的中点，则
由塞瓦定理的逆定理得中线
AD
，
BE
，
CF
共点．
(2)
如果
D
，
E
，
F
分别是△
ABC
的内角平分线
AD
，
B
E
，
CF
与边
BC
，
CA
，
AB
的交点，则
< br>由塞瓦定理的逆定理得角平分线
AD
，
< br>BE
，
CF
共点．
(3)
设
D
，
E
，
F
< br>分别是△
ABC
的高
AD
，
BE
，
CF
的
垂足．
(i)
当△
ABC
是
锐角三角形时
(
如图
3
－
103)
，
D
，
E
，
F
< br>分别在
BC
，
CA
，
AB
上，有
BD=ccosB
，
DC=bcosC
，
CE=acosc
，
EA=ccosA
，
AF=bcosA
，
FB=acosB
，
所以
< br>由塞瓦定理的逆定理得高
AD
，
BE
，
CF
共点．
(ii)
当△
ABC
是钝角三角形时，有
BD=ccosB
，
DC=bcosC
，
CE=acosC
，
EA=ccos
(180
°
-
A)=
< br>-
ccosA
，
AF=bcos(180
°
-
A)=
-
bcosA,
FB=acosB
，
所以
由塞
瓦定理的逆定理，得高
AD
，
BE
，
CF
共点．
<
/p>
(iii)
当△
ABC
< br>是直角三角形时，高
AD
，
BE
，
CF
都
经过
直角顶点，所以它们共点．
例
4
在三角形
ABC
的边上向外作正方形，
A
1
，
B
1
，
C
1
是正方形的边
BC
，
CA
，
AB
的
对边的中点，证
明：直线
AA
1
，
BB
1
，
CC
1
相交于一点．
证
如图
3
－
104<
/p>
．
设直线
AA
1
，
BB
1
，<
/p>
CC
1
与边
BC
，
CA
，
AB
的交点分别为
A
2
，
B
2
，
C
2
，那么
BA
2
：
A
2
C
等