数学史重点内容汇总
碧螺春茶-
古埃及与古巴比伦部分
1
．
与其他
科学相比，数学是一门
积累性很强的学科
，它的许多重大理论都
是在继承和发展原有理论
的基础上发展起来的。如果我们不去追溯古今数学思想方法的演
变与发展，也就不可能真正理解
数学的真谛，
正确把握数学科学
发展的方向。
正如法国注明数学家庞加莱所说：
“如果我们想要
预
知数学的未来，最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状。
< br>”
2
．
数学史
主要研究数学科学发生发展及其规律，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内
容，思想和方法的演变，发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学
< br>的发展对人类文明所带来的影响。
数学史的研究对象不仅包括具体的数学内容，<
/p>
而且涉及历史学，
哲学，文化学，宗教等社会科学与人文科学内容
，是一门
交叉性学科
。
3
．
学习数
学史的意义：首先，数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，
其概念和方法更具有
延伸性
。科学史
现
实性
还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史
借鉴，
遇见科学未来，使我们在明确科学研究方向上少走弯路或错路，为当今科技发展决策的制
定提供依据。同时总结我国数学发展史上的经验教训，对我国当今数学发展不无益处。因此，我
< br>国著名数学史家李文林先生曾经说过：不了解数学史就不可能全面了解数学科学。
其次，
数学史已经广
泛的影响着人类的生活和思想，
是形成现代文化的主要力量。
因
而数学
史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类文明史的最重要组成部分。许多历史
学家通过数学
这面镜子，了解古代其他主要
文化的特征和价值取
向
。
再者，
仅凭数学教材的学习，
难以了解数学的原貌和
全景，
同时也忽略了那些被历史淘汰掉
的但对现实科学或许有用
的数学材料和方法，而弥补这方面不足的最好途径就是学习和研究数学
的历史。同时，数
学史是一门
文理交叉学科
。通过对数学史的学习和研究，既可以
使数学类专业
的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养；也可以使文
科或其他专业的学生
了解数学的概貌
，获得数理方面的修养。此
外，历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的
人格
培养
上发挥十分重要的作用。
4
．
保存至
今有关数学的纸草书主要有两种：
一种是陈列于英国大不列颠博物馆东方展室的
兰德纸草
书
，
由英国人
兰德
1858
年搜集到的；
另一种是收
藏于俄国莫斯科美术博物馆的
莫斯科纸草书
，
< br>由
俄罗斯人郭列尼舍夫
1893
年搜到的。两份纸草书都是公元前
2000
年前后的作品，为古
埃及人记
录一些数学问题的问题集。兰德纸草书长
544cm<
/p>
，宽
33cm,
共载有
< br>85
个问题，莫斯科纸草书长
544cm
，宽
8cm
，共载有
25
个问题。
5
．
古埃及
人使用的是十进记数制，并且有数字的专门符号，古埃及人的记数系统是叠加制而不是位
值制。即，
十进叠加记数制
。
6
．
古埃及
纸草书中出现的“计算若干”的问题，实际上相当于方程问题，他们解决这一问题的方法
是
试位法
。
7
．
古
埃
及
人
通
过
具
体
问
题
说
明
了
< br>高
为
h,
底
边
长
为
a
和
b
的
正
四<
/p>
棱
台
的
体
积
公
式
是
V=1/3(a*a+a*b+b*b)*h
著名得数学史家贝尔形象的将
这一古埃及数学杰出称为
“最伟大的埃及金
字塔”
。
8
．
古巴比
伦使用的文字称为
楔形文字
；古巴比伦的记数采用
60
以下十进制，
60
以上
60
进位值制
。
9
．
我
们介绍古巴比伦和古埃及的数学，可以看出，他们的内容都与那个地区的社会和生活的需要密
切相关。
古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣
，因此，相
对而言，他们的以
60
进位记数法为基
础的的算术与代数较为领先。
而
古埃及人偏重于测量与建筑施工
，
因而他们的几何成果比较突出。
这些
表明，数学从他的萌芽之日起，就是以
实际需要为基础的
，离开
了实际需要，数学研究就缺
少了直接动力，数学也就不能迅速发展了。需要指出的是，在
古巴比伦或古埃及的数学中，虽然
出现了一些令人信服的数表和重要的公式，但他们的数
学知识还仅仅表现为对于一些实际问题观
察的结果以及某些经验的积累，
数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还未被他们察觉
，更
谈不上掌握了。在古埃及和古巴比伦时代，数学还只是作为一种用来处理日常生活中遇到的计算
与度量的问题的工具或者方法，
其所给的仅仅是
“如此去做”
，
而基本没有涉及到
“为
什么这样做”
，
这标志着他们的数学还远没有进入到理性思维的
阶段，因此，从这个意义上来讲，数学作为一门
学科还远远没有建立起来，正如美国著名
数学史家
M
。克莱因在《古今数学思想》一书中所说的
那样，
“按这个标准说，
埃及人和巴比伦人好比
粗陋的木匠，而希腊人则是大建筑师。
”真正科学
意义下的理性
数学，是由希腊人为我们提供的。
古希腊部分
10.
希腊数学达到了欧洲数学的顶峰。
11.
公元前
6---3
世纪期间希腊出现的最有影响的学派：
爱奥尼亚学派、
毕达哥拉斯学派、
巧辩学派、
柏拉图学派。
12.
泰勒斯——
（
1
）希腊七贤之首
（
2
）享有“希腊科学之父”创立了古希腊历史上第一个数学学派——爱奥尼亚学派
（
3
）发现命题：
a
圆被任意
直径二等分；
b
等腰三角形的两底角相等；
c
两条直线相
交，对顶角相等；
d
两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则这两个三角形
全等
；
e
内接于圆的角必为直角。其中“内接于圆的角必为直角”称
为泰勒斯定
理
（
4
）
泰勒斯
将逻辑学中的演绎推理引入了数学，
奠定了数学的基础，
使他获
得了第一
位数学家和论证几何学家鼻祖的荣誉。被西方学者称为“测量学的鼻祖”
。
13.
毕达
哥拉斯学派创始人为
毕达哥拉斯
。有许多的几何成就，其信条却
是“万物皆数”
。将
1
命名
为“原因数”
。
他们信奉和崇拜
10
，认为
10
是完美和谐的标志。
14
.
完全数
：一个数等于其（除本身以外的）全部因子之和；如
28=1+2+4+7+14
盈数
：一个数大于其（除本身
以外的）全部因子之和；如
10
》
1+
2+5
亏数
：一个数小于其（除本身以外的）全部因子之和；如
12
《
1+2+3+4+6
亲
和数
：两个数中任一个数（除本身以外的）全部因子之和都等于另一个数；
如：
220
的因子和
1+2+4+5+10+20+22+44+
55+110=284
；
284
的因子
和
1+2+4+71+142=220.
费马发现（
17926
和
18416
）笛卡尔发现第三对；瑞士数学家欧拉发现了
30
到
60
对；
16
岁男孩帕
加尼尼
1886
年发现（
1184
和
1210
）
形数
：
（形与数的结合物）图形中点的个数。三角形形数
=1/2n(n+1)
；正方形形数
=n*n
；正五边
形的形数
n/2(3n-1).
梅森数
：
2
的
n
次方减
1
；如果
2
的
n
次方减
1
是
素
数
，则
2
的
n
-1
次乘以（
2
的
n
次减
1
）是
完
全数
15
.
按照“
万物皆数
”的观点，毕达哥拉斯学派相信：任何量都可以表示成两个整数之比（即某
个
有理量）
。这在几何上相当于对于任何两条给定的线段，总能
找到第三条线段作
为单位线段，
将所给定的两条线段划分为整数
段，
称这样的两条线段为
“
可公度
量
”
，即有公共的度量单位。
16.
巧辩学派的
三
大尺规作图问题
——只允许用圆规和直尺做一个正方形，使其与给定的圆面积相
等；
（化圆为方）
给定立方体的一边，求作另一立方体之边，使后者体积两倍于前者
体积；
（倍立方）
三等分任一已知角。
（三等分角）
17. 2000
多年来，三大问题的研究花费了人们的大量
心血。直至
1831
年，法国数学家万采尔首先
证明了倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图来解决，
接着德国数学家
林德曼于
1882
年又证明了∏的超越
性，因而否定了用尺规化圆为方的可能性，
这
三大问题才彻底得
以解决
。
18.
柏拉图学派杰出数学家
欧多克索斯
——
（
1
）数学成果成为欧几里
得《几何原本》
5
、
6
、
7
卷的主要内容
（
2
）运用公理法建立了比例理论，处理了“不可公度量”即无理数问题
（
3
）引入了“量”的概念
<
/p>
（
4
）定义了两个量之比和比例即两个比
相等的关系
（
5
）进一步完善了安蒂丰的“穷竭法”
，并将“穷竭法”改造成为一种严格的证明方法
（
6
）研究了“中末比”问题；解决了
立方倍积的问题
19.
欧多克索
斯的学生
梅奈赫莫斯（柏拉图学派）——
圆锥曲线理论的创始人
20.
亚里士多德
（柏拉图学派）——
（
1
）建立了形式逻辑学，把形式逻辑学规
范化系统化，使之上升为一门学科
（
2
）提出了矛盾律、排中律等思维的规律
（
3
）把逻辑学理解为论证的学问
（
4
）研究了三段论法的格和规则
（
5
）著作中有许多的几何定理：多边形外角之和等于四直角；在包围给定面积的
所有平
面图形中圆的周长最小。
21.
亚历山大时期的数学发展有两个方向
——
（
1
）沿着毕达哥拉斯、柏拉图开辟的方向，继续致力于纯粹数
学理论的研究，并使之系
统化，其代表人物有欧几里得、阿波罗尼斯。
< br>
（
2<
/p>
）以阿基米德为代表，致力于研究数学与天文、物理、力学、光学等学科的结合，在
继承古典时期研究成果的基础上，不断开拓新的领域。
其中，阿基米德、欧几里得、阿波罗尼
斯并称亚历山大时期的三大数学巨人。
22.
欧几里得——
（
1
）勤奋的学者，以满
腔的热情将以雅典为代表的希腊数学成果，运用欧多克索
斯曾经部分采用过的严密的逻辑
方法重新编纂成书。为
此，
他首先收集整理已有的数学成果，<
/p>
以命题的形式作出
表述，
完善前人的各种
定理并予以重新证明，
使其达到无
懈可击的地步。
然而，
他做出了自己的伟大创造：
对定义
进行筛选，
选择出具有重大意义的公理，
逻辑的严
密的按
演绎方式组织命题及其证明，
最后形成了
具有公理化结构
和严密逻辑体系的《几何原本》
，是在
公元前
300
年左右
完成的。
（
2
）对天文学和光学都有研究，其他纯数学著作《数据》
、在《几何原本》基础
上进一步研究几何学的一本问题集，
共
95
个问题；
《论图
形的分割》
，
研究将图形分割后成比例的问题
，
共
36
个问
题。
23.
《几何原本》中
第五公设
——若一直线与两直线相交，且同侧所交两内角和小于两直
角，则两
直线无限延长后必相交于该侧的一点。
24.
《几何原本》——
古希腊数
学家欧几里得的一部不朽之作，是月
300
年来希腊数学成果、
方法、
思想和精神的结晶，
其内容和形式对几何学本身和数学逻
辑的发展有着巨大的影响。
自它问世之日起，
< br>在长达二千
多年的时间里一直盛行不衰。
它经历多次修订
和翻译，
自
1482
年第一次印刷本出
版后，至今已有一千多种不同的
版本，除了《圣经》外，没有任何其他著作，其研究、使
用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。但《几何原
本》超
越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，
却是《圣经》所无法比拟的。
诚
然，正如现代数学家所指出的那样，
《几何原本》存在着一些结构上的缺陷，
但这丝毫无损于这部著作的崇高价值，他的影响之深远，
使得欧几里得与几
何学几乎成了同义词。
它集中体现了希
腊数学所奠定的数学思想
、
数学精神，
是人类文化遗产中
的瑰宝
。
25
．
阿基米德
——用力学的方法探索数学结论的基本思想是：为了找
出所求图形的面积和体积，可
将它分成很多窄的平行条和厚的平行层，
< br>接着，
将这些条
或层挂在杠杆的一端，
< br>使它平衡与体积和重心为已知的图
形，
利用杠杆平衡原理
及已知图形的面积、
体积，
便可探
求出
未知图形的面积和体积来。
26
阿波罗尼斯—
—《圆锥曲线》
P33
页
27.
希腊数学的衰落——自阿
波尼洛斯之后开始走下坡路，但也有些数学成就。代数的进展时产生
了代数符号，
第一次提出代数符号的是丢番图，
其主要著
作
是《算术》
，堪称古代数学的典籍。丢番图引入了
1
—
—
6
次幂的符号。丢番
图是该时期解代数方程的大师，在
《算术》中，绝大多数问题是不定方程，考察的范围是
1
——
4
次，
在解题时，
丢番图经常以高超的技巧利用公式。
28.
托勒密在总结希帕恰斯和梅乃劳斯工作的
基础上，写成三角学的最早系统性的论著
《天文学大
成》简称《
大成》
。
印度部分
29.
摩诃毗罗
——著《数学九章》
，其内容只要是算术运算，开平方，和开立方，二次方程及组合问
题，
也讲到解二次不定方程等。
30.
婆什伽罗
——对天文学和数学都有研究，
是古代印度最著名的数学家，
著有
《丽罗娃提》
和
《算
法本原》
。这两部著
作除了整理前人的成果之外还论述了
有理数的四则运算、
线性方
程组和不定方程。
他指出二次
方程有两个根，并对形如
Cx*x+1=y*y
的二次不定方程提
出解法
。
31.
在印度数学中最值得称
道的是
印度数码和
10
进位值制记数法
。
人们所说的阿拉伯数码实际上最
早是
由印度人发明的，
这是她们对数学乃至整个人类文化
的重要贡献
。
32.
印度人很早就引入了<
/p>
负数。
婆罗门笈多在
628
年左右系统地给出了负数四则运算的正确法则，
婆什伽罗又在《根
的计算》中又进一步讨论了负数，他把负数叫做“负债”或“损失”
，并用在数码中加一点表示负
数，在数码的
右下角加一点表示减号。不过，当一个问题得出正负两个解时，他会解释说“负数解不合
适，因为
人们不赞成负
数，故应舍弃”
。
阿拉伯部分
33.
阿尔·花拉子米
——（
1
）出
生于花拉子米城，并以此得名，曾担任过阿拔斯王朝第五代哈里发
的司书官，以博古通今
著称。他仔细研究过印度天文学，
并根据印度天文表中的资料，
编辑了阿拉伯最古老的天文
表。
（<
/p>
2
）他写的书涉及天文、历法、算术、代数等多个领域，其中最著
名的是
《代
数学》
。
< br>这本书无论在内容还是风格上都代表了一个新的起
点，首先把代数学作为一门有别
于其他学科的、独立的数学
分支来处理。此书内容分为三个部分
:
第一部分讲述现代意
义下的初等代数；第二部分论及各种实用
算术问题；第三部
分列举了有关继承遗产的各种类型的问题。
（
3
）花拉子米知道二次方程有两个根
，但是他只取正根，放弃负根和零根。
正因为系数和根都限取正数，所以无法将
6
种类型的方程联
系起来。但在花拉子米的著作
中，一个代数式中的项即可指
数（包括无理数）也可指几何量，这正是优于希腊代数的地
方。
（
4<
/p>
）花拉子米采取演算与论证并举的方式来阐述解方程的过程。
<
/p>
（
5
）他在讨论了
6
种类型的方程后指出：通过“复原”与“对消”两种变换，
可将其他形式的一次、二次方程化为这
6
种标准方程。
（
6
）另一本著作《
算术》介绍印度数码的计算方法，通过这本书，欧洲人才
了解到印度的数码和记数系统。
（
7
）
放弃了符号
（
8
）
《算术》中给
出了“
0
”
，以及
0
在十进位制数值中的作用及其运算规则
，