十大高中平面几何几何定理汇总及证明
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高中平面几何定理汇总及证明
1.
共边比例定理
有公共边
AB
的两个三角形的顶点分别是
P
< br>、
Q
，
AB
与
PQ
的连线交于点
M
，
则有以下比例式成立：
△
PAB
的面积：
△
QAB
的面积＝
PM
：
QM
.
证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证
S
△
PAB=(S
△
PAM-S
△
PMB)
=(S
△
PAM/S
△
PMB-1)×S
△
PMB
=(AM/BM-1)×S
△
PMB(
等高底共线，面积比
=
底长比）
同理，
S
△
QAB=(AM/BM-1)×S
△
QMB
所以，
S
△
PAB/
S
△
QAB=S
△
PMB/S
△
QMB=PM/QM(
等高底共线，面积比
=
底长比）
定理得证！
特殊情况：当
PB
∥
AQ
时，易知
△
PAB
与
△
QAB
的高相等，从而
S
< br>△
PAB=S
△
QAB
，
反之，
S
△
PAB=S
△
QAB
，
则
PB
∥
AQ
。
2.
正弦定理
在任意一个平面三角形中，
各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的
2
倍
”
，即
a/sin
A = b/sinB =c/sinC = 2r=R
（
r<
/p>
为外接圆半径，
R
为直径）
证明：
现将
△
ABC
，做其外接圆，设圆心为
O
。我们考虑∠
C
及其对边<
/p>
AB
。设
AB
长
度为
c
。
若
∠
C
为直角，则
AB
< br>就是⊙
O
的直径，即
c=
2r
。
∵
（特殊角正弦函数值）
∴
若∠<
/p>
C
为锐角或钝角，过
B
< br>作直径
BC`
交
⊙
O
于
C`
，连接
C'A
，
显然
BC'= 2r=R
。
若∠
C
为锐角，则
C'
与
C
落于
AB
的同侧，
此时∠
C'=<
/p>
∠
C
（同弧所对的圆周角相等）
∴在
Rt
△
ABC'
中有
若∠<
/p>
C
为钝角，则
C'
与
C
落于
AB
的异侧，
BC
的对边为
a
，此时∠
C'=
∠
A
，亦可推
出
。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得
。
3.
分角定理
在
△
ABC
中，
D
是边
BC
上异于
B,C
或其延长线上的一点，
连结
AD
，
则有
BD/CD=(sin
∠<
/p>
BAD/sin
∠
CAD)*(AB/A
C)
。
证明：
S
△
ABD/S
△
ACD=BD/CD
…………
(1.1)
S
△
ABD/S
△
ACD=[(
1/2)×AB×AD×sin
∠
BAD]/[(1/2)
×AC×AD×sin
∠
CAD]
= (sin
∠
BAD/sin
∠
CAD) ×(AB/AC)
…………
(1.2)
由
1.1
式和
1.2
式得
BD/CD=(sin
∠
BAD/sin
∠
CAD) ×(AB/AC)
4.
张角定理
在
△
ABC
中，
D
是
BC
上的一点，连结
AD
。那么
∠
∠
∠
。
证明：
设∠
1=
∠
BAD
，∠
2=
∠
CAD
由分角定理，
S
△
ABD/S
△
ABC=BD/B
C=(AD/AC)*(sin
∠
1/sin
< br>∠
BAC)
→ (BD/BC)*(sin
∠
BAC/AD)=sin
∠
1/AC (1.1)
S
△
AC
D/S
△
ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin
∠
2/sin
∠
B
AC)
→ (CD/BC)*(sin
∠
BAC/AD)=sin
∠
2/AB (1.2)
(1.1)
式
+(1.2)
< br>式即得
sin
∠
1/AC+sin
∠
2/AB=sin
∠
BAC/AD
5.
帕普斯定理
直线
l1
上依次有点
A,B,C
，
直线
l2
上依次有点
D,E,F
，
设
AE,BD
交于
G
，
AF,DC<
/p>
交于
I
，
BF,
EC
交于
H
，则
G,I,H
共线。
6.
蝴蝶定理
设
S
为圆内弦
AB
的中点，过
S
作弦
CF
和
DE
。设
CF
和
DE
各相交
AB
于点<
/p>
M
和
N
，
则
S
是
MN
的中点。
证明：
<
/p>
过
O
作
OL
⊥
ED
，
OT
⊥
CF
，垂足为
L
、
T
，
连接
ON
，
OM<
/p>
，
OS
，
SL<
/p>
，
ST
，易明
△
ESD
∽△
CSF
∴
ES/CS=ED/FC
根据垂径
定理得：
LD=ED/2
，
FT=FC
/2
∴
ES/CS=EL/CT
又
∵∠
E=
∠
C
∴△
ESL
∽△
CST
∴∠
SLN=
∠
STM
∵
S
是
AB<
/p>
的中点所以
OS
⊥
AB
∴∠
OSN=
∠
OLN=90°
∴
O
，
S
，
N
，
L
四点共圆，（一中同长）
< br>
同理，
O
，
< br>T
，
M
，
S
四点共圆
∴∠
< br>STM=
∠
SOM
，∠
SLN=
∠
SON
∴
∠
SON=
∠
SOM
∵
OS
⊥
AB
∴
MS=NS
7.
西姆松定理
过三角形外接圆上异于三
角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂
足共线。（此线常称为西姆松线
）。
证明：
若
L
、
M
、
N
三点共线，连结
BP
，
CP
，则因
PL
⊥
BC
，
PM
⊥
AC
，
PN
⊥
AB
，有
B
、
L
、
P
、
N
和
P
、
M
、
C
、
L
分别四点共圆，有
∠
NBP =
∠
NLP =
∠
MLP=
∠
MCP.
故
A
、
B
、
P
、
C
四点共圆。
若
A
、
P
、
B
、
C
四点共圆，则
∠
NBP=
∠
MCP
。
因
PL
⊥
BC
，
PM
⊥
AC
，
PN
⊥
AB
，
有
B
、
L
、
P
、
N
和
P
、
M
、
C
< br>、
L
四点共圆，有
∠
NBP =
∠
NLP=
∠
MCP=
∠
MLP.
故
L
、
M
、
N
三点共线。
西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的
外接
圆上。
证明：
PM
< br>⊥
AC
，
PN
< br>⊥
AB ,
所以
A,M,N,P
共圆
8.
清宫定理
设
P
、
Q
为△ABC
的外接圆上异于
A
、
B
、
C
的两点，
P
关于三边
BC
、
CA<
/p>
、
AB
的对称点
分别是
U
、
V
、
W
，且
QU
、
QV
、
QW
分别交三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长线于
D
、
E
、
F
，则
D
、
E
、
F
在同一直线上
.
证明：
A
、
B
、
P
、
C
四点共圆，因此
∠
PCE=
∠
ABP
点
P
和
V
< br>关于
CA
对称
所以∠
PCV=2
∠
PCE
又因为
P
和
W
关于
AB
对称，所以
< br>
∠
PBW=2
∠
ABP
从这三个式子，有
∠
PCV=
∠
PBW
另一方面，
因为∠
PCQ
和
∠
PBQ
都是弦
PQ
< br>所对的
圆周角，所以
∠
PCQ=
∠
PBQ
两式相加，有
∠
PCV+
∠
PCQ=
∠
PBW+
∠
PBQ
即∠
QCV=
∠
QBW
< br>即△QCV
和△QBW
有一个顶角相等，因此
，
同理
于是
根据
梅涅劳斯定理的逆定理，
D
、
E
、
F
三点在同一直线上。
，
但是
，所以
9.
密克定理
三圆定理：设三个圆
C1,
C2,
C3
交于一点
O
，而
M,
N,
P
分别是
C1
和
C2,
C2
和
C3,
C3
和
C1
的另一交点。设
A
为
C1
的点，直线<
/p>
MA
交
C2
于<
/p>
B
，直线
PA
交
C3
于
C
。那
么
B, N, C
这三点共线。
逆定理：如果是三角形，
M,
N,
P
三点分别在边
AB,
BC,
CA
上，那么△AMP、△BMN、△CPN
的外接圆交于一点
O
。
完全四线形定理
如果
ABCDEF
是完全四线形，
那么三角形的外接圆交于
一点
O
，称为密克点。
四圆定理
设
C1, C2,C3, C4
为四个
圆，
A1
和
B1
是
C1
和
C2
的交点，
A2
和
< br>B2
是
C2
和
C3
的交点，
A3
和
B3
是
C3
和
C4
的交点，
A4<
/p>
和
B4
是
C1<
/p>
和
C4
的交点。那么
A1,
A2,
A3,
A4
四点共圆当且仅当
B1,
B2,
B3,
B4
四点共圆。
证明：
在△ABC
的
BC,AC,
AB
边上分别取点
W,M,N
，
对
AMN,△BWN
和△CWM
分别作其外
接圆，则这三个外接圆共点。
该定理的证明很简单，利用“圆内接四边形对角和为
180
度”及其逆定理。
现在已知
U
是
和
的公共点。连接
UM
和
UN
，
∵四边形
BNUW
和四边
形
CMUW
分别是
和
< br>的内接四边形，
∴∠
UWB+
∠
UNB=
∠
UNB+
∠
UNA=180
度
∴∠
UWB=
∠
UNA
。
同理∠
UWB+
∠
UWC=
< br>∠
UWC+
∠
UMC=180<
/p>
度
∴∠
UWB
=
∠
UMC
。
∵∠
UMC+
∠
UMA=180
度
∴∠
UNA+
∠
UMA=180
度，
这正说明四边形
ANUM
是一个圆内接四边形，而该圆必是
，
U
必在
上。
10.
婆罗摩笈多定理
圆内接四边形
ABCD
的对角线
AC
⊥
BD
，垂足为
M
< br>。
EF
⊥
BC
< br>，且
M
在
EF
< br>上。那么
F
是
A
D
的中点。
证明：
∵AC⊥BD，ME⊥BC
∴∠
CBD=
∠
CME
∵∠
CBD=
∠
CAD
，∠
CME=
∠
AMF <
/p>
∴∠
CAD=
∠
AMF
∴
AF=MF
∵∠AMD=
90°，同时∠
MAD+
∠MDA=90°
∴∠
FMD=
∠
FDM
∴
MF=DF
，即<
/p>
F
是
AD
中点<
/p>
逆定理：
若
圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。
证明：
∵MA⊥MD，
F
是
AD
中点
∴
AF=MF
∴∠
CAD=
∠
AMF
∵∠
CAD=
∠
CBD
，∠
AMF=
∠
CME <
/p>
∴∠
CBD=
∠
CME
∵∠
CME+
∠
BME=
∠BMC=90°
∴∠
CBD+
∠BME=90°
∴
EF
⊥
BC