圆周率的发展史
我是歌手第二季名单-
▲
圆周率的发展史
在历史上
,
有不少数学家都对圆周率作
出过研究
,
当中著名的有阿基米德、托勒密、张衡、祖
冲之等。他们在自己的国家用各自的方法
,
辛辛
苦苦地去计算圆周率的值。下面
,
就是世上各
< br>个地方对圆周率的研究成果。
中国
:
魏晋时
,
刘徽曾用使正多边形的边数逐
渐增加去逼近圆周的方法
(
即「割圆术」
),
求得
π
的近
似值
3.1416
。
汉朝时
,
张
衡得出
π
的平方除以
16
等於
5/8,
即
π
等於
10
的开方
(
约为
3.162)
。虽然这个值不
太准确
,
但它简单易理解
,
所以也在亚洲风行了一阵。
<
/p>
王蕃
(229-267)
发现了另一个圆
周率值
,
这就是
3.156,
但没有人知道他是如何求出来的。
公元
5
世纪
,
祖冲之和他的儿子以正
24576
边形
,
求出圆周率约为
355/113,
和真正的值相比
,
误
差小
於八亿分之一。这个纪录在一千年后才给打破。
印度
:
约
在公元
530
年
,
数学大师阿耶波多利用
384
边形的周长
< br>,
算出圆周率约为
√9.8684
。
婆罗门笈多采用另一套方法<
/p>
,
推论出圆周率等於
10
的平方根。
欧洲
斐波
那契算出圆周率约为
3.1418
。
韦达用阿基米德的方法
,
算出
3.1415926535<π<3.1415926537
他还是第一个以无限乘积叙述圆周率的人。
鲁道夫万科伦以边数多过
32000
000000
的多边形算出有
35
个小
数位的圆周率。
华理斯在
1655
年求出一道公式
π/2=2×2×4×
4×6×6×8×8...../3×3×5×5×7×7×9×9......
欧拉发现的
e
的
iπ
次方加
1
等於
0,
成为证明
π
是超越数的重要依据。
之后
,
不断有人给出反正切公式或无穷级数来计算
π,
在这里就不多说了。
π
与电脑的关系
在
1949
年
,
美国制造的世上首部电脑
—
ENIAC(Electronic Numerical Interator and C
omputer)
在
亚伯丁试验场启用了。
次年
,
里特韦斯纳、
冯纽曼和梅卓
普利斯利用这部电脑
,
计算出
π
的
2037
个小数位。
这部电脑只用了
70
小时就完成了这项工作
< br>,
扣除插入打孔卡所花的时间
,
等於平均
两分钟算出一位数。五年后
,NORC(
海军兵器研究计算机
)
只用了
13
分钟
,
就算出
< br>π
的
3089
个小数位。科技不
断进步
,
电脑的运算速度也越来越快
,
在
60
年代至
70
年代
,
随著美、英、法
的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争
,π
的值也
越来越精确。在
1973
年
,Jean
Guilloud
和
M. Bouye
r
发现了
π
的第一百万个小数位。
在
1976<
/p>
年
,
新的突破出现了。萨拉明
(Eugene
Salamin)
发表了一条新
的公式
,
那是一条二次收
歛算则
,
也就是说每经过一次计算
,
有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式
,
但十分复杂
,
在那没有电脑的时代是不可行的。
之后
,
不断有人以高速电脑结合类似萨拉明的
算则来计算
π
的值。目前为止
,π
的值己被算至小数点后
51,000,000,
000
个位。
为什麼要继续计算
π
其实
,
即使是要求最高、
最
准确的计算
,
也用不著这麼多的小数位
,
那麼
,
为什麼人们还要不断地
努力去计算圆周率呢
?
< br>这是因为
,
用这个方法就可以测试出电脑的毛病。如果在
计算中得出的数值出了错
,
这就表示
硬
体有毛病或软体出了错
,
这样便需要进行更改。同时
,
以电脑计算圆周率也能使人们产生良
性的竞争<
/p>
,,
科技也能得到进步
,
从而改善人类的生活。
就连微积分、
高等三角恒等式<
/p>
,
也是有研
究圆周率的推动
,
从而发展出来的。
▲π
的年表
圆周率的发展
年代
求证者
内容
古代
中国周髀算经
周一径三
圆周率
＝
3
西方圣经
元前三世
阿基米德
< br>(
希腊
) 1.
圆面积等於分别以半圆周和径为边长的矩形
的面积
2.
圆面积与以直径为长的正方形面积之比为
< br>11:14
3.
圆的周长与直径之比小於
3 1/7
,
大於
3
10/71
三世纪
刘徽
中国
用割圆术得圆周率＝
3.1416
称为
'
徽率
'
五世纪
祖冲之
中国
1.
3.1415926
＜圆周率＜
3.1415927
2.
约率
＝
22/7
3.
密率
＝
355/113
1596
年
鲁道尔夫
的
35
位数字
荷兰
正确计萛得
1579
年
韦达
法国
'<
/p>
韦达公式
'
以级数无限项乘积表示
1600
年
威廉
.
奥托兰特
/σ
表示圆周率
英国
用
π
是希腊文圆周的第一个字母
σ
是希腊文直径的第一个字母
1655
年
渥里斯
的先例
英国
开创利用无穷级数求
1706
年
马淇
英国
的
100
位数字
'
马淇公式
'
< br>计算出
1706
年
琼斯
表示
圆周率
英国
首先用
1789
年
乔治
.
威加
英国
至
126
位
准确计萛
1841
年
鲁德福特
至
152
位
英国
准确计萛
1847
年
克劳森
至
248
位
英国
准确计萛
1873
年
威廉
.
谢克斯
至
527
位
英国
准确计萛
1948
年
费格森和雷恩奇
至
808
位
英国
美国
准确计萛
1949
年
赖脱威逊
计算到
2034
位
< br>美国
用计算机将
计算到亿位
现代
用电子计算机可将
▲
背诵
π
历来都有不少人想挑战自己的记忆力
,
他们通常以圆周率为目标。目前的世界记录是由敬之
后藤创下的
,
他在
1995
年花了
9
个多小时
,
背诵出圆周率的
42,000
个位数。
目前
,
最常
用的记忆圆周率技巧就是字长法
,
以每个字的字数代表圆周率的
一个位数。在这种
方法中最简单的就是
“How I wish
I could calculate pi.”
用中文去
背圆周率也很简单
,
因为每个数字都只有一个音节
,
这样背起来就如背诗一样
,
只不
过有点言不及义
,
例如
:
山巅一石一壶酒
3
．
14159
二侣舞扇舞
26535
把酒砌酒扇又搧
8979323
饱死罗
.....
846.....
关於
π
的有趣发现
将
π
的头
144
个小数位数字相加
,
结果是
666
。
144
也等於
(6+6)*(6+6)
爱因斯坦的生日
恰好是在
π
日
(3/14/1879)
从
π
的第<
/p>
523,551,502
个小数位开始
,
是数列
123456789
。
从第
359
个位数开始
,
是数字
360
。也就是说第
360
个位数正好
位於数字
360
的中央。
在头一百万个小数中
,
除了
2
和
4,
其他数字都曾连续出现
7
次。
圆周率
，
一般以
π
来表示，是一个在
数学
及
物理
学普遍存在的数学常
< br>数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平
方之比。是精
确计算圆周长、圆面积、
球
体积等
几何
形状的关键。分
祖冲之
析学上，
π
可定义为是最小的
x>0
使得
sin(x) =
0
。
常用的
π
近以值包括
疏率
:
22/7
及
密率
: 355/113
。这两项均由
祖冲之
给出。
π
约等于（精确到小数点后第<
/p>
100
位）
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279
50288 41971 69399 37510 58209 7494
4
59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70680
古希腊
欧几里得
的《
几何原本
》（约公元前
3
世纪初）中提到圆周率是
常数
，中国
古算书《
周髀算
经
》（约公元前
2
世纪）中有「径一而
周三」的记载，也认为圆周
率是常数。
历史上曾采用过圆周率的
多种
近似值
，
早期大都是通过实验而得到的结
果，如
古埃及
纸草书（约公元前
1700
）中取
π
=
（
4/3
）^4≒3.1604 。
第一个用科学方法寻求圆周率
数值的人是
阿基米德
，他在《圆的度量》（公元前
3
世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形
开始，
逐次加倍计算到正
96
边形，得
到
(3+(10/71)) <
π
< (3+(1/7))
，开创了圆周率
计算的几何方法（亦
称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的
π
值。
中国数学家
刘徽
在注释《
九章算术
》时（公元
263
年）只用圆内接正多边形就求得
π
的近似值，也得出精确到两位小数的
π
值，他的方法被后人称
为
割圆术
，其中
有求极限的思想。
南北朝
时代的数学家祖冲之利用割圆术进
一步得出精确到小数点后
7
位的
π
值
（公
元
466<
/p>
年），给出不足近似值
3.1415926
和过剩近似值
3.1415927
，还得到两个近
似分数值，密率
355/113
和约率
22/7
，这一纪录在世界上保持了一千年之久。为纪
念祖冲之对中国圆周率发展的贡献，将这一推算值用他的名字被命名为“
祖冲之圆<
/p>
周率
”，简称“
祖率
”。
其中的密率在西方直到
15
73
才由德国人奥托得到，
1625
年
发表于荷兰工程师安托
尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯率。
阿拉伯数学家卡西在
15
世纪初求得圆
周率
17
位精确小数值，打破祖冲之保持近千
< br>年的纪录。德国数学家柯伦于
1596
年将
π
值算到
20
位小数值，后
投入毕生精力，
于
1610
年算到小数
后
35
位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。
1579
年法国数学家
韦达
给出
π
的第一个解析表达式。
此后，无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种
π
值表达式纷纷出现，
π<
/p>
值计
算精度也迅速增加。
1706
年英国数学家梅钦计算
π
值突破
100
位小数大关。
1873
< br>年另一位英国数学家尚可斯将
π
值计算到小数点后
707
位，可惜他的结果从
528
位起是错的。
到
1948
年英国的弗
格森和美国的伦奇共同发表了
π
的
808
位小数值，
成为人工计算圆周率值的最高纪录。
电子计算
机
的出现使
π
值计算有了突飞猛进的发
展。
1949
年美国马里兰州阿伯丁
的
军队弹道研究实验室首次用计算机（
ENIAC
）
计算
π
值，
一下子就算到<
/p>
2037
位小
数，突破了千位数。
1989
年美国
哥伦比亚大学
研究人员用克雷－
2
型和
IB
M
－
VF
型
巨
型电子计算机计算出
π
值小数点后<
/p>
4.8
亿位数，后又继续算到小数点后
1
0.1
亿位数，创下新的纪录。
除
π
的数值计算外，它的性质探讨也吸引了众多数学家。
1761
年瑞士数学家兰伯
特第一个证明
π
是
无理数
。
1794
年法国数学家勒让德又证明了
π<
/p>
2
也是无理数。
到
1882
年德国数学家林德曼首次证明了
π
< br>是
超越数
，由此否定了困惑人们两千多
< br>年的
「化圆为方」
尺规作图问题。
还有人对
π
的特征及与其它数字的联系进行研究。
如
1929
年苏联数学家格尔丰德证明了
e
π
是超越数等等。
古人计算圆周率，
一般是用
割圆法
。
即用圆的内
接或外切正多边形来逼近圆的周长。
Archimedes
用正
96
边形得到圆周率小数点后
3
位的精度；
刘徽用正
3072
边形得到
5
位精度；
Ludo
lph Van Ceulen
用正
262
边形得到了
35
位精度。
这种基于
几何的算
法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着
数学
的发展，数学家们在进行数学研究时
有意无意地发现了许多计算圆周率的
公式。
下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。
除了这些经典公
式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不
一一列举了。
1
、
Machin
公式：
这个公式由英国天文学教授
John
Machin
于
1706
年发现。
他利用这个公式计算到了
100
位的圆周率
。
Machin
公式每计算一项可以得到
1.4
位的十进制精度。因为它的
计算过程中被乘数和被除数
都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实
现。
<
/p>
还有很多类似于
Machin
公式的反正
切公式。在所有这些公式中，
Machin
公式似乎
是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，
Mach
in
公式就力
不从心了。
下面介绍的<
/p>
算法
，在
PC
机
上计算大约一天时间，
就可以得到圆周率的过
亿位的精度。这些
算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的
乘除运算，
要用
FFT(Fast Fourier Transform)
算法。
FFT
可以将两个大数的乘除运
算时间由
O(n2)
缩短为
O(nlog(n))
。
2
、
Ramanujan
公式：
1914
年，印度数学家
Srinivasa
Ramanujan
在他的论文里发表了一系列共
14
条圆
周率的计算公式，
这是其中之一。
这个公式每计算一项可以得到
8
位的十进制精度
。
1985
年
Gosper
用这个公式计算到了圆周率的
17,500,000
位。
1989
年，
David &
Gregory Chudnovsky
兄弟将
Ramanuj
an
公式改良成为：
这个公式被称为
Chudnovsky
公式，每计算
一项可以得到
15
位的十进制精度。
1
994
年
Chudnovsky
兄弟利
用这个公式计算到了
4,044,000,000
位。
Chudnovsky
公式的
另一个更方便于计
算机编程的形式是：
3
、
AGM(Arithmetic-
Geometric Mean)
算法：
Gauss-Legendre
公式：
初值：
重复计算：
最后计算：
这个公式每迭代一次将得
到双倍的十进制精度，
比如要计算
100
万位，
迭代
20
次就
够了。
1999
年
9
月
Takahashi
和
Kanada
用这个算法计算到了圆周率的
206,158,
43
0,000
位，创出新的
世界纪录
。
4
、
Borwein
四次迭代式：
初值：
重复计算：
最后计算：
这个公式由
Jonathan
Borwein
和
Peter Borwein
于
1985
年发表，它四次收敛于圆
< br>周率。
5
、
Bailey-
Borwein-Plouffe
算法：
这个公式简称
BBP
公式，
由
David Bailey, Peter
Borwein
和
Simon Plouffe
于
19
95
年共同发表。它打
破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第
n
位，而<
/p>
不用计算前面的
n-1
位。这为圆周率的
分布式计算提供了可行性。
1997
年，
Fabric
e Bellard
找到了一个比
BBP
快
40
％的公式：<
/p>
1
、新世界纪录
圆周率的最新计算纪录由两位日本人
Daisuke
Takahashi
和
Yasumasa Kanada
所创
造。他们在日本
东京
大学的
IT
中心，以
Gauss-
Legendre
算法编写程序，利用一台
每秒可执行一万亿次
浮点运算的超级计算机，
从日本时间
1999
< br>年
9
月
18
日
19:00:
52
起，计算了<
/p>
37
小时
21
分
04
秒，得到了圆周率的
206,15
8,430,208(3*236)
位十
进制精度，
之后和他们于
1999
年
6
月
27
日以
Borwein
四次迭代式计算了
46
小时得
到的结果相比，发现最后
45
位
小数有差异，因此他们取小数点后
206,158,430,000
位的值为本次计算结果。
这一结果打破了他们于
1999<
/p>
年
4
月创造的
6
8,719,470,00
0
位的世界纪录。
< br>
2
、最后
20
位