初中数学经典几何题及答案
清炖鱼头-
经典难题（一）
1
、已知：如图，
O
是半圆的圆心，
C
、
E
是圆上的两
点，
CD
⊥
AB
，
EF
⊥
AB
，
EG
⊥
CO
．
求证：
CD
＝
GF
．
（初二）
C
E
G
A
B
D
O
F
2
、已知：如图，
P
是正方形
ABCD
内点，∠
PAD
＝∠
PDA
＝
15
0
．
A
D
<
/p>
求证：△
PBC
是正三角形．
（初二）
P
C
B
3
、如图
，已知四边形
ABCD
、
A
1
B
1
C
1
D
1
都是正方形，
A
2
、
B
2
、
C
2
< br>、
D
2
分别是
< br>AA
1
、
BB
< br>1
、
CC
1
、
DD
1
的中点．
A
D
求证：四边形
A
2
B
2
C
2
D
2
是正方形．
（初二）
D
2
A
2
A
1
D
1
B
1
C
1
B
2
C
2
B
C
4
、已知：如图，在四边形
ABCD
中，
AD
＝<
/p>
BC
，
M
、
N
分别是
AB
、<
/p>
CD
的中点，
AD
、
BC
的延长线交
MN
于
E
、
F
< br>．
F
求证：∠
DEN
＝∠
F
．
E
N
C
D
经
典
难
题（二
）
A
第
1
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14
页
M
B
1
、已知：△
ABC
中，
H
为垂心（各边高线的
交点）
，
O
为外心，且
OM
⊥
BC
于
M
．
A
（
1
）求证
：
AH
＝
2OM
；
（
2
）若∠
BAC
＝
60
0
，求证：
AH
＝
AO
．
（初二）
O
·
H
E
B
C
M
D
2
、设
MN
是圆
O
外一直线，过
< br>O
作
OA
⊥
MN
于
A
，自
A
引圆的两条直线，交圆于
B
、<
/p>
C
及
D
、
E
，直线
EB
及
CD
分别交
MN
于
P
、
Q
．
G
E
求证：
AP
＝
AQ
．
（初二）
O
·
C
B
D
3
、如果
上题把直线
MN
由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
M
N
Q
P
A
设
M
N
是圆
O
的弦，过
MN
的中点
A
任作两弦
BC
、
DE
，设
CD
、
EB
分别交
MN
E
于
P
、
Q
．
C
求证：
AP
＝
AQ
．
（初二）
< br>
A
Q
M
·
N
P
·
O
B
D
4
、如
图，分别以△
ABC
的
AC
和
BC
为一边，在△
AB
C
的外侧作正方形
ACDE
和正方形<
/p>
CBFG
，点
P
是
EF
的中点．
D
求证：点
P
到边
AB
的距离等于
AB
的一半．
（初二）
G
C
E
经
典
难
题（三）
P
F
A
B
Q
1
、如图，四边形
ABCD
为正方形，
DE
∥
AC<
/p>
，
AE
＝
AC<
/p>
，
AE
与
CD<
/p>
相交于
F
．
<
/p>
求证：
CE
＝
C
F
．
（初二）
D
A
F
B
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E
C
<
/p>
2
、如图，四边形
ABCD
为正方形，
DE
∥
AC
，且
CE
＝
CA<
/p>
，直线
EC
交
D
A
延长线于
F
．
求证：
AE
＝
AF
．
（初二）
A
D
F
B
C
E
3
、设
P
是正方形
ABCD
一边
BC
上的任一点，
PF
⊥
AP
，
CF
平分∠
DCE
．
求证：
PA
＝
PF
．
（初二）
< br>
A
D
F
B
P
C
E
4
、
如图，
PC
切圆
O
于
C
，
AC
为圆的直径，
PEF
为圆的割线，
A
E
、
AF
与直线
PO
相交于
B
、
D
．求证：
AB
＝
DC
，
BC
＝
AD
．
（初三）
A
O
D
B
P
经
典<
/p>
难
题（四）
E
F
C
1
、已知：△
ABC
是正三角形，
P
是三角形内一点，
PA
＝
3
，
PB
＝
4
，
PC
＝
5
．
求：
∠
APB
的度数．
（初二）
A
P
2
、设
P
是平行四边形
ABCD
内部的一点，且∠
PBA
＝∠
PDA
．
求证：∠
PAB
＝∠
PCB
．
（初二）
B
A
C
D
P
3
、设
ABCD
为圆内接凸四边形，求证：
A
B
·
CD
＋
A
D
·
BC
＝
A
C
·
BD
．
（
初三）
B
A
C
D
B
C
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4
、平行四边形
ABCD
中，设
E
、
F
分别是
BC
、
AB
上的一点，
AE
与<
/p>
CF
相交于
P
，
且
AE
＝
C
F
．求证：∠
DPA
＝∠
DPC
．
（初二）
A
F
D
经
典
难
题（五
）
B
1
、
设
P
是边长为
1
的正△
ABC
内任一点，
L
＝
PA
＋
PB
＋
PC
，求证：
P
≤
L
＜<
/p>
2
．
A
E
C
P
2
、已知：
P
是边长为
1
的正方形
ABCD
内的一点，求<
/p>
PA
＋
PB
＋<
/p>
PC
的最小值．
B
A
C
D
P
B
3
、
P
为正方形<
/p>
ABCD
内的一点，并且
PA
＝
a
，
PB
＝
2a
，
PC
＝
3a
，求正方形的边长．
A
P
C
D
4
、如图，△
ABC
中，∠
< br>ABC
＝∠
ACB
＝
80
0
，
D
、
E
分别是
AB
、
AC
上的点，∠
DCA
＝
30
0
，<
/p>
A
∠
EBA<
/p>
＝
20
0
，求∠
BED
的度数．
C
B
D
E
B
1.
如下
图做
GH
⊥
AB,
连接
EO
。由于
GOFE
四点共圆，所以∠
GFH
＝∠
< br>OEG,
经
典
难
题（一）
C
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即
△
GHF
∽△
OGE,
可得
EO
GO
CO
=
=
,
又
CO=EO
，所以
CD=GF
得证。
GF
GH
CD
2.
如下图做△
< br>DGC
使与△
ADP
全等，可得
△
PDG
为等边△，从而可得
△
DGC
≌△
APD
≌△
CGP,
得出
PC=AD=DC,
和∠
DCG=
∠
PCG
＝
15
0
所以∠
DCP=30
0
，从而得出△
PBC
是正三角形
3.
如下图
连接
BC
1
和
AB
1
分别找其中点
F,
E.
连接
C
2
F
与
A
2
E<
/p>
并延长相交于
Q
点，
连接
EB
2
并延长交
C
2
Q
< br>于
H
点，连接
FB
2
并延长交
A
2
Q
于
G
点，
由
A
2
< br>E=
1
A
B
=
1
B
C
= FB
2
，
EB
< br>2
=
1
AB=
< br>1
BC=F
C
1
，又
∠
GFQ+
∠
Q=90
0
和
2
1
1
2
1
1
2
2
∠
GE
B
2
< br>+
∠
Q=90
0
,
所以∠
GE
B
2
=
∠
GFQ
又∠
B
2
FC
2
=
∠
A
< br>2
EB
2
，
可得△
B
2
FC
2
≌△
A
2
EB
2<
/p>
，所以
A
2<
/p>
B
2
=B
2
C
2
，
又∠<
/p>
GFQ+
∠
HB
2
F=90
0
和∠
GFQ=
∠
EB
2
A
2
,
从而可得∠
A
2
B
2
C
2
=90
0
，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得
出四边形
A
2
B
2
C
2
D
2
是正方形。
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4.
如下图
连接
AC
并取其中点
Q
，连接
QN
和
QM
，所以可得<
/p>
∠
QMF=
∠
F
，∠
QNM=
∠
DEN
和∠
QMN=
∠
QNM
，从而得出∠
DEN
＝∠
F
。
经
典
难
题（二）
1.(1)
延长
AD
到
F
连
BF
，做
OG
< br>⊥
AF,
又∠
F=
∠
ACB=
∠
BHD
，
可得
BH=B
F,
从而可得
HD=DF
，
又
AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG
=2(GH+HD)=2OM
(2)
连接
OB
，
OC,
既得
∠
BOC=120
0
，
从而可得∠
BOM=60
0
,
所以可得
OB=2OM=AH=AO,
得证。
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3.
作
OF
⊥
CD
，
OG
⊥
BE
，连接
OP
，
OA
，
OF
，
AF
，
OG
，
AG
，
OQ
。
AD
AC
CD
2
FD
FD
=
=
=
=
由于
，
<
/p>
AB
AE
BE
2
BG
BG
由此可得△
ADF
≌△
ABG
，从而可得∠
AFC=
∠
AGE
。
又因为
PFOA
与
QGOA
四点共圆，可得∠
AF
C=
∠
AOP
和∠
AGE=
∠
AOQ
，
∠
< br>AOP=
∠
AOQ
，从而可得<
/p>
AP=AQ
。
4.
过
E,C,F
点分别作
AB
所在直线的高
EG<
/p>
，
CI
，
FH<
/p>
。可得
PQ=
AI
+
BI
AB
=
，从而得证。
2
2
EG
+
FH
。
2
由△
EGA
≌△
AIC
，可得
EG=AI
，由△
BFH
≌△
CBI
，可得
FH=BI
。
从而可得
PQ=
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