初中平面几何知识点汇总
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平面几何知识点汇总（一）
知识点一
相交线和平行线
1.
定理与性质
对顶角的性质：对顶角相等。
2.
垂线的性质：
< br>性质
1
：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质
2
：连接直
线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
3.
平行公理：
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条
直线也互相平行。
4.
平行线的性质：
性质
1
：两直线平行，同位角相等。
< br>
性质
2
：两直线平行，内错角
相等。
性质
3
：两直线平行，同旁内角互补。
5.
平行线的判定：
判定
1
：同位角相等，两直线平行。
< br>
判定
2
：内错角相等，两直线
平行。
判定
3
：同旁内角相等，两直线平行。
知识点二
三角形
一、三角形相关概念
1
．三角形的概念
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形
要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．
2
．三角形中的三种重要线段
（
1
）三角形的角平分线：三角形一个
角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交
点之间的线段叫做三角形的角平分线
．
（
2
）三
角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的
中线．
（
3
）三角
形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角
形的高线
，简称三角形的高．
二、三角形三边关系定理
①三角形两
边之和大于第三边，
故同时满足△
ABC
三边长
a
、
b
、
c
的不等式有：
a+b>c
，
b+c>a
，
c+
a>b
．
②三角形两边之差小于第三
边，
故同时满足△
ABC
三边长
a
、
b
、
c
的不等式有：
a>b-c
，
b>a-c
，
c>b-a
．
注意：
判定这三条
线段能否构成一个三角形，
只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第
三条线段即可
三、三角形的稳定性
三角形的三边确定了，
那么它的形状、
大小都
确定了，
三角形的这个性质就叫做三角形
的稳定性．例如起重机
的支架采用三角形结构就是这个道理．
四、三角形的内角
结论
1
：三角形的内角和为
180
°．表示：
在△
ABC
中，∠
A+
∠
B+
∠
C=180
°
<
/p>
结论
2
：在直角三角形中，两个锐角互余
．
注意：
①在三角形中，已知两个内
角可以求出第三个内角
如：在△
AB
C
中，∠
C=180
°－（∠
A+
∠
B
）
②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．
如：△
ABC
中
，已知∠
A
：∠
B
：∠
C=2
：
3
< br>：
4
，求∠
A
< br>、∠
B
、∠
C
< br>的度数．
五、三角形的外角
1
．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的
外角．
2
．性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
.
②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角
.
③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补
六、多边形
①多边形的对角线
n
(
n
3
)
条对角线；②
n
边形的内角和为（
n
－
2
）×
180
°；③多边形的外<
/p>
2
角和为
360
°
知识点三
全等三角形
一、全等三角形
1
< br>、
“全等”的理解
全等的
图形必须满足：
（
1
）
形状相同的图形；
（
2
）
大小相等的图形；
即能够完全重合的两个
图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全
等
三角形。
2
、全等三角形的性质
（
1
）全等三角形对应边相等；
（
2
）全等三角形对应角相等；
3
、全等三角形的判定方法
（
1
）三边对应相等的两个三角形全等。
（
SSS
）
（
2
）两角和它们的夹边对应相等的两个三角
形全等。
(ASA)
（
3
）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)
（
4
）两边和它们的夹角对应相等的两个三角
形全等。
(SAS)
（
5
）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)
4
、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
二、轴对称图形
（一）基本定义
1.
轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形就叫做轴对称图形，
这条直线就叫做对称轴
.
折叠后重合的点是对应点，叫做对称点
.
2.
线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
3.
轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换
.
4.
等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形
.
相等的两条边叫
做腰，另一条边叫做底边，两腰
所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角
.
5.
等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形
.
（二）性质
1.
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
.
或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
.
2.
线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
.
3.
（
1
）点
P
（
x
，
y
）关于
x
轴对称的点
的坐标为
P
′（
x
，
-y
）
.
（
2
）点
P
（
x,y
）关于
y
< br>轴对称的点的坐标为
P
″（
-x
，
y
）
.
4.
等腰三角形的性质
（
1
）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等
角”
）
.
（
2
）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
.
（
3
）等腰三角形是轴对称图
形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是
它的对称轴
.
（
4
）等腰三角形两腰上
的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等
.
（
5
）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
< br>
（
6
）等腰三角形顶角的外角
平分线平行于这个三角形的底边
.
5.
等边三角形的性质
（
1
）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角
都等于
60
°
.
（
2
）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴
.
（
3
）等边三角形
每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合
.
（三）有关判定
1.
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
.
2.
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成
“等角对等边”
）
.
3.
三个角都相等的三角形是等边三角形
.
4.
有一个角是
60
°的等腰三角形是等边三角
形
.
知识点四
勾股定理
1
、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为
a
，
b
，斜边长为
c
，
那么
a
2
＋
b
2
＝
c
2
.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长
a
，
b
，
c
有下面关
< br>系：
a
＋
b
＝
c
，那么这个三角形是直
角三角
形。
2.
勾股数：满足
a
＋
b
＝
c
的三个正整数叫做勾股数（注意：若
a
，
b
，
c
< br>、为勾股数，那么
ka
，
kb<
/p>
，
kc
同样也是勾
股数组。
）
c
2
2
2
2
2
2
b
D
H<
/p>
E
F
b
A
c
G
C
a
c
b
a
c
b
a
B
c
c
b
a
a
A
a
D
b
*
附：常见勾股数：
3,4,5
；
6,8,10
；
9,12,15
；
5,12,13
3.
判断直角三角形：如果三角形的三边长
< br>a
、
b
、
c
满足
a
+b
=c
，
那么这个三角形是直角三角形。
（
经典直角三
角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：
（
1
）有一个角为
90
°的
三角形是直角三角形。
（
2
）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（
1
）确定最大边（不妨设为
c
）
；
（
2
）若
c
＝
a
＋
b
，则△
ABC
是以∠
C
为直角的三角形；
若
a
＋
b
＜
c
，则此三角形为钝角三角形（其中
c
为最大边）
；
若
a
＋
b
＞
c
，则此三角形为锐角三角形（其中
c
为最大边）
4.
注意：
（
1
）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（
2
）在直角三角形中，如果一个
锐角等于
30
°，那么它所对的直角边等于斜边的
一半。
（
3
）
在直角三角形中，
如果一条直角边等于斜边的一半
，
那么这条直角边所对的角等
于
30<
/p>
°。
5.
勾股定理的作用：
（
1
）已知直角三角形的两边求第三边。
（
2
）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（
3
）用于证明线段平方关系的问题。
（
4
）利用勾股定理，作出长为
n
的线段
6.
勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
2
2
c
B
b
E
a<
/p>
C
知识点五
四边形
一、基本定义
1
．四边形的内角和与外角和定理：
（
1
）四边形的内角和等于
360
°；
（
2
）四边形的外角和等于
360
°
.
2
．多边形的内角和与外角和定理：
（
1
）
n
边形的内角和等于
(n-2)180
°；<
/p>
（
2
）任意多
边形的外角和等于
360
°
.
A
D
B
C
A
4
D
< br>3
2
C
3
．平行四边形的性质：
1
B
（
）两组对边分别平
行；
1
（
2
）两组对边分别相等；
因为
ABCD
是平行四
边形
（
3
）两组对角分别相等；
4
）对角线互相平分；
（
（
5<
/p>
）邻角互补
.
D
O
C
A
B
4.
平行四边形的判定：
（
1
）两组对边分别平行
（
2
）两
组对边分别相等
（
3
）两组对角分别相等
AB
CD
是平行四边形
.
（
4
）一组对边平行且相等
（
5
）对
角线互相平分
5.
矩形的性质：
（
）具有平行四边形的所
有通性
;
1
因为
ABCD
是矩形
（
2
）四个角都是直角
;
3
）对角线相等
.
（
6.
矩形的判定：
D
C
D
C
O
A
B
A
B
（<
/p>
1
）平行四边形
一个直角
（
2
）三个角都是直角
四边形
ABCD
是矩形
.
（
3
）对角线相等的平行四
边形
7
．菱形的性质：
因为
ABCD
是菱形
D
< br>（
）具有平行四边形的所
有通性；
1
（
2
）四个
边都相等；
3
）对角线垂直且平分对
角
.
（
A
O
C
8
．菱形的判定：
< br>B
（
1
）平行四边形
一组邻边等
（
2
）四个边都相等
四边形四边形
ABCD
是菱形
.
（
3
）对角线垂直的平行四
边形
9
．正方形的性质：
因为
ABCD
是正方
形
（
）具有平行四边形的所
有通性；
1
（
2
）四个边都相等，四个
角都是直角；
3
）对角线相等垂直且平
分对角
.
（
D
C
D
C
O
（
1
）
10
．正方形的判定：
A
B
A
B
< br>
（
2
）
（
3
）
（
1
）平行
四边形
一组邻边等
一个直角
（
2
）菱形
一个直角
四边形
ABCD
是正方形
.
（
3
）
矩形
一组邻边等
(4)
∵
ABCD
是矩形
又∵
AD=AB
∴四边形
ABCD
是正方形
11
．等腰梯形的性质：
1
（
）
两底平行，两腰相等；
因为
ABCD
是等腰梯形
（
2
）同一底上的底角
相等
；
3
）
对角线相等
.
（
A
O
B
D
C
12
．等腰梯形的判定：
（
1
）梯形
两腰相等
（
2
）梯形
底角相等
四边形
A
BCD
是等腰梯形
（
3
）梯形
对角线相等
D
A
(4)
∵
ABCD
是梯形且
AD
∥<
/p>
BC
∵
AC=BD
O
∴
ABCD
四边形是等腰梯形
C
B
14
．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半
.
15
．梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
.
A
D
E
C
B
D
E
A
C
F
B