平面几何四大神奇定理
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平面几何四个重要定理
四个重要定理
：
梅涅劳斯
(Menelaus)
定理（梅氏线）
△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长线上有点
P
、
Q
、
R
，
BP
CQ
AR
则
P
、
Q
、
R
共线的充要条件是
1
。
PC
QA
RB
塞瓦
(Ceva)
< br>定理（塞瓦点）
A
R
B
Q
C
P
△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
上有点
P
、
Q
、
R
，则
AP
、
BQ
、
CR
共点的充要条件是
托勒密
(Ptolemy)
定理
<
/p>
四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是
该四边形
内接于一圆。
< br>西姆松
(Simson)
定理（西姆松线）
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是
< br>该点落在三角形的外接圆上。
例题：
1
．
设
AD
是△
ABC
的
边
BC
上的中线，直线
CF
交
AD
于
F
。
A
R
B
< br>D
BP
CQ
AR
1
。
PC
QA
RB
Q
P
C
C
A
B
A
F
D
C
E
l
B
P
AE
2
AF
求证：
。
ED
FB
AE<
/p>
DC
BF
【分析】
CEF
截△
ABD
→
1
（梅氏定理）
ED
CB
FA
【评注】也可以添加辅助线证明：过
A
、
B
、
D
之一作
CF
的平
行线。
2
．
过△
ABC
的重心
G
的直线分别交
AB
、
AC
于
E
、
< br>F
，交
CB
第
< br>
1
页
共
9
页
A
F
E
B
D
C
A
于
D
。
BE
CF
1
。
< br>
EA
FA
E
< br>【分析】连结并延长
AG
交
BC
于
M
，则
M<
/p>
为
BC
的中
B<
/p>
D
点。
BE<
/p>
AG
MD
DEG
截△
ABM
→
1
（梅氏定理）
EA
GM
DB
CF
AG
MD
DGF
截△
ACM
→
1
（梅氏定理
）
FA
GM
DC
E
BE
CF
GM
(
DB
DC
)
GM
2
MD
∴
=
=
=1
EA
FA
2
GM
MD
AG
MD
B
D
【评注】梅氏定理
3
．
D
、
E
、
F
分别在△
ABC
的
BC
、
CA
、
AB
边上，
BD
AF
CE
，
AD
、
BE
、
CF
交
成△
LMN
。
DC
FB
EA
求
S
△
LMN
。
M
【分析】
B
D
C
【评注】梅氏定理
G
4
．
以△
ABC
各边为底边向外作相似的等腰△
BCE
、
△
C
AF
、
△
ABG
。求证：
AE
、
BF
、
CG
相交于一点。
【分析】
B
G
B
【评注】塞瓦定理
求证：
第
2
页
共
9
页
G<
/p>
F
C
A
G
F
M
C
A
F
L
N
E
C
A
B
A
F
C
E
A
N
M
F
L
E<
/p>
C
5
．
已知△
ABC
中，∠
B=2
< br>∠
C
。求证：
AC
2
=AB
2
+AB
·
BC
。
D
【分析】过
A
作
BC
的平行线交△
ABC
的外接圆于
D
，连结
BD
。则
CD=DA=AB
，
AC=BD
。
由托勒密定理，
AC
·
BD=AD
·
BC+CD
·
AB
< br>。
【评注】托勒密定理
6
．
已知正七边形
A
1
A
2
A
3
A<
/p>
4
A
5
A
6
A
7
。
求证：
1
1
1
A
A
。
（第
21
届全苏数学竞赛）
1
A
2
A
1
3
A
1
A
4
【分析】
【评注】托勒密定理
7
．
△
ABC
的
BC
边上
的高
AD
的延长线交外接圆于
P
，作
PE
⊥
AB
于
E
，延长
ED<
/p>
交
AC
延长线于
F
。
求证：
BC
·
EF=BF
·
< br>CE+BE
·
CF
。
【分析】
【评注】西姆松定理（西姆松线）
8
．
正六边
形
ABCDEF
的对角线
AC
、
CE
分别被内分点
M
、
N
分成的比为
AM
：
AC=CN
：
CE=k
，且
B
、
M
、
N
共线。
求
k
。
（
23-IMO-5
）
【分析】
【评注】面积法
第
3
页
共
9
页
A<
/p>
C
B
A
3
A
2
A
4
A
1
A
5
A
7
A
6
A
3
A
2
A
4
A
1
A<
/p>
5
A
7
A
6
A
E
D
B
C
F
P
C
B
M
N
D
A
E
F
C
B
M
D
O<
/p>
A
N
E
F
9
．
O
为△
ABC
内一点，分
别以
d
a
、
d
b
、
d
c
表示
O
到
BC
、
CA
、
AB
的距离，以
R
a
、
R
b
、
R
c
表示
O
到
A
、
B
、
C
的距离。
求证：
（
1
）
a·
R
a
≥
b·
d
b
+c·
d
c
;
(2) a·
R
a
≥
c·
d
b
+b·
d
c
;
(3) R
a
+R
b
+R
c
≥
2(d
a
+d
b
+d
c
)
。
【分析】
A
F
O
E
B
D
C
A
F
L
O
E
B
D
C
< br>K
【评注】面积法
10
．△
ABC
中，<
/p>
H
、
G
、
O
分别为垂心、重心、外心。
求证：
H
、
G
、
O
三点共线，且
HG=2
GO
。
（欧拉线）
【分析】
A
A
【评注】同一法
11
．△
A
BC
中，
AB=AC
，
AD
⊥
BC
于
D
，
BM
、
< br>BN
三等分
∠
ABC
，与
AD
相交于
M
、
N
，延长
CM
交
AB
于
E
。
求证：
MB//
NE
。
【分析】
【评注】对称变换
第
4
页
共
9
页
C<
/p>
H
G
O
B
C
G
O
H
D
B
A
E
N
M
B
D
A
C
E
1
4
5
N
M
2<
/p>
3
D
7
6
8
B
C