几何五大模型汇总
建筑工程图纸-
小学平面几何五大模型
一、
共角定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比．
如图在
△
ABC
中，
D
,
E
分别是
AB
,
AC
上的点如图
⑴
(
或
D
< br>在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上
)
，则
S
△
ABC
:
S
△
ADE
(
AB
AC
)
:
(
AD
AE
)
证明：由
三角形面积公式
S=1/2*a*b*sinC
可推导出
若
△
ABC
和
△
ADE
中，
∠
BAC
=
∠
DAE
或
∠
BAC+
∠
DAE=180
°
，
则
S
ABC
AB<
/p>
AC
=
S
ADE
AD<
/p>
AE
二、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如下图
S
1
:
S
2
a
:
b
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
S
△
ACD
S
△
BCD
；
反之，如果
S
△
ACD
S
△
BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD
．
④等底等高的两个平行四边形面积相等
(
长方形和正方形可以看作特殊的平
行四边形<
/p>
)
；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个
平行四边形底相
等，面积比等于它们的高之比．
A
B
S
S
C
D
a
b
1
2
三、蝶形定理
1
、任意四边形中的比例关系
(
“蝶形定理”
)
：
①
S
1<
/p>
:
S
2
S
4
:
S
3
或者
S
1
S
3
< br>S
2
S
4
②
AO
:
OC
S
1
S<
/p>
2
:
S
4
S
3
速记：上×下
=
左×右
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个
途径．通过构造模型，一方面
可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系
；另一方面，也可以得到与面积
对应的对角线的比例关系．
<
/p>
2
、梯形中比例关系
(
< br>“梯形蝶形定理”
)
：
①
S
1<
/p>
:
S
3
a
2
:
b
2
②
S
1
:
S
< br>3
:
S
2
:
S
4
a
2
:
b
2
:
ab
:
ab
；
③
S
的对应份数为
a
b
2
．
D
A
S
2
B
S
1
O
S
3
C
S
4
< br>
A
S
2
a
S
1
O
S
3
S
4
D
< br>B
b
C
四、相似模型
(
一
)
金字塔模型
(
二
)
沙漏模型
A
E
A
F
D
D<
/p>
B
AB
AC
F<
/p>
G
BC
AG
E<
/p>
C
B
G
C
①
AD
AE
DE
AF
；
②
S
△
ADE
：
S
△
ABC
AF
2
:
AG
2
．
相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形
(
只要其形状不改变，不论大小怎
样改变它们都相似
)
，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例
等于它们的相似
比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边
长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与
面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是
因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）
在
ABC
中，
AD
，
BE
，
CF
相交于同一点
O
，那么
S
ABO
:
S
ACO
BD
:
DC
．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，
因为
ABO
和
ACO
的形状很象燕
子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它
的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间
提供互相联系的途径
.
A
E
F
O
B
C
D