平面几何 五大定理及其证明
从你的全世界路过插曲-
平面几何
定理及其证明
一、
梅涅劳斯定理
1
．梅涅劳斯定理及其证明
定理
：一条直线与
A
BC
的三边
AB
、
BC
、
CA
所在直线分别交于点<
/p>
D
、
E
、
F
，且
D
、
E
、
F
均
不是
ABC
的顶点，则有
AD
BE
C
F
1<
/p>
．
DB
EC
FA
证明
：如图，过点
C
作
AB
的平行线，交
EF
于点
G
．
CG
CF
因为
CG //
AB
，所以
————（
1
）
< br>AD
FA
CG
EC
因为
CG //
AB
，所以
————（
2
）
DB
BE
由
（
1
< br>）
÷
（
2
）
可得
A
D
B
E
C
G
F
AD
BE
CF
DB
BE
CF
1
．
，
即得
D
B
EC
FA
AD
EC
FA
2
．梅涅劳斯定理的逆定理
及其证明
定理
：在
< br>
ABC
的边
AB
、
BC
上各有一点
D
、
E
，在边
AC
的延长线上有一点
F
，若
< br>AD
BE
CF
1
，那么，
D
、
E
、
< br>F
三点共线．
DB
EC
FA
证明
：设直线<
/p>
EF
交
AB
于点
D
/
，则据梅涅劳斯定理有
AD
/
BE
CF
1
．
/
< br>D
B
EC
FA
< br>
D
/
D
B
E
A
C
F
AD
BE
CF
AD
AD
/
/
因为
1
，
所以有
/
．由于点
< br>D
、
D
都在线
< br>DB
D
B
DB
< br>EC
FA
段
AB
上，所以点
D
与
D
/
重合．即得
D
、
E
、
F
三点共线．<
/p>
二、
塞瓦定理
3
．塞瓦定理及其证明
定理
：
在
ABC
内一点
P
，
该点与
ABC
的三个顶点相连所在的
三条直线分别交
ABC
三边
AB
、
BC
、
CA
于点
D
、
E
、
F
，
且
D
、
E
、<
/p>
F
三点均不是
ABC
的顶点，则有
A
AD
BE
CF
1
．
DB
EC
FA
证明
：运用面积比可得
根据等比定理有
AD
S
ADP
S
ADC
．
DB
S
BDP
S
BDC
B
D
F
P
C
E
S
ADP
S
ADC
S
ADC
S
ADP
S
APC
，
S
BDP
S
BDC
S
BDC
S
BDP
S
B
PC
所以
AD
S
APC
．同理可得
BE
S
APB
，
CF
S
BPC
．
DB
S
BPC
EC
S
APC
FA
S
APB
三式相乘得
AD
B
E
CF
1
．
DB<
/p>
EC
FA
4
．塞
瓦定理的逆定理及其证明
定理
：在<
/p>
ABC
三边
A
B
、
BC
、
C
A
上各有一点
D
、
E
、
F
，且
D
、
E
、
F
均不是
ABC
的顶点，
AD
BE
CF
1
< br>，那么直线
CD
、
AE
、
BF
三线共点．
<
/p>
若
DB
EC
FA
证明
：
设直线
AE
与直线
BF
交于点
P
，
直线
CP
交
AB
于点
D
/
，
则
据塞瓦定理有
AD
/
BE
CF
1
．
D
/
B
EC
FA
A
D
/
D
B
F
P
C
AD
BE
CF
/
AD
AD
/
因为
<
/p>
1
，所以有
/
．由于点
D
、
D
都在线
DB
D
B
DB
EC
FA
/
段
AB
上，所以点
D
与
D
< br>重合．即得
D
、
E
、
F
三点共线．
三、
西姆松定理
5
．西姆松定理及其证明
E
定理
：从
ABC
外接圆上任意一点
P
向
BC
、
CA
、
AB
或其延长线引垂线，垂足分别为
D
、
E
、
F
，则
D
、
E
、
F
三点共线．
证明
：如图示，连接
P
C
，连接
EF
交
< br>BC
于点
D
/
< br>，连接
PD
/
．
因为
PE
AE
，
PF
AF
，
所以
A
、
F
、
P
、
E
四点共圆，
可得
FAE
=
FEP
．
A
F
C
E
因为
A
、
B
、
P
、
C
四点共圆，所以
BAC
=
BCP
，即
FAE
=
BCP
．
D
所以，
FEP =
< br>
BCP
，即
D
/
EP =
D
/
CP
，可得
C
、
D
/
、
P
、
E
四点
B
共圆．
所以，
CD
/
P +
CEP = 180
0
。而
CEP = 90
0
，所以
CD
/
P =
90
0
，
P
即
PD
/
B
C
．
由于过点
P
作
BC
的垂线，
< br>垂足只有一个，
所以点
D
与
D
/
重合，
即得<
/p>
D
、
E
、
F
三点共线．
四、
托勒密定理
A
6
．托勒密定理及其证明
定理
：凸四边形
ABCD
是某圆的内接四边形，则
有
M
AB
·
CD +
BC
·
AD =
AC
·
BD
．
E
证明
：设点
M
是对角线
AC
与
< br>BD
的交点，在线段
BD
上找一
点，使得
DAE
=
BAM
．
因为
ADB =
ACB
，即
< br>ADE =
ACB
，所以
ADE
∽
ACB
，即得
D
AD
DE
，
即
AD
BC
AC
DE
————（
1
）
AC
BC
由于
DAE =
BAM
，所以
DAM =
<
/p>
BAE
，即
D
AC =
BAE
。而
ABD =
ACD
，即
ABE
=<
/p>
ACD
，所以
ABE
∽
ACD
．即得
B
C