初中数学经典几何题与答案解析
歌曲怀念战友-
经典难题（一）
1
、已知：如图，
O
是半圆的圆心，
C
、
E
是圆上的两
点，
CD
⊥
AB
，
EF
⊥
AB
，
EG
⊥
CO
．
求证：
CD
＝
GF
．
（初二）
G
2
、已知：如图，
P
是正方形
ABCD
内点，∠
PAD<
/p>
＝∠
PDA
＝
1
5
0
．
求证：△
PBC
是正三角形．
（初二）
A
P
D
A
D
O
F
B
C
E
B
C
第
1
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共
21
页
3
、如图，已知四边形
ABCD
、
A
1
B
1
C
1
D
1
都是正方形，
A
2
、
B
2
、
C
2
、
D
2
< br>分别是
AA
1
、
BB
1
、
A
D
D
2
A
2
CC
1
、
DD
1
的中
点．
A
1
D
1
求证：四边形
< br>A
2
B
2
C
2
D
2
是
正方形．
（初二）
B
1
C
1
B
2
4
、已知
：如图，在四边形
ABCD
中，
AD<
/p>
＝
BC
，
M
、
N
分别是
AB<
/p>
、
CD
的中点，
AD
、
BC
F
的延长线交
MN
于
E
、
F
．
求证：∠
DEN
＝∠
F
．
N
A
D
C
E
B
C
2
C
M
B
经
典
难<
/p>
题（二）
1
、已知：△
ABC
中，
H
为垂心（各边高线的交点）
，
O
为外心，且
OM
⊥
BC
于
M
．
< br>
（
1
）求证：
AH
＝
2OM
；
（
< br>2
）若∠
BAC
＝
60
0
，求证：
AH
＝
AO
．
（初二）<
/p>
A
O
·
H
E
B
M
D
C
第
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21
页
2
、设<
/p>
MN
是圆
O
外一
直线，过
O
作
OA
⊥
MN
于
A
，自
A
引圆的两条直线，交圆于
B<
/p>
、
C
G
E <
/p>
及
D
、
E
，直线
EB
及
CD<
/p>
分别交
MN
于
P
、
Q
．
求证：
AP
＝
AQ
．
（初二）
3
、如果上题把直线
MN
由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设
MN
是圆
O
的弦，过
MN
的中点
A
任作两弦
BC
、
< br>DE
，设
CD
、
EB
分别交
MN
E
C
A
于
P
、
Q
．
Q
M
·
N
P
求证：
AP
＝
AQ
．
（初二）
·
O
B
D
C
B
M
O
·
D
N
P
A
Q
第
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页
4
、
如图，
分别以△
ABC
的
AC
和
BC
为一边，
在△
ABC
的外侧作正方
形
ACDE
和正方形
CBFG
，
D
点
P
是
EF
的中点．
求证：点
P
到边
AB
的距离等于
AB
的一半．
（初二）
E
A
C
P
Q
B
G
F
经
典
难
题（三）
1
、如图，四边形
ABCD
为正方形，
DE
∥
AC<
/p>
，
AE
＝
AC<
/p>
，
AE
与
CD<
/p>
相交于
F
．
<
/p>
求证：
CE
＝
C
F
．
（初二）
2
、如图，四边形
ABCD
为正方形，
DE
∥
AC
，且
CE
＝
CA
，直线
EC
交
DA
延长线于
F
．
B
C
A
F
D
E
第
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页
求
证：
AE
＝
AF
．
（初二）
F
A
D
B
C
E
3
、设
P
是正方形
ABCD
一边
BC
上的任一点，<
/p>
PF
⊥
AP
，<
/p>
CF
平分∠
DCE
．
求证：
PA
＝
PF
．
（初二）
4
、如图，
PC
切圆
O
于
C
，
AC
为圆的直径，
PEF
为圆的割线，
AE
、
AF
与直线
PO
相交
A
于
B
、
D
．求
证：
AB
＝
DC
，
BC
＝
AD
．
（初三）
B
E
C
O
D
F
B
P
C
E
A
D
F
P
经
典
难<
/p>
题（四）
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页
1
、已知：△
ABC
是正三角形，
P
是三角形内一点，
PA
＝
3
，
PB
＝
4
，
PC
＝
5
．
求：
∠
APB
的度数．
（初二）
P
2
、设
P<
/p>
是平行四边形
ABCD
内部的一点，且∠
PBA
＝∠
PDA
．
求证：∠
PAB
＝∠
PCB
．
（初二）
B
3
、设
AB
CD
为圆内接凸四边形，求证：
AB
·
CD
＋
AD
·
BC
＝
AC
·
BD
．
（初三）
A
D
B
4
、平行四边形
ABCD
中，设
E
、
F
分别是
BC
、
AB
上的一点，
AE
与<
/p>
CF
相交于
P
，
且
AE
＝
C
F
．求证：∠
DPA
＝∠
DPC
．
（初二）
C
C
A
P
D
B
C
A
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页
F
A
D
经
典
难
题（五）
B
P
E
C
1
、设
P
是边长为
1
的正△
ABC
内任一点，
L
＝
PA
＋
PB
＋
PC
，求证：
≤
L
＜
2
．
A
P
B
2
、已知
：
P
是边长为
1
的正方形
ABCD
内的一点，求
PA
＋
PB
＋
PC
的最小值．
C
A
D
P
B
C
3
、
P
为正方形<
/p>
ABCD
内的一点，并且
PA
＝
a
，
PB
＝
2a
，
PC
＝
3a
，求正方形的边长．
A
P
D
B
0
4
、如图，△
ABC
中，∠
ABC
＝∠
ACB
＝
80
0
，
D
、
E
分别是
AB
、
AC
上的点，∠
DCA
＝
A
30
，∠
C
EBA
＝
20
0
，求∠
BED
的度数．
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21
页
D
E
B
C
经
典
难
题（一）答案
1.
如下图做
GH
⊥
AB,
连接
EO
。由于
GOFE
四点共圆，所以∠
GFH
＝∠
OEG,
即△
GHF
∽△
OGE,
可得
EO
GO
CO
=
=
,
又
CO=EO
，所以
CD=GF
得证。<
/p>
GF
GH
CD
2.
如下图做△
< br>DGC
使与△
ADP
全等，可得
△
PDG
为等边△，从而可得
△
DGC
≌△
APD
≌△
CGP,
得出
PC=AD=DC,
和∠
DCG=
∠
PCG
＝
15
0
所以∠
DCP=30
0
，从而得出△
PBC
是正三角形
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页
3.
如下图
连接
BC
1
和
AB
1
分别找其中点
F,E.
连接
C
2
F
与
A
2
E
并延长相交于
Q
点，
连接
EB
2
并延长交
C
2
Q
于
H
点，连接
FB
2
并
延长交
A
2
Q
于
G
点，
1
1
1
0
由
A
2
E=
1
2
A
1
B
1
=
2
B
1
C
1
=
FB
2
，
EB
2
=
2
AB=
2
BC=F
C
1
< br>，又
∠
GFQ+
∠
Q=90
和
∠
GE
B
2
+
∠
Q=90
0
,
所以∠
GE
B
2
=
∠
GFQ
又∠
B
2
FC
2
=
∠
A
2
EB
2
，
可得△
B
2
FC
2
≌△
A
2
EB
2<
/p>
，所以
A
2<
/p>
B
2
=B
2
C
2
，
又∠<
/p>
GFQ+
∠
HB
2
F=90
0
和∠
GFQ=
∠
EB
2
A
2
,
从而可得∠
A
2
B
2
C
2
=90
0
，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得
出四边形
A
2
B
2
C
2
D
2
是正方形。
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页
4.
如下图
连接
AC
并取其中点
Q
，连接
QN
和
QM
，所以可得<
/p>
∠
QMF=
∠
F
，∠
QNM=
∠
DEN
和∠
QMN=
∠
QNM
，从而得出∠
DEN
＝∠
F
。
经
典
难
题（二）
1.(1)
延长
AD
到
F
连
BF
，做
OG
< br>⊥
AF,
又∠
F=
∠
ACB=
∠
BHD
，
可得
BH=B
F,
从而可得
HD=DF
，
又
AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG
=2(GH+HD)=2OM
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