数学几何题20道
支行行长-
1
、如图
,
在四边形<
/p>
ABCE
中
,
已
知
AB
⊥
BC,AE
< br>⊥
CE,
且
AE
²
+CE
²
=2BC
²
（
1
）、
判断线段
AB
与
BC
的数量关系，并加以证明。
（
2
）、过
B
点作
BD
⊥
CE
于
D
，若
AE=2
，
CD=3
，
BD
为多少？
（
1
）
、
AB
=BC
证明：因为∠
ABC=
∠
E=90°
所以：
AC²
=AE²
+EC²
=BC²<
/p>
+AB²
而：
AE²
+EC²
=2BC²
所以：
2BC²
=BC²
+AB²
所以：
BC=AB
（
2
）
、过
A
点作
AM
⊥
BD
，垂足为
M
，<
/p>
由于：∠
E=
∠
ABC=90°
所以：
ABCE
四点共元
所以
：∠
C+
∠
A=180°
而：由
AE
∥
BD
知∠
A+
∠
ABD=180°
所以：∠
< br>C=
∠
ABM
而：
AB=BC(
上题已证）
所以：直角
△
AMB
≌
直角
△
BDC
所以：
BM=CD=3
而：
DM
=AE=2
所以：
BD=5
< br>2
、如图，已知⊙
O
的弦
AB
垂直于直径
CD
，垂足为
F
，点
E
在
AB
上，且
EA =
EC
。
⑴
求证：
AC^2=
AE·
AB
；
⑵
延长
EC
到点
P
，连结
PB
，若
PB = PE
，试判断
PB
与⊙
O
的位置关系，并说明理由。
<
/p>
⑶
在⑵
的条件下
,
若⊙
O
的半径为
5,CF=2,
求
PB
的长
.
（
1
）
、连接
BC
，则：∠
EAC=
∠
ECA=
< br>∠
BAC=
∠
CBA
所以：
△
ABC
∽
△
ACE
所以：
AB/AC=AC/AE
所以：
AC²
=AB*AE
（
2
）
、连接
BC
，
BO
则：∠
ABC=
∠
BAC
而∠
PEB=
∠
EAC+
∠
ECA=2
∠
EAC
所以：∠
PBE=
∠
< br>PBC+
∠
CBA=
∠
PEB=2
∠
EAC
即：∠
PBC+
∠
CBA=2
∠
EAC
而：∠
CB
A=
∠
EAC
所以；∠
PBC=
∠
EAC
即：∠
PBC=
∠
BAC
< br>而：
OB
是圆的半径，
所以：
PB
是圆的切线。即
< br>PB
与圆
O
相切
（
3
）
、因为：
OC=5
，
CF=2
所以：
OF=3
由勾股定理求得：
BF=4
延长
DC
，
BP
交于
M
点。则
△<
/p>
BMO
是直角三角形
所以：
BF²
=MF*FO
即：
MF=16/3
所以：
MC=(16/3)=2=10/3
< br>由元的切线定理求得：∠
MBC=
∠
CAB=
∠
CBA
即：
CB
平分∠
CBF
所以：
BM/BF=MC/CF
所以：求得
BM=[(10/3)*4]/2=20/3
由∠
MBF=
∠
C
EF
知：∠
M=
∠
FCE=
∠
PCM
所以：
△
PMC
是等腰三角形，有
< br>PM=PC
连接
PA
，则
△
OAB
也是等腰三角形，
而：∠
BOC=2
∠
CAB
，
所以：∠
BOC=
∠
CEB
，即∠
BOF=
∠
CEF
所以：∠
FCE=
∠
OBF
即：∠
M=
∠
OBA
所以：
△
PMC
∽
△
OBA
所以：
BO/PM=AB/MC
即：
5/PM=8/(10/3)
求得
PM=25/12
所以：
PB=(20/3)-(25/12)=55/12 <
/p>
3
、在矩形
ABCD
中和矩形
BFDE
中，若
AB=B
F
，求证
MN
⊥
CF
证明：
< br>因为：四边形
ABCD
和四边形
BFDE
都是矩形
所以：
AD
∥
BC
，
BE
∥
FD
，即
MD
∥
BN
，
BM
∥
ND
所以：四
边形
BNDM
是平行四边形
所以：
BD
，
MN
互相平分
因为：∠
BAD=
∠
BFD=
∠
E=
∠
BCD=90°
<
/p>
所以：
ABFD
四点共元，
ABED
四点共元，
FBDC
四点共元
而：三点确定只能确定一个元
所以：
点
ABFCDE
共元
而：∠
A=90°
，
所以：
BD
是元的直径
由
MN
经过
BD
的中点得：直线
MN
经过元的圆
心
由于：
BF=AB=CD
所以：
BD
∥
FC<
/p>
（两条直线所夹的弧相等，则这两条直线平行）
所以：四边形
BFCD
是等腰梯形
所以：
BN=DN
所以：
MN
⊥
BD
而：
BD
∥
CF
所以：
MN
⊥
CF
< br>4
、
如图
,
在
△
ABC
中
,
∠
C=90°
,AC=BC,A
D
平分∠
CAB,
交
< br>BC
于点
D,DE
⊥
AB
于点
E
，若
△
B
DE
的周长是
4cm
，求
AB
的
长
解：
因为：
△
BDE
是等腰直角三角形
所以：
BD=(√2)BE
根据已知条件知：
2BE+(√2)BE=4
求得
BE=DE=
4-
2√2
所以：
< br>CD=DE=4-
2√2
BD=4(√2)
-4
所以：
BC=4-
2(√2)+4(√2)
-
4=2√2
所以：
AB=(√2)BC=4
5
、如图
,
在矩形
ABCD
中
,AB=10,BC=5,
将矩形
ABCD
沿
AC
折叠
,
点
D
落在
D'
处，求重叠部分的面积
解：由题意知
AD'=BC
，∠
D'=
∠
B=90°
,
∠
AE
D'=
∠
CEB
所以：
RT
△
AD'E
≌
RT
△
CBE
所以：
AE=CE
，
BE=D'E
设：
AE=CE=m,D'E=BE=n
，则：
m+n=10
m²
=n²
+25
< br>解这个方程组得：
n=3.75
，
m=6.25
所以：
△
BCE
的面积为
(1/2)*3.75*5=9.375
而：
△
ABC
的面积为
(1/2)*5*10=25
所以：
△
AEC
的面积为
25-9.375=15.
625
6
、如图所示，已知
AB//
CD,
求∠
A+
∠
E+
∠
F+
∠
C
的度数
连接
< br>AC
，则：四边形
AEFC
的内
角和为
360°
。
< br>而：
AB
∥
CD
所以：∠
BAC+
∠
ACD
=180°
所以：∠
A+
∠
E+
∠
F+
∠
C=360°
+180°
=540°
7
< br>、如图，量角器的直径与直角三角板
ABC
的斜边
AB
重合，其中量角器
0
刻度
线的端点
N
与点
A
重合
，
射线
cp
从
CA
处出发沿顺时针
方向以每秒
2
度的速度旋转，
cp
与量角器的半圆弧交于点
E
，第
35
秒时，点
E
在量角器
上对应的度数是多少度？
解：
35
秒时，∠
ACE=70°
因为：∠
ACB=90°
所以：点
C
在元
O
上，
连接
EO
，则：
∠
AOE
是
圆弧
AE
所对的圆心角，∠
ACE
是
圆
弧
AE
所对的圆周角
所以：∠
AOE=140°
（因为∠
< br>ACE
是户
AE
所夹的
圆周角
）
8
、如图
,
长方体的三个面的对角线分别是
a,b,c,
求长方体对角线
AC’
的长
解：设长方体的长为
< br>m
，款为
n
，高为
h
。则
a²
=n²
+h²
-----------------
---------------------
①
b²
=m²
+h²
---
-----------------------------------
②
c²
=m²
+n²
---------------------------------------
-
③
由
C'
D'
⊥
A'D'
，
C'D'
⊥
D'D
知：
C'D'
⊥
面
A'ADD
'
所以：
C'D'
⊥
D'A
所以：∠
C'D'A=90°
所以：
AC'
²
=m²
+a²
由①
②
③
得：
m²
=b²
-[(a²
+b²
-c²
)/2]
所以：
AC' ²
=a²
+b²
-[(a²
+b²
-
c²
)/2]
即：
AC‘=√[(a
²+b²+c²)/2]
9
、
已知直线
l
经过正
方形
ABCD
的顶点
A,
过点
B,D
分别作直线
l<
/p>
于
E
，
DF
⊥
l
于
F
（
1
）如图
1
，求证：
BE+DF=EF
；
< br>（
2
）连接
BD
、
BF
，如图
2,
若四边形
EBDF
的面积
为
49/2
，
AB=5
，求
BF
的长
.
(1)
、证明：
如图，
O
是
BD
< br>的中点，连接
FO
，
EO
，过
O
作
OG
⊥
EF
。则：
OG
是梯形
EBDF
的中位线。
所以：
2OG=BE+DF