数学史教案(朱家生)
你的眼神吉他谱-
教
案
课
程
名
称
：
数学史
课
程
代
码
：
授课专业班级
：
10
数
本
（
1
）
（<
/p>
2
）
（
3
）
（
4
）
授
课
教
师
：
系
别
：
2012
年
9
月
1
日
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绪论
一、教学时间安排：
3
学时
二、教学目的、要求：
1.
了解数学史研究对象；
2.
理解学习数学史的意义。
三、教学的重点和难点：
数学史研究对象和学习数学史的意义的介绍
四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助
五、教学过程设计：导入、新课、小结
六、教学内容：
数学是人类文明的一
个重要组成部分。与其他文化一样，数学科学也是几千年
来人类智慧的结晶。
（数学是人类文明的一个重要组成部分？）
（
1<
/p>
）
从远古时期的结
绳记事、屈指记数到借
助于现代电子计算机进行计算、证明与科学管理，从利用勾
股测量等具体的操作到抽象的
公理化体系的产生，
……
所有这些，都构成了科学史
上最富有理性魅力的题材。
（
1
< br>）
随着时代的进步，数学科学的思想、方法与内容已经
渗透到人类生活的各个领
域，
科学技术包括社会科学的数学化已
成为一种共识。
（数学科学的思想、
方法与内
< br>容已经渗透到人类生活的各个领域？科学技术包括社会科学的数学化已成为一种共
识？）
人类的现实生活需要数学、
国家的发展、
科学技术的进步更离不开数学。
（
20
世纪中叶，美、苏两国在检讨本国科技落后时，寻找到的最终根源都是
“
数学问题
”
没处理好）因此，具备一些必需的
数学知识和一定的数学思想方法，是现代人才基
本素质的非常重要的组成部分。
（
为什么说具备必需的数学知识和一定的数学思想方
法，是现代人才基本素质的非常重要的组成部分？）
（
1<
/p>
）
与其他学科相比，数学是一门积累性
很强的学科，他的许多重大理论都是在继
承和发展原有理论的基础上发展起来的。
（
天文学
——
地心学
说；
物理学
——
燃素说，
等等都被推翻了。
）
如果我们不去追溯古今数学思想
方法的演变与发展，
也就不可能
真正理解数学的真谛，
正确把握数学科学发展的方向。
（许多有成就的数学家都关注
数学发展史。如我国的华罗庚、苏步青、吴文俊、张奠宙、法国的庞加莱等大数学
< br>家都非常关注数学史的发展）
。法国著名数学家庞加莱说过：
“
如果我们要预知数学
的未来，
最
适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状。
”
（
“
如果我们要预知
数
学的未来，最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状。
”
谁的名言？）
数学史主要研究数学科
学发生发展及其规律，简单地说就是研究数学的历史。
（数学史主要研究什么？）它不仅
追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，
而且还探索影响这种过程的各种因素，以
及历史上数学科学的发展对人类文明所带
来的影响。
（
1
）
数学史的研究对
象不仅包括具体的数学内容，
而且涉及历史学、
哲学、
文化学、
宗教等社会科学与人文科学内容，
是一
门交叉性学科。
（
如果人类文明史去掉数学史，
那么人类文明史将会变成
……
？）
（
1
）
研究与学习数学史，可以弄清数学发展过程中的基本史实，再现其本来面貌，
word<
/p>
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< br>同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、
说明与评价，
进而探究数学科学发展的规律与文化本质，
帮助我
们掌握数学的思想、
方法、理论和概念，认识数学科学与人类社会的互动关系以及研究数
学思想的传播
与交流史，了解数学家的生平等。
（为什么要学数
学史？）
（
1
）
具体而言，学习数学史至少具有以下一些重要意义：首先，每一门科学都有其
发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性又有其现实性。其现实性首先表现
在科学概念与方法的延续性。
（
今日的科学研究在某
种程度上是对历史上科学传统的
深化和发展，或者是对历史上科学难题的解决，因此，我
们无法割裂科学现实与科
学史之间的联系。
）
< br>数学科学具有悠久的历史，
与自然科学相比，
数学更是积
累性科
学，其概念和方法更具有延续性。
（
2
）
科学史的现实性还表现在为
我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴，预
见科学未来，使我们在明确科学研究的
方向上少走弯路或错路，为当今科技发展决
策的制定提供依据。
（
2
）
我国
著名数学史家李文林先生曾经说过：
“
不了解数学史就不可能全
面了解数学
科学。
”
（
2
）
美国数学史家
M.
克莱因曾经说过：
“
一个时代的总的特征在很大程度上与这个
时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这
个时代尤为明显。
”“
数学不仅是一种
方法、一门艺术或一种语言，数学更重要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内
容对自
然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着
政治家和神学
家的学说
”
。
（
2
）
例如，古希腊（公元前
600
年
——
公元前
300
年）的数学家们强调严密的推理
和由此得出的结论，
他们不关心这些成果的实用性，
而是要人们
去进行抽象的推理，
从而激发对理想与美的追求。通过对希腊数学史的考察，就容易理解
为什么古希腊
会具有很难为后世超越的优美文学、
极端理性化的
哲学以及理想化的建筑与雕塑了。
再者，当我们学习过数学史
后，自然会有这样的感觉：数学的发展并不合乎逻
辑。或者说，数学发展的实际情况与我
们今日所学的数学教科书很不一致。
（
3
）
通过对数学史的学习和研究，既可以使数学类专业的学生
在接受数学专业训练
的同时，获得人文科学方面的修养；也可使文科或其他专业的学生了
解数学概貌，
获得数理方面的修养。此外，历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人
格培养
上发挥十分重要的作用。
（
3<
/p>
）
思考题：
1
、简述数学史研究的对象是什么？
2
、简述数学史与数学教育的关系。
3
、简述文科与理科学生学习数学史的必要性。
word
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第一章
源自河
谷的古老文明
——
数学的萌芽
一、教学时间安排：
3
学时
二、教学目的、要求：
1
、了解数学的起源与世界古老文明产生的关系；
2
、
探讨古埃及和古巴比伦人古老的数学知识在我们的生活中哪
些还具有现实意
义。
三、教学的重点和难点：
数学的起源
与世界古老文明产生的关系及古埃及和古巴比伦人古老的数学的介
绍。
< br>
四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助
五、教学过程设计：导入、新授课、小结
六、教学内容。
数学，作为人类文明的重要组成部分，有着非常悠久的历史。
据文字记载，至少在
5000
年以前，
人类就已有了数学活动。
数学是人类文明的一部分，最早出现
于尼罗河中下游的古埃及、幼发拉底河与
底格里斯河两河流域的古巴比伦、黄河流域的中
国和恒河流域的印度。但就国外数
学发展的源头而言，客观地讲，一般还应首推古埃及与
古巴比伦。
（
4
）
1.1
古埃及的数学
我们知道，非洲的尼罗河是世界上最长的河流之一。早在公元前
300
0
年左右，
在这条河的中下游，古埃及人建立起了早期的奴隶制
国家，其地理位置与现在的埃
及区别不大。打猎、渔业及畜牧业是古埃及人最初的谋生方
式。一年一度的尼罗河
的洪水给这片谷地带来的肥沃的淤泥，那些以游牧为生的古埃及人
便在这里定居下
来，由狩猎转向耕种。在发展农业的同时，手工业与贸易也随之迅速发展
起来，这
些都推动了自然科学各学科知识的积累。
（
4
）
提到古埃及，大家
就会自然想到作为世界七大奇迹之一的金字塔。位于开罗附
近的吉萨省的胡夫金字塔
——
法老胡夫的陵墓
——
< br>是埃及最大的金字塔，大约建于
公元前
2500
年左右。该金字塔呈正四棱锥形，底面正方形面向东西南北四个方向，
边
长
230.5m
，塔高
146.6m<
/p>
（现高约
137m
）
。近年来，科学家们通过
古埃及人在建造神奇的金字塔、
狮身人面像以及神庙的同时，也建立了相当发
达的数学。
从公元前
3000
年起，
< br>古埃及人就已经有了象形文字。
（流传至今的古埃及文献，
大部分是以僧侣文（又称祭司文）书写在纸草上保存下来的，人们通常称其为纸草
书）
。
（
6
）
保存至今有关数学的纸草书主要有两种：一种是陈列于英国伦敦大
不列颠博物
馆东方展室中的兰德纸草书，
这是由英国人兰德
1858
年搜集到的；
另一种收藏于俄
国莫斯科美术博物馆，被称为莫斯科纸草书，这是由俄罗斯人郭列尼舍夫于
< br>1893
年搜集到的。
这两份纸草书都是公元前
2000
年前后的作品，
为古埃及人记录一些数
学问题的问题集。人们对古埃及人数学的了解主要来自这些纸草书以及其他保留至
今的历史文献。
（
6
）
1.1.1
古埃及的记数制与算术
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< br>古埃及人使用的是十进制记数制，并且有数字的专门符号。当在一个数中出现
某个
数码的若干倍时，就将它的符号重复写若干次，即遵守加法的法则，这说明，
古埃及人的
记数系统是叠加制而不是位值制。古埃及人已有了分数的概念，但他们
仅使用单位分数也
就是分子为
1
的分数，表示整体的若干等份中的一份，只有
2/3
是一个例外。
（
6
）
古埃及人的乘法运算与除法
运算是通过叠加来进行的。
（
7
）
1.1.2
古埃及的代数
古埃及纸草书中出现的
“
计算若干
”
的问题，实际上相当于方程问题，他们解决
这类问题的方法是试位法。古埃及人还用它来
解二次甚至更高次的方程。
（
7
）
在古埃及纸草书中还有有关数列问题的记载。
（
8
）
等比数列也已在古埃及纸草书中出现。
1.1.3
古埃及的几何学
古埃及的几何学是尼罗河的赠礼。
尼
罗河水泛滥后冲刷去了许多边界标记，
洪水退后也需要重新勘测土地的界线，
这一切，为他们认识基本几何形状和形成几何概念提供了实际背景。
在两种纸草书的
110
个问题中，
有
26
个是几何问题，
其中大部分是计算土地的
面积与谷物的体积，还有许多与金字塔有关。
< br>（
8
）
古埃及人认为圆的面积等于直径的
8/9
的平方。由此可知，
古埃及人把圆周率
近似地取为
3.16
。
（
8
）
<
/p>
著名数学史家贝尔形象地将古埃及的正四棱台的体积公式称为
“<
/p>
最伟大的埃及
金字塔
”
< br>。
（
9
）
（古埃及人是通过具体问题说明了高为
h
、底边长为
a
和
b
的正四棱
台的体积公式是：略
1.2
古巴比伦的数学
古巴比伦，
又称美索波达米亚
（错误）
，
位于亚洲西部的幼发拉底河与底格里斯
河两河流域
，
大体上相当于今天的伊拉克。
大约是在公元前
3000
年左右，
古巴比伦
人
在这里建立了自己的奴隶制国家。
（
9
）
在过去相当长的一段时间内，人们对于古巴比伦数学的认识
是通过古希腊文化
中的零星资料得到的。
（
9
）
19
世纪后期，考古学家开始发掘美索波达米亚遗址，在发掘的过程中，人们发
现了数以万
计的不同时期的泥板，他们用胶泥制成的，一块完整的泥板与手掌的大
小差不多，上面写
有符号，这种符号是用断面呈三角形的尖棍刻写的，呈楔形，故
人们称之为楔形文字。<
/p>
（
10
）
（人们
为什么把古巴比伦的文字称为楔形文字？）
1.2.1
古巴比伦的记数制与算术
古巴比伦人很早就有了数的写法，其记数系统是
60
进制。
（
10
）
古巴比伦人也使用分数，
他们总是用
60
作分母，
因此古巴比伦人的分数系统是
不成熟的。
（
10
）
与古埃及人相仿，古巴比伦人的算术运算也是借助于各种各
样的表来进行的，
在已发现的泥版书中，大约有
200
块是乘法表、倒数表、平方表、立方表，甚至还
有指数表。
倒数表用于把除法转化为乘法进行，
指数表和插值
法一起用来解决复利问题的。
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1.2.2
古巴比伦的代数
在公元前
2000
年前后，古巴比伦数学已出现
了用文字叙述的代数问题。
（
11
）<
/p>
古巴比伦人可能已经知道某些类型的一元二次方程的求根公式，
由于他们没有
负根的概念，二次方程的负根不予考虑。
他们还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法。
（
< br>11
）
最令人感兴趣的是哥伦
比亚大学普林顿收集馆中收藏的第
322
号泥板，这是一
张勾股数数表（即
x+y=z
的整数解）表，
并且极有可能用到了下列参数式：
x=2uv,y=u-v,z=u+v
而这正是在一千多年以后古希腊数学中一个极为重要的成就。
（
1
1.2.3
古巴比伦的几何
在古巴比伦人的心目中，几何是不重要的，因为实际中的几何问题都很容易转
化为代数问题，他们的面积和体积计算是按照一些固定的法则和公式给出的。
（
12
）
古巴比伦
人还有把相当复杂的图形拆成一些简单图形的组合的本领。
（
1
2
）
古巴比伦人错误地认为，圆台或
棱台的体积是两底之和的一半与高的乘积。这
一事实表明，古巴比伦的计算方法还是经验
型的，这些结果都没有经过证明。
（
12
）
1.2.4
古巴比伦的天文学
在公元前
5000
年到公元前
4000
年间，古巴比伦人就已开始使用年、月、日的
天文历法，他们的年历是从春分开始的，一年有
12
月，每月有
30
天。
（
1
2
）
所谓
“
星期
”
也就是指星的日期，我们现在的
“
星期制
”
就
是在古巴比伦时代所创
立的。
（
12<
/p>
）
从古巴比伦和古埃及的数学，可以看
出，它们的内容都与那个地区的社会和生
活的需要密切相关。
（
13
）
古巴
比伦人对天文学的研究比较感兴趣，
因此，
相对而言，
他们的以
60
进位记
数
法为基础的算术与代数较为领先。
（
13
）
古埃及人偏重于测量与建筑施工，因而他们的几何成果比
较突出。
以上情况表明，数学从她的萌芽之日起，就是以实际
需要为基础的，离开了实
际需要，数学研究就缺少了直接动力，数学也就不能迅速发展了
。
（
13
）
需要指出的是，在古巴比伦或古埃及的数学知识还仅仅表现为对于一些实际问
题观察的结果以及某些经验的积累，数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还
< br>未被他们察觉，更谈不上掌握了。
在古埃及和古巴比伦
时代，数学还只是作为一种用来处理日常生活中遇到的计
算与度量问题的工具或者方法，
其所给出的仅仅是
“
如何去做
”
，而基本没有涉及到
“
为什么这样做
”
，
这标志着他们的数学还远没有进入理性思维
的阶段。
（
13
）
从这个
意义上来说，数学作为一门科学还远远没有建立起来。
（
13
）
思考题：
1
、进一步收集阅读相关资料，进行整理研究，初步探讨数学的起源与世界古老
文明产生的关系。
2
、
进行调查研究，
探讨古埃及和巴比伦人哪些古老的数
学知识在我们的生活
（包括
学习、工作等）中还具有现实意义。
word
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< br>3
、
在古埃及和古巴比伦人的数学中，
< br>大量地使用了归纳的思想。
试通过对他们文献
资料的研究
，阐述他们是如何利用这种思想发现和得到数学结论的，并进一步探
讨这种古老的思想方
法对于我们今天的数学研究的现实意义。
4
< br>、
试比较古埃及人和巴比伦人解方程的饭饭，
探讨他们各
自对后来的数学发展的启
迪作用。
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第二章
地中海的灿烂阳光
——
希腊的数学
一、教学时间安排：
3
学时
二、教学目的、要求：
1
、了解古典时期的希腊学派对数学科学的发展的重要贡献；
2
、了解第一次数学危机的起因及毕氏学派对危机所采取的态度；
3
、了解亚历山大时期的希腊数学；
4
、了解欧几里得《几何原本》对数学及整个科学的发展的重大
意义。
三、教学的重点和难点：
<
/p>
第一次数学危机的起因与毕氏学派对危机所采取的态度及欧几里得《几何
< br>原本》对数学及整个科学的发展的重大意义的介绍。
四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助
五、教学过程设计：导入、新授课、小结
六、教学内容：
从公元前
2000
年左右到公元前
30
年，
古希腊人
（又称海伦人）
以巴
尔干半岛、
爱琴海诸岛和小亚细亚沿岸为中心，在包括北非、西亚和意大利半岛南部及西
西里
岛的整个地中海地区建立起了一系列奴隶制国家。
（希腊数
学是希腊人创造的吗？）
特别是在公元前
5
、
6
世纪西波战争以后，
雅典取得
了希腊社会的霸主地位，
经济生
活高度繁荣，生产力显著提高，
在这个基础上产生了在整个世界文明史中都占有十
分重要地位的希腊文化，数学也是其中
非常重要的一个组成部分。
（
14
）<
/p>
希腊一些城市加强与海外各地的商业联系，为希腊接触并吸收优
秀的东方文化
提供了方便。
（
15
）
从公元前
6<
/p>
世纪起，由于经济和政治的进步，希腊出现了欧洲文化的第一个高
峰，希腊数学就是其中的重要成就之一。
（
15
）
数学史上把公元前
6
世纪至公元前
3
世纪的希腊数学称为古典时
期的希腊数学
或前期希腊数学，而把公元前
3
< br>世纪至公元
6
世纪称为后期希腊数学，希腊众多的
数学学派的工作把数学研究推进到一个崭新的阶段。
（
15
）
2.1
希腊数学学派与演绎数学的产生
在公元前
6
世纪
~
公元前
3
世纪期间，先后出现了许
多数学学派，
（什么时候出
现许多数学学派？）他们的工作使得
希腊数学得以长足的发展，其中最有影响的有
爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、巧辩学派
和柏拉图学派。
（
15
）
2.1.1
爱奥尼亚学派和演绎证明
以演绎证明为基本特征的数学，最早诞生于古希腊爱奥尼亚地区的海滨城市米
利都。
（
15
）
（什么城市？什么数学成就？）
享有
“
希腊科学之父
”
盛誉
的泰勒斯
（公元前
636
——
公元前
546
）
在这里
创立了
古希腊历史上的第一个数学学派
——
爱奥尼亚学派。
（
15
）
（谁创立？数学什么学
派？）
泰勒斯是一个精明的商人，青壮年时代，他依靠自己的聪明才智，在商场上积
累
了足够的财富，
使他的后半生能够从事游历和研究。
（
15
）
（可见足够的经济基础，
才能让天才更好地发挥其才能。
）
< br>关于泰勒斯的生平和学术工作虽然没有确切可靠的材料，但他的成就还是被后
wo
rd
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< br>人肯定。
（
15
）
（是金子总会发光，
）
泰
勒斯对数学科学发展的贡献不仅在于他发现一些定理，更重要的是泰勒斯对
它们提供了某
种逻辑推理。
（
16
）
从泰勒斯开始，人们已不仅仅利用直观和实验来寻求数学结论了。
泰勒斯已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础，
这使
得他获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉。
（<
/p>
16
）
泰勒斯
曾用全等三角形的知识计算出海船到海岸的距离，因此他被西方学者称
为
“
测量学的鼻祖
”
。
（
16
）
（因什么获得
测量鼻祖的美誉？）
客观地讲，就数学科学而言，以泰勒斯为
首的爱奥尼亚学派并不出色，但他们
在哲学特别是自然哲学方面的工作也是无与伦比的，
他们肯定在一切表面现象的千
变万化之中，有一种始终不变的东西，这一原始物质的内蕴
本质是守恒的，而所有
的物质形式都可用它来解释，这种理解思维的观念，正是希腊科学
精神的精髓之所
在。
（
16
）
（）
2.1.2
毕达哥拉斯学派与
“
万物皆数
”
毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家、天文学家
和音乐理论家，出身于爱琴海
中的萨摩斯海（今希腊东部小岛）
，青年时期，他曾经离开家乡，到世界各地游学，
游历过埃及和巴比伦，
可能还曾向泰勒斯或他的门徒学习过几何、
哲学，
40
岁左右，
他定居意大利半岛南部的克罗多内，并在这里组织了一
个集政治、宗教和学术研究
于一体的秘密会社，
这就是著名的毕
达哥拉斯学派。
（
16
）
在学术方面，
这个学派主
要致力于哲学和数学的研究
。相传希腊文中
“
哲学
”
和
“
数学
”
这两个词就是由毕达哥
拉斯学派创造的。
（
16
）
尽管人们将许多
几何学的成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派的基本信条
却是
“
万物皆数
”
。
（
16
）
在毕达哥拉斯学派看来，万物的本质就是数，这个学派一个重要成员就曾经说
过：
“
人们所知道的一切事物都包含数，
因此，
没有数既不可能来表达也不可能来理
解任何事物。
”
他们认为：数是由单子或
1
生成的，因此将
1
命名为
“
原因数
”
，
（数
是由什么生成的？
“1”
被命名为什么数？）
（
16
）
<
/p>
每一个数都被赋予了特定的属性，
而一切数中最神圣的是
10
，
他们信奉和崇拜
10
，认为它是完美、和谐的标志。
（他们认为什么数是完美、
和谐的标志？）
（
16
）
这种
“
万物皆数
”
的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用，这也
是数学化思想的最初表达形式。
（
17
）
（什么思想的最初表达形式？）
毕达哥拉斯学派的初步数学化思想促进了对自然数的分类研究。
（
他们定义了许
多概念）
（
17
）
毕达哥拉斯学派许多关于数
的规律的发现，
都是借助图形的直观分析而得到的。
（
17
）
他们常把数以
点的形式排成各种图形。
（见教材
17
）
毕达哥拉斯学派认为，
“
美是和谐与比例
”
，
这
是他们对科学美所持的基本观点。
（
18
）
（他们对科学美所持的基本观点是什么？）
在对各种自然物体的本质讨论中，他们认为，最美的图形在平面上是圆，在空
间是球，整个地球、天体和宇宙是一个圆球，宇宙中的各种物体都作均匀的圆周运
动。<
/p>
（
18
）
（最美
的图形是什么？）
word
文档
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< br>最完美的数是
10
，因为
10=
1+2+3+4
，并将
1
，
2
，
3
，
4
称为四象。
他们认为音乐
的基本原则是数量原则，音乐节奏的和谐是由高低、长短、轻重
各种不同的音调，按照一
定数量比例组成的，他们研究了一些美的比和比例关系；
（
18
）
（音乐的基本原则是什么？）
毕达哥拉斯不仅把
“
美是和谐与比例
”
的科学美学思想用于音乐和天文学，还十
分
广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生物学
、医学等领域。
（
18
）
（美
只用于音
乐和雕刻？）
西方学者认为
，
有关直角三角形的
“
勾股定理
”
最早是由毕达哥拉斯学派发现的。
（据传，
毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，特地宰了一百头牛来祭神，感
谢科学艺术女神
缪斯对他们的垂青，因此有人诙谐地将这个定理称为
“
百牛定理
”
，
但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现
和证明这一定理的直接证明。
）
（
18
）
（什么是
“
百
牛定理
”
？）
按照
“
万物皆数
< br>”
的观点，毕达哥拉斯学派相信：任何量都可以表示成两个整数
< br>之比（即某个有理量）
。
（
18
）这在几何上相当于对于任何两条给定的线段，总能找
到第三条
线段作为单位线段，将所给定的两条线段划分为整数段。他们称这样的两
条线段为
“
可公度量
”
，既有
公共的度量单位。
（
19
）
（什么是可公度量？）
据亚里士多德的著作记载
，毕达哥拉斯学派曾经发现正方形的对角线和其一边
构成不可公度线段，其证明与我们现
在的中学数学教科书中证明
……
是无理数的方
< br>法相同。
相传该学派的成员希帕索斯还因为研究这一问题被抛入大海处以极刑。<
/p>
（
19
）
（数学
的研究不是一帆风顺的）
由于不可公度量的发现，毕达哥拉斯
学派
“
万物皆数
”
的信条受到了冲击，这在
数学史上称为
“
< br>第一次数学危机
”
。
（第一次数
学危机发生的原因是什么？）
希腊人对第一次数学危机的态度
不是积极地去解决，而是想方设法去回避它，
这就使得从毕达哥拉斯学派开始的对数的研
究专项对型的探讨，虽然这种转向最终
导致了几何学的迅速发展，但在客观上使得希腊数
学在代数方面的发展与其几何学
的成就是很不对称的。
（态度怎
样？什么原因使其研究转向？）
（
19
）
2.1.3
芝诺悖论与巧辩学派
巧辩学派又称诡辩学派
毕达哥拉斯学
派发现的不可公度量向希腊数学提出了一个难题，这就是如何处
理离散与连续、有限与无
限的关系。
（提出一个什么难题？）
（
19
）
大多数希腊数学家回避这个问
题，转而去研究几何量之间的关系去了。
（
19
）
来自卢卡尼亚的一位哲学家芝诺，针对当时对无限
、运动和连续等人们认识模
糊不清的概念，
提出了
45
个违背常理的悖论，
把这些矛盾暴露出来，
在希腊数学界
引起了巨大的震动。
（针对什
么问题？提出几个悖论？）
（
19
）<
/p>
芝诺关于运动的三个悖论是：
（
1
）二分说：物体运动是不存在的；
（
2
）阿基里
斯追龟说：阿基里斯是古希腊神话
中的
“
神行太保
”
，却永远追不上乌龟；
（
3
）飞箭
静止说：
飞箭在飞行中的某一瞬间总是停留在某一确定的位置上
，
他此时是不动的，
因此说飞箭实际上是静止的。
（
19
）
芝诺的悖论在当时是十分困难的，因为他的问题已经涉及到对于当时的希腊数
学
家而言还很模糊的无限与连续的概念。更重要的是，人们明知它的悖论是不符合
常理的，
却又不能驳倒他，这就促使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题。
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< br>毫无疑问，这也成为公理化思想方法产生的一个重要原因。
（
19
）
（芝诺的悖论在当
时为什么
困难？
“
自圆其说
”
< br>与
“
公理化思想方法产生
”
的关系？）
巧辩学派创立、活动于雅典。
这个学派中聚集了各方面的学者大师，如文法、
修辞、辩证法、人文，以及几何、天文和
哲学方面的学者。
（
20
）
巧辩学派研究的主要目标之一是用数学来讨论宇宙的运转。
（
20
）
巧辩学派的名字与著名的尺规作图不能问题紧密地联系在一起的。
（
20
）
（什么
学派的名字
与著名的尺规作图不能问题紧密地联系在一起的？）
巧辩学派
在芝诺的那些悖论让古希腊人伤透脑筋的时候，提出了三大著名作图
问题，又让古希腊人
陷入了困惑。
（
20
）
（感谢对手！
）
所谓三大尺
规作图不能问题是指，只允许用圆规和直尺作一正方形，使其与给
定的圆面积相等；给定
立方体的一边，求作另一立方体之边，是后者体积两倍于前
者体积；三等分任一已知角。
（
20
）
（三
大尺规作图不能问题是指什么？）
围绕三大作图不能问题，希
腊数学家们表现出了杰出的数学思想和方法。许多
数学成果都是研究这三个问题的副产品
。
（
20
）
（
研究不但要重视结果，更要重视研
究的过程，及过程中产生的副产品。
< br>）
（故事：煮石头、煮铁钉）
巧辩学派及其他希腊学者，所以要把作图工具只限于直尺和圆规，反映了他们
对数学的这
样一个认识：即他们强调在研究一个概念之前必须证明它的存在性，只
有从真理出发，依
靠演绎推理才能获得真理。在他们看来，直线和圆客观上是存在
的，所以只有用直线和圆
构作出来的图形才能保证在逻辑上没有矛盾，这样的思想
促进了希腊数学的严密化。
（
21
）
（希腊学
者为什么要把作图工具只限于直尺和圆
规？）
2000
多年来，三大作图（不能）问题的研究，花费了人们的大量心血。
（人们
对此研究了多少年？）
直至
1831
年，
法国数学家万采尔首先证明倍立方
问题和三等
分任意角问题不能用尺规作图来解决，
接着德国数学
家林德曼于
1882
年又证明了
π
的超越性，因而否定了用尺规化圆为方的可能性，到此，三大尺规作图（不能）问
题才彻底得以解决。
（什么时间？什么人？解决了什么问题？
2000
多年来的研究过
程的意义？）
（
21
）
2.1.4
柏拉图学派
继巧辩学派之后领导希腊数学活动的是柏拉图学派。
（
继巧辩学派之后领导希腊
数学活动的是什么学派？）
（
21
）
柏拉图是古
希腊哲学家和教育家，出生于雅典的贵族家庭。
（柏拉图出生于何
地？）
（
21
）
公元前
407
年，
柏拉图
20
岁时曾拜年逾六旬的苏格拉底为师，
他是苏格拉底最
杰出的学生，
深受苏格拉底
逻辑思想的影响。
（柏拉图几岁拜谁为师？受谁的逻辑思
想的影
响？）
（
21
）
公元前
399
年，在苏格拉底被雅
典重建的民主政权处死后，柏拉图被迫开始了
为期
12
年的游历生涯，他先后去了麦加拉、埃及等地，后回到了雅典。
（
21
）
（柏拉
图
12
年的游历生涯为何称为被迫？游历了哪些地方？）
公元前
387
年，柏拉图
在雅典创建了欧洲历史上第一所综合性的、传授知识、
培养上层统治者的学校，
学校兼收女生，
并实行分层次教育。
（在什么时
间？什么地
点？创建什么性质的学校？是否招收女生？）
（
21
）
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< br>柏拉图对于数学科学在培养人的思维能力方面的作用有比较充分的认识。据说
在他
学校的门口甚至挂上
“
不懂几何者不
得入内
”
的告示。
（柏拉图对于数学科
学在
培养人的思维能力方面的认识如何？
“
不懂几何者不得入内
”
的告示说
明了什么？）
（
21
）
柏拉图学派特别强调要用数学来解释宇宙，因而特别重视对立体几何的研究。
（柏拉图学派为什么特别重视对立体几何的研究？）
（
21
）
柏拉图学派把
德谟克利特的原子论和毕达哥拉斯的数学成就等结合起来，提出
了几何学的原子说。
（
柏拉图学派结合什么成果？从而提出了几何学的原子说。
（
21
）
）
柏拉图学派设想物质世界的本原不是土、气、水和火，而是两种直角三角
形，
即正方形之半与等腰三角形之半。因为这两种图形是最完美的图形，它们可以无限<
/p>
分下去。因此，神就用它们构成
4
种正多
面体的界面：火微粒是正四面体，圡微粒
是立方体，气微粒是正八面体，水微粒是正二十
面体；最初一切是混乱的，后来它
们才被安排好，从而形成了宇宙。
（柏拉图学派设想物质世界的本原是什么？为什
么？）
（<
/p>
21
）
柏拉图
在其老师苏格拉底逻辑思想的影响下，明确提出了数学的演绎证明应遵
循的逻辑规则。<
/p>
他指出：
“
首先我假定某个我认为是最有
力的假定，
然后肯定凡与之
相符合的就是真的，无论是关于原因
还是别的什么，只要与之不符合的，我就认为
它是不真的。
”<
/p>
这里柏拉图明确提出，
数学证明是以某些自明的假设，
即公理作为出
发点，然后经过一系列严格的逻辑推理，他称之为
“
假设法
”
。
（
22
）
显然这正是公理化方法的开端，对于形成欧几里得几何学的公理演绎系统和推
进希腊数学的发展具有极为重要的意义。可以说，这是古希腊方法论的最高成就。
这也表
明至少从柏拉图时代起，
数学就已经有了公理化的思想。
（柏拉
图在谁逻辑思
想的影响下，明确提出了数学的演绎证明应遵循的逻辑规则？古希腊方法论
的最高
成就是什么？我们认为数学公理化的思想至少从柏拉图时代起就已经有了。
）
（
22
）
柏拉图学派中最杰出的数学家应首推欧多克
索斯。
有人认为，
古希腊数学家中，
他
的地位仅次于阿基米德。他的数学成果成为欧几里得《几何原本》
，特别是第
5
、
6
、
7
卷的主要内容。他对数学的最大贡献是运用公理法建立了比例理论，其中包括
相当严密的实数定义，
处理了所谓
“<
/p>
不可公度量
”
既无理数问题。
（柏拉图学派中最杰
出的数学家是谁？欧多克索斯对数学的最大贡献是什么
？）
（
22
）
欧多克索斯的学生梅奈赫莫斯是圆锥曲线理论的创始人。并形成了最早的圆锥
曲线理论。
（最早的圆锥曲线理论是由谁建立的？）
（
22
）
柏拉图学派的亚里士多德对数学的最大贡献是建立了形式逻辑学。亚里士多德
把形式逻辑
规范化和系统化，
使之上升为一门科学。
（亚里士多德对数学的
最大贡献
是是什么？）
（
22
）
2.2
希腊数学的黄金时代
（有前人的积奠才有黄金时代的出现）
早期数学的进程在很大程度上取决于人类历史发展的进程。
（
早期数学的进程在
很大程度上取决于什么的进程？）
（
23
）
亚历山大城是
托勒密王国的首都，经历代托勒密国王的经营，成为当时整个地
中海地区最大的城市，在
这里兴建了藏书达六十万卷的图书馆，国家设立了研究机
构，
其
研究人员由国家供养。
优秀数学家云集于此，
亚历山大学派由此
产生。
（关键
word
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<
/p>
词：最大城市、兴建图书馆、六十万卷、国家、研究机构、研究人员、国家供养。
）
（亚历山大学派如何产生的？）
（
23
）
亚历山大的东征
，客观上促进了东西方文化的融合，数学由此产生了新的生长
点。
（一分为二地看问题。当你遇到困难时，是否也看到了机遇？）
（
23
）
亚历山大时期的数学发展
有两个方向，其一是沿着毕达哥拉斯、柏拉图开辟的
方向，继续致力于纯粹数学理论的研
究，并使之系统化，其代表人物有欧几里得、
阿波罗尼斯；其二是以阿基米德为代表，致
力于研究数学与天文、物理、力学、光
学等学科的结合，
在继承
古典时期研究成果的基础上，
不断开拓新的领域。
（亚历山
大时期的数学发展沿那两个方向发展？代表人物是谁？）
（
23
）
阿基米德、欧
几里得、阿波罗尼斯并称亚历山大时期的三大数学巨人。他们的
工作，
< br>使得希腊数学的发展达到了前所未有的最高水平。
（那些数学家被称为亚历山
大时期的三大数学巨人？黄金时代的代表应有众多杰出的数学家、数学学派的出
现。
）
（
23
）
2.2.1
欧几里得与
他的《几何原本》
欧几里得出生于雅典，曾受教于柏拉图学院
。雅典衰落后，应托勒密国王的邀
请，
来亚历山大城主持数学学
派的工作。
（欧几里得出生于何地？应谁的要求到亚历
山大主持
数学学派的工作？）
（
24
）
欧几里得是一位温和仁慈的蔼然长者，学生们都很尊敬他。他严谨治学
，不图
名利，
据说当托勒密国王向他询问学习几何知识的捷径时
，
他答道：
“
几何无王者之
道
”
。
当有一位学生刚学
完第一个几何命题便问欧几里得学了几何后将得到什么好处
时，
欧几里得则幽默地对侍者说：
“
拿一个便士给这位先生，
因为他总要从他学习的
东西中获取好处的。
”
（
“
几何无王者之道
”
是谁的名言？）
（
24
）
欧几里得是一位勤奋的学者，他以满腔热情将以雅典为代表的希腊
数学成果，
运用欧多克索斯曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书。
（
将什么为代表的
希腊成果，运用谁曾经部分采用
过的严密的逻辑方法重新编纂成书？）
（
24
< br>）
欧几里得首先收集、整理已有的数学成果，以命题的
形式作出表述，完善前人
的各种定理并给于重新证明，使其达到无懈可击的地步。然后，
他做出了自己的伟
大创造：对定义进行筛选，选择出具有重大意义的公理，逻辑地、严密
地按演绎方
法组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原
本》
。
它是在公元前
300
年左右完成的。
（欧几里得如何完成
《几何原本》
的？在整理过程
中有那些伟大创造？《几何原本》完成的时间？
）
（
24
）
“
原本
”
希腊
文的原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。
（
24<
/p>
）
欧几里得《几何原本》的原稿早已丢
失，现在版本是以希腊评注家泰奥恩编写
的修订本为依据的。全书分
13
卷，共有
465
个命题。
（原稿已丢失，现在版本是以
谁编写的修订本为依据的？全书分几卷
？共有几个命题？）
（
25
）
前六卷相当于平面几何内容，
第一卷首先用<
/p>
23
个定义给出了点、
线、
面、
圆以
及平行线等原始概念，
接着提出了
5
个公设和
5
个公理。
（
25
）
值得指出的是，
由于
《几何原本》中第
5
公设所阐述的事实不像其他
4
个公设那样明显，人们怀疑它可
能由前
4
条公设推出，
（既不独立于前
4
条公设）
。因此，在《几何原本》问世以后
的
2000
多年中，许多人都曾试图由其它的公设给出这一公设的证明。<
/p>
直到
19
世纪
初由于罗巴切夫斯基、
高斯、
波尔约等人的工作导致了
“
非欧几何
”
word
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< br>的诞生，人们才知道该公设是不能由其它公设推导出来的，从而证明了这
5
个公设
是相互独立的。同时，随着非欧几何的诞生，人们关于几何的认
识也从欧几里得的
框架中解放出来，使得几何学得到迅速的发展。
（
25
）
（第
5
公设，因何原因引来无
数数学家
2
000
多年的不懈研究？可见数学家对问题的态度
……
。
我们从中可得到什
么收获？）
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是约
300
年来希腊数
学成果、方法、思想和精神的结晶，
其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展
有着巨大的影响。自它问世之日起，在长达
二千多年的时间里一直盛行不衰。他经
历多次翻译和修订，
自<
/p>
1482
年第一个印刷本出版后，
至今已
有一千多种不同的版本。
除了《圣经》之外，没有任何其他著作、其研究、使用和传播之
广泛，能够与《几
何原本》相比。但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识
方面的影响，
却是《圣经》所无法比拟的。
（
< br>26
）
（
《几何原本》是古希腊数学家谁的一部不朽之
作，是约多少年来希腊数学成果、方法
、思想和精神的结晶？自哪年第一个印刷本
出版后，至今已有多少种不同的版本？影响可
与《圣经》比拟的数学著作是哪一
本？
）
诚然，
正
如一些现代数学家所指出的那样，
《几何原本》
存在着一些结构
上的缺
陷，但这丝毫无损于这部著作的崇高价值。它的影响之深远。使得
“
欧几里得
”
与
“
几
何学
”
几乎成了同义词。
它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、
< br>数学精神，
是人
类文化遗产中的瑰宝。
< br>（
26
）
（从《几何原本》结构
上的缺陷与其历史上的影响，是
否看出瑕疵掩盖不了其崇高价值？）
欧几里得还写了许多其他出色的著作，他对天文学和光学都有研究，但在纯数
学方面保留下来的仅有两本：
（
1
）
《数据》这是在《几何原本》基础上进一步研究几
何学的一本问题集，
共
95
个问题
；
（
2
）
《论
图形的分割》
，
研究将图形分割成比例的
问题，共有
36
个问题。
（纯数学方
面的著作保留下来的有几本？各有几个问题？）
（
27
）
2.2.2
阿基米德的数学成就
古希腊最伟大的数学家非阿基米德莫属。
（
27
）
阿基米德出生于意大利西西里
岛的叙拉古。他的父亲是天文学家，母亲出生于
名门望族，且知书达理。
（阿基米德出生于何处？）
（
27
）
青年时代的阿基米德曾到号称
“
智慧之都
”
的亚历山大城求学，当时
亚历山大的
学术空气较为自由，学生们可以自由地选择内容听讲并参加讨论和研究。这里
的科
学研究包括四个方面：文学、数学、天文学和医学，由于希腊天文学实际是一种数<
/p>
理天文学，以天体运动的数学设计为其主要内容，而医学和占星术也含有数学，故
数学在亚历山大占有主导地位。
（
当时亚历山大
的学术空气如何？科学研究包括哪些
方面？数学在亚历山大占有主导地位吗？）
（
27
）
在亚历山大期间，
阿基米德系统地阅读了欧几里得的
《几何原本》
，
研究了古希
腊时期巧
辩学派代表人物的著作及安提丰等人关于三大几何问题讨论的种种方法，
特别是安提丰和
欧多克索斯的穷竭法对阿基米德影响最为深刻，以至后来发展成为
他处理无限问题的基本
工具。
（在亚历山大期间，
阿基米德系统地阅读了谁的数学著<
/p>
作？研究了古希腊时期谁的著作及安提丰等人关于什么问题讨论的种种方法？特别
是谁的穷竭法对阿基米德影响最为深刻，以至后来发展成为他处理无限问题的基本
word
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工具？
）
（
27
）
阿基
米德学成后返回故乡，并终身保持同亚历山大学派的联系，研讨学问，成
为亚历山大学派
最杰出的代表。
他一直住在叙拉古。
（阿基米德发明了投石炮、
火镜
等先进武器，让敌人吃尽苦头。
）
（
27
）
<
/p>
公元前
212
年，
罗马人在其统帅马塞路斯的率领下围攻叙拉古，
由于叛徒出卖，
罗马人趁叙拉古人庆祝女神节的狂欢之夜，攻占了城市，阿基米德死于士兵剑下，
临死
前还在思考几何问题。
（阿基米德临死前还在思考什么问题？）
（
27
）
阿
基米德的数学著作流传至今，按时间顺序，依次为《抛物线的求积》
、
< br>《论球
和圆柱》
、
《论螺线》<
/p>
、
《论劈锥曲面体与球体》
、
《圆之度量》
、
《沙粒计》
，这些论著无
一不是数学创造的杰出之作，
正如英国数学史家
希思所指出的，
这些论著
“
无一例外<
/p>
地都被看作是数学论文的纪念碑。解题步骤的循循善诱，命题次序的巧妙安排，严
格摒弃叙述的枝节及对整体的修饰润色，总之，给人的完美印象是如此之深，使读
者油然而生敬畏的感情。
”
（
28
）
阿基米德在力学方面的贡献也
是相当杰出的。他是古希腊绝无仅有的应用试验
进行力学研究的人，因而也是这门学科当
之无愧的创始人。
（
28
）
阿基米德应用力学方法进行数学规律探索的倡导者和典范。
在他的一篇题为
《方
法论》
的手抄本中，
他断言
“
力学便于我们发
现结论，
而几何则能帮助我们对结论作
出证明
< br>”
。这一手抄本是海伯格
1906
年在君士坦丁堡发现的，那是阿基米德给埃拉
托塞尼的一封信。
（
29
）
阿基米德用力学方法探索数学结论的基本思想是：为了找出所求图形的面积和
体积
，
可将它分成很多窄的平行条和重心为已知
的图形，
利用杠杆平衡原理及已知
图形的面积、体积，便可探求
出未知图形的面积和体积来。
（
29
）
虽然
“
穷竭
法
”
在欧几里得《几何原本》中已有记载，甚至更早的还可追溯
到欧
多克索斯，但是任何人都难以否认这样的事实；阿基米德对穷竭法的运用代表了古<
/p>
代用有限方法处理无限问题的最高水平。
（
32
）
将运动观点引入数学，也是
阿基米德数学思想的重要组成部分，这集中反映在
《论螺线》一书中。阿基米德对螺线的
定义，其思想方法在古代数学中是独树一帜
的。
（
32
）
阿基米德杰出创造
微小三角形的引入，
它本质上类同于微积分中的微分三角形，
阿
基米德的这一例子，是希腊几何中可以找到的孕育微分法的为数不多的最为优秀
的杰作之
一。
（
32
）
2.2.3
阿波罗尼斯与《圆锥曲线》
阿波罗尼斯出身于小亚细亚西北部的城市柏加，青年时代的阿波罗尼斯曾客居
亚历山大城，追随欧几里得的学生学习数学。他写过多部数学著作，但以《圆锥曲
< br>线》最为成功，是古希腊继《几何原本》之后的又一部力作。
（出生于何处？最为
成
功的数学著作是哪一部？）
（
33<
/p>
）
阿波罗尼斯的《圆锥曲线》共
8
卷，有
487
个命
题，现存前
7
卷，第一卷给出
了圆锥曲
线的定义和基本性质。在这一卷中，阿波罗尼斯首创了通过改变截面的角
度，从一对对顶
圆锥得到三种圆锥曲线的方法，并依据曲线的做法推导出它们的特
征关系式，进而导出了
圆锥曲线的弦、直径、共轭直径、切线等的定义和性质，甚
至还得到类似于在坐标变换下
曲线性质的不变性的结论。
（
33
）<
/p>
（甚至还得到类似于
word
文档
可自由复制编辑
在坐标变换下曲线性质的不变性的结论。
这个难度较大。
）
< br>需要指出的是，阿波罗尼斯的方程是用几何语言叙述的。
（共几卷？有几个命
题？在研究圆锥曲线首创了什么方法？阿波罗尼斯的方程是用什么语言叙述的？）
（
33
）
2.3
希腊数学的衰落
虽然希腊数学自阿波罗尼斯之后开始走下坡路，但在后来的岁月里也还是有一
些数学成就值得人们去研究的。
（
33
）
代数的重大进展是产生了代数符号。第一次系统地提出符号
的是丢番图。丢番
图是希腊化的巴比伦人，其主要著作《算术》
，堪称古代数学的典籍，共
13
卷。
（
代
数符号的产生是代数的重大进展。第一次系统地提出符号的是谁？他的什么著作堪
称古代数学的典籍？共几卷？）
（
33
）
丢番图是当时解代数方程的大师，在《
算术》中，绝大多数问题是不定方程，
考察的范围是
1~4
次。
（丢番图在《算术》中，绝大多数是什么方程？考察的范围
是？）
（
34
）<
/p>
帕普斯在总结希帕恰斯和梅乃劳斯工作的基础上，写成三角学的
最早系统论著
《数学汇编》
。
在该书中
有著名的托勒密定理：
在圆内接四边形中，
两对角线之积等
于两对对边乘积之和。帕普斯的《数学汇编》被认为是古希腊数学的安魂曲（帕普
斯在总结谁的工作的基础上，写成三角学的最早系统论著《数学汇编》？帕普斯的
< br>什么数学著作被认为是古希腊数学的安魂曲？）
（
34<
/p>
）
总之，亚历山大时期大大开拓了希腊
数学的领域，正是由于这个时期的成就，
希腊数学才能作为一个比较完整的体系载入史册
。在这一时期，定量研究有了很大
进展，但并没有使偏重几何的方向发生逆转。算术和代
数中，演绎式的逻辑结构始
终没有建立起来；三角学的研究尚未摆脱天文学。这就决定了
对于数的研究仍然是
直观的、经验的，其发展是缓慢的，从而使几何的发展步履艰难。<
/p>
（亚历山大时期，
定量研究有了很大进展，偏重几何的方向是否发
生发生逆转？算术和代数中，演绎
式的逻辑结构是否建立建立起来？三角学的研究是否摆
脱天文学？对于数的研究仍
然是直观的、经验的吗？因什么发展的缓慢，才使几何的发展
步履艰难？）
（
34
）
整个希腊数学的消亡是由于罗马人的入侵所导致的。
（
34
）
（消亡的原因？）
公元前
146
年，
罗马人征服了希腊本土。
公元前
47
年，
凯撒纵火焚毁停泊在亚
利山大港的埃及船
队，大火延及该城，并无情地将图书馆两个半世纪以来收集的藏
书毁于一炬，罗马统治者
推崇的基督教的传播，迅速地以强烈的宗教狂热淹没了丰
富的科学想像，使希腊数学蒙受
了更大的灾难。查封学园，禁止学习研究数学，使
欧洲数学进入了漫长的黑暗时期。
（
34
）
思考题：
1
、试从数学科学发展的角度，探讨古希腊把逻辑学中的演绎证明引入数学的理由，
并进一步论述数学与逻辑的关系。
2
、
古典时期的希腊学派对数学科学的发展最重要的贡献有哪些？并通
过对资料的分
析，论述团队协作对数学发展的重要性。
3
、
毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危
机的？他们为什么要对这次数学危机采
取回避的态度？这种态度对数学发展有什么重要的
影响？
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< br>4
、
希腊数学学派的数学观各有什么相同与不同的地方，
它们对数学以及整个科学的
发展有什么影响？
< br>
5
、
希腊数学的鼎盛时期为什
么会出现在亚历山大时期？试论述数学科学发展与社会
发展的关系。
6
、
欧几里得
< br>《几何原本》
对数学以及整个科学的发展有什么重要影响？其重要影响
的成就有哪些？
7
、<
/p>
阿基米德是如何用力学方法发现和证明球体积计算公式的？是比较他的方法与其
他民族，如中国古代数学家的球体积计算公式的推导方法的异同。
8
、圆锥曲线的概念是如何提出的？古希腊的数学家们又是如何得到圆
锥曲线的？
9
、
希腊数学最重要的成就有哪些？他们留给了人哪些问题？这些问题为什么在希腊
人的
手里无法解决？
10
、收集阅读相关
资料，并对其进行整理，论述欧几里得和阿基米德的科学精神和
爱国主义情操。
word
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第三章
来
自东方的继承者与传播者
——
印度与阿拉伯的数学
一、教学时间安排：
3
学时
二、教学目的、要求：
1
、了解古印度数学对世界数学发展主要的贡献及数学发展特色；
2
、了解古阿拉伯数学对世界数学发展主要的贡献及数学研究的特色；<
/p>
3
、了解古阿拉伯数学家阿尔
.
花拉子米对代数学发展的贡献。
三、教学的重点和难点：
古印度数学
对世界数学发展主要的贡献及数学发展特色、
古阿拉伯数学对世
界数学发展主要的贡献及数学研究特色的介绍。
四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助
五、教学过程设计：导入、新授课、小结
六、教学内容。
当希腊人在爱琴海岸
创造的高度数学文明被来自异族的侵略者毁灭之后，延续
了
10
00
多年的古希腊文明虽在数学上留给后人无比丰富的遗产，
但
同时也留下了许
多问题。首先，希腊数学的严格演绎推理的特点在发明创造时却是一个缺
陷，因为
许多发明创造都是以不慎严谨的猜想推测为出发点的，而正是这一点又为希腊数
学
所不齿。因此，希腊数学失去了许多发明创造的大好时机。如希腊人的穷竭法关于
无限的讨论已相当深入，但是囿于严谨而终与发现微积分的一般方法失之交臂。再
者，同样由于严谨性的考虑，代数学相对来说受到了冷遇。由于古希腊数学的巨大
< br>影响力，这种情形一直持续了几百年，然而就是在古希腊数学文明衰微、欧洲处于
长达
1000
年的中世纪黑暗时期，
“
西方不亮东方亮
”
，
< br>在世界的东方，
希腊残留的火
花得到了保存与传播，这就
是印度与阿拉伯的数学
.
（
36
）
3.1
印度的数学
< br>地处恒河流域的印度与古巴比伦、埃及和中国一样，也是人类文明的发祥地之
一。
印度文明最早可以上溯到公元前
3500
年左右居住在印度河流域的达罗毗荼人的
哈拉帕青铜文化。
（
具体见教材
36
）
（印度文明最早可以
上溯到公元前多少年左右居
住在印度河流域的达罗毗荼人的哈拉帕青铜文化？）
（
36
）
从
5
世纪始，印度文明又不断受到其他民族的侵占
。
（
37
）大约在
5000
年前印
度人就兴建起了具有相当规模的城市与宫殿
，
并且有了书写、
计算和度量衡的体系。
由于印度以农业为经济来源，很早就开始观察星象，编写历书，因而带动了数学研
究。
另外，印度是一个宗教盛行的国家，释迦牟尼创建的佛教曾流传到中国等地，
这一教派的
“
绳法经
”
在
科学文化方面有较高的水平，也是在数学史上有意义的为数
不多的宗教作品之一。
（什么时候起印度有了书写、
计算和度量衡的体系？什么带动
了印度数学研究？佛教的
“
绳法经
”
是在数学史上有意义的为数不多的宗教作品之
一。
）
（
37
）<
/p>
印度远古时期的文字是书写在棕榈叶和白桦树皮等天然材料上的
。由于印度长
期多雨，这些材料很快就腐烂了，故这个国家远古时期的文化没有能像古巴
比伦、
埃及和中国那样保存下来，这就使我们无从了解到这支人类文化的源头那个时代在
数学方面究竟做了些什么。
（印度远古时期的文字为什么没有保
留下来？）
（
38
）
< br>
word
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< br>自公元前
326
年亚历山大大帝征服印度西北部以来，这
个民族受到多次的外来
侵略，
多民族的文化在这里交融，
也就孕育了印度数学的繁荣。
（什么孕育了古印度
数学的繁荣？）
（
38
）
公元
3
世纪至
12
世纪是印度数学的繁荣时期，
而繁荣的标
志表现为出现了一些
著名的天文学家兼数学家。他们主要是：阿耶波多、婆罗门笈多、摩
诃毗罗和婆什
迦罗。
（
38
）
阿耶波多写了一部关于天文学的著作《阿耶波
多文集》
，其中有一章专讲数学，
介绍了比例、开方、二次方程
、一次不定方程、算术级数等问题，他得出了圆周率
为
3.14
16
的较好的近似值。
（阿耶波多的著作《阿耶波多文集》是数
学专著吗？他
得出的圆周率是多少？都介绍了哪些数学问题？
）
婆罗门笈多
30
岁时写成一部重要著作《婆罗门修正体系》
，包括
“
算术讲义
”
、
“
不定方程讲义
”
等章，其中有算术、勾股定理、面积、体积等内容，并讨论了二次
方程，线性方程组及一次和二次不定方程的解法。他还利用内插公式造了一张正弦
表
，其著作曾译成阿拉伯文，对伊斯兰教国家的数学和天文学都产生过重大影响。
（婆罗门
笈多几岁时写成一部重要著作《婆罗门修正体系》
，包括
“
算术讲义
”
、
<
/p>
“
不
定方程讲义
”
等章，
其中有算术、
等哪些数学内容
？并讨论了哪些方程的解法？）
（
38
）
摩诃毗罗著有《数学九章》一书，其内容主要是算术运算、
开平方和开立方、
二次方程及组合问题，
也讲到解二次不定方程
等。
（摩诃毗罗著有
《数学九章》
一书
，
其内容主要是什么问题？也讲到解什么方程等？）
（
38
）
婆什迦罗对天
文学和数学都有研究，是古代印度最杰出的数学家。他的数学名
著有
《丽罗娃提》
和《算法本原》
。
这
两部著作除了整理前人的成果之外还论述了有
理数的四则运算、线性方程组和不定方程。
（
《丽罗娃提》和《算法本原》的作
者
是谁？这两部著作的主要内容是什么？）
（
< br>38
）
12
< br>世纪以后，印度数学的发展日趋滞缓，直到
19
世纪才有
新的起色。
（
12
< br>世
纪以后，印度数学是如何发展的？）
3.1.1
印度的算术
在印度数学中最值得称道的是印度数码和
10
进位值
制记数法。人们所说的
“
阿
拉伯数码<
/p>
”
实际上最早是由印度人发明的，
这是他
们对数学乃至整个人类文化的重要
贡献。印度数码的完善是经历了漫长的发展过程的，直
到
4
世纪在巴克沙里手稿中
才比较接近
于现在的形式。
（在印度数学中最值得称道的是什么？
“
阿拉伯数码
”
是谁
发
明的？）
（
39
）
在各类记数制中，零的记号是该进位制是否先进的一个重要标志。摩诃毗罗给
出了零的运算法则。
（在各类记数制中，
什
么的记号是该进位制是否先进的一个重要
标志？）
（
39
）
印度人很早就引
进了负数。婆罗门笈多在
628
年左右系统地给出了负数四则运
算的正确法则。
婆什迦罗在
《根的计算
》
中又进一步讨论了负数。
（印度人是否很早
< br>就引进了负数？是否有负数四则运算的正确法则？）
（
3
9
）
印度人较早就有分数的概念，<
/p>
除了在天文学中的分数仍然沿用巴比伦的
60
进制
记号外，他们在其他场合都用整数之比表示分数。他们会对分数进行四则运算，
在
分数相加减时取分母的乘积为公分母而不求他们的最小公倍数。在著名的巴克沙里
手稿中，印度人将分子记在分母之上，无分数线分隔。在带分数的情形，则把整数
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< br>部分写在分数之上。
（
古印度有分数的概念吗？是否有分
数四则运算？在分数相加减
时公分母如何取得？有分数线吗？）
（
39
）
3.1.2
印度的代数
印度数学家使用缩写文字和记号来记述代数方程，有时也用于其他场合。他们
使用符号的程度大体上要比丢番图的缩写代数稍有进步，不过两者使用的符号是完
全不同
的。
（印度数学家使用什么方式来记述代数方程？）
（
40
）
印度数学家常
用假设法作为解方程或方程组的工具。
（
印度数学家常用什么方
法
作为解方程或方程组的工具？）
（
4
0
）
二次方程是印度数学家最感兴趣
的课题之一，
他们允许方程的某些系数是负数，
从而可以把二次
方程归结为标准类型。
（
印度数学家对二次方程感兴趣吗？是否
允许
有负系数出现？当时是否有二次方程标准形式？）
（
41
）
不定方程的
研究可能是使印度数学家自己最值得自豪的。他们的成就超过了丢
番图，因为他们已经不
像丢番图那样，只满足于求出一个有理数解，而是要求出所
有的正整数解。
（印度数学家自己最值得自豪的是什么方程的研究，
且成就超过了丢
番图？）
（
41
）
印度数学家在公元
11
< br>世纪给出了所谓金字塔图，
这就是由二项式展开式系数所
构成的三角形，从中他们发现组合数公式。
（中国的杨辉三角形）
（印度数学家在公
元
11
世纪给出了
所谓金字塔图是什么图形？从中他们发现了什么公式？）
（
41
）
3.1.3
印度的几何与三角
在印度数学中，几何相对于代数来说，显得有些平淡无奇，主要是一些常见的
< br>几何体的体积公式，远远不如希腊人所达到的水平，不过他们的三角学研究却继承
并发展了希腊人的工作。
（在印度数学中，
几何相对于代数来说
，
显得怎样？印度的
几何成就是否达到了希腊人的水平？印度的
三角学研究继承并发展了谁的工作？）
（
41
< br>）
尽管印度的数学在历史上曾有过辉煌的一页，他们的
成就是举世公认的，但也
有其局限的一面，主要表现在数学未能脱离天文学和宗教而独立
存在，因此也就不
可能形成完整的理论体系；其数学著作中的语言较为含糊而神秘，缺乏
清楚的概念
和严格的证明。
他们把杰出成果与平庸之作混在一起
，
正如
11
世纪的阿拉伯著名历
史学家阿尔贝鲁尼所说的那样：
“
我们只能把
他们的数学和天文学著作
……
比作宝贝
和烂枣或珍珠与粪土或宝石和卵石的混合物。
”
语言未免苛刻，
但也不无道理。
（印
度的数学在历史上的表现有其局限一面，主
要表现在哪些方面？其数学语言是否严
谨？）
（
42
）
3.2
阿拉伯的数学
阿拉伯人对数学的研究始于
8
世纪中叶或
9
世纪初。开始时，他们以翻译和学
习印度、希腊的
数学经典为主。随后在消化、吸收这些著作的基础上进行独立的数
学研究。
（阿拉伯人对数学的研究始于
8
世纪中叶或
9
世纪初。
开始时，
他
们以什么
工作为主？随后在什么的基础上进行独立的数学研究？）
（
42
）
今天我们所说的
“
阿拉伯数学
”
，
主要是指那些用阿拉伯文写成的数学。
事实
上，
这个时期在这里从事数学研究的学者还有波斯人、希腊人、摩尔人、塔什干人、犹<
/p>
太人和欧洲的基督教徒们。
（今天我们所说的
“
阿拉伯数学
”
，主要是指什么数
学？）
（
42
）
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< br>当然，这主要应归功于阿拉伯人的宽大胸怀，他们在征服了这些民族以后，并
没有
排斥这些民族的文化；在推行伊斯兰教的同时，容许异教徒自由活动。他们关
心并倡导科
学和艺术，邀请印度和希腊的科学家到巴格达从事译述和研究，使巴格
达成为一个文化中
心，
促进了阿拉伯世界科学文化的繁荣，
这种繁荣时期经历了<
/p>
600
年，直到
1258
年，巴格达被蒙古军队攻陷后才开始走向衰落。
（阿拉伯人在推行伊
斯兰教的同时，容许什么活动？促进了阿拉伯世界科学文化的繁荣，这种繁荣时期
< br>经历了多少年？）
（
42
）
3.2.1
阿拉伯数学的分期与杰出的数
学家
阿拉伯早期数学出现于
8
世纪中叶至
9
世纪。这时期最重要的数学家是
阿尔
.
花拉子米，他出生于花拉子米城，并以此得名，曾担任过
阿拔斯王朝第五代哈里发
的司书官，以博古通今著称，他仔细研究过印度天文学，并根据
印度天文表中的资
料，
编辑了阿拉伯最古老的天文表。
（阿拉伯早期数学出现于哪个世纪？这时期最重
要的数学家是谁？他出生
于哪座城？并以此得名）
（
43
）
花拉子米写过很多书，内容涉及天文、历法、算术、代数等多个领
域、其中最
著名的是
《代数学》
，
这部著作曾被译成拉丁文，
在欧洲被用作代数学标准教科书达
数世纪之久。另一本著作《算术》介绍印度数码的计算方法，后由英国人译成拉丁
文，通过这本书，欧洲人才了解到印度的数码和记数系统。
（花拉子米写过很
多书，
内容涉及天文、历法、算术、代数等多个领域、其中最著名的数学著作是哪两本？
花拉子米哪部著作曾被译成拉丁文，在欧洲被用作代数学标准教科书达数世纪之
久？花拉子米哪部数学著作介绍印度数码的计算方法，后由英国人译成拉丁文，通
过这本书，欧洲人才了解到印度的数码和记数系统？）
（
43
）
由于花拉子米的著作在中世
纪流传极广，拉丁语系里的
“
算法
”<
/p>
一词就是由他的
名字的拉丁译音衍生出来的。
（拉丁语系里的
“
算法
”
一词就是由谁的名字的拉丁译音
衍生出来的？）
（
43
）塔比
.
库拉是早期阿拉伯一位知识渊博的数学家和天文学家，
曾创办了一所翻译学校，有力地
推进了希腊著作的翻译。在
9
世纪下半叶，欧几里
得、
阿基米德、
阿波罗尼斯和托勒密等人的著作被翻
译成阿拉伯文。
（阿拉伯早期数
学界谁曾创办翻译学校，从而有
力地推进了希腊著作的翻译？）
（
43
）
阿拉伯中期数学（
10
世纪至
12
世纪）
，这一
时期是阿拉伯数学发展的高峰期，
出现的著名数学家有巴塔尼、阿布
.
瓦法和奥马
.
海雅姆。
（古阿拉伯数学发展的高峰
期出现了哪些著名的数学家？）
（
43
）
巴塔尼是两河流域巴坦地方的人，
他主要研究天文学，
积
40
年的实测经验，
写
成《星的科学》这部很有价值的著作。由于天文学研究的需要，巴塔尼致力于三角
学的研究，
并取得重要贡献。
（巴塔尼是什么地方的人？他
主要研究天文学，
积多少
年的实测经验，写成《星的科学》这部
很有价值的著作？由于什么研究的需要，巴
塔尼致力于三角学的研究，并取得重要贡献？
）
（
43<
/p>
）
阿布
.
瓦法出身于霍拉桑，
曾翻译过丢番图的著作，
本人对三角学和算术都有重
要贡献。
（
43
）
奥马
.
海雅姆是霍拉桑人，是一位有名的数学家、天文学家、诗人和思想家，他
与别人合作编写的中世纪最紧密的哲拉里历，
每隔
5000
年才相差一天，
其精确程度
由
此可见一斑。他的《代数学》比花拉子米的《代数学》有明显的进步。在这部著
作中，他
详尽地研究了三次方程的根的几何作图法，提出了利用圆锥曲线图形求根
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< br>的理论，
这是阿拉伯数学最重大的成就之一。
（阿拉伯中
期数学界谁与别人合作编写
的中世纪最紧密的哲拉里历，
每隔<
/p>
5000
年才相差一天，
其精确程度由此
可见一斑？
谁提出了利用圆锥曲线图形求根的理论，
这是阿拉伯
数学最重大的成就之一？）
（
43
）<
/p>
阿拉伯后期数学（
13
世纪至
15
世纪）
3.2.2
阿拉伯的算术与代数
阿拉伯的算术成就最杰出者首推花拉子米，但他的原著已经失传，今天看到的
是
14
世纪中叶的拉丁文译本，
此书是用阿拉伯文介绍印度数码、
十进位值数制和计
算方法的
最早的著作。
花拉子米在书中给出了符号
“
0
”
，
以及
0
在十进位值数制中的
作用及运算规则，书中除整数运算外，
还包括分数及其运算。在叙述主要用于天文
学的
60
进制分数运算法则的同时，
也给出了普通分数的运算，
不过他们在通分时取
分母的乘积为公分母，
似乎也不会约分
。
（
阿拉伯的算术成就最杰出者首推谁？）
（
44
）
花拉子米的
《代数学》
，
无论在内容
还是风格上都代表了一个新的起点。
该书首
先把代数学作为一门
有别于其他学科的、独立的数学分支来处理。花拉子米的著作
完全用文字叙述。
（花拉子米的
《代数学》
首先把代数学作为一门
什么来处理？花拉
子米的著作是完全用文字叙述吗？）
（
44
）
在花拉子米
的著作中，
一个代数式中的项即可指数
（包括无理数）
，
也可指几何
量，
这正
是优于希腊代数的地方。
（花拉子米的代数在哪些地方优于希腊代数？）
花
拉子米采取演算与论证并举的方式来阐述解方程的过程。
（
花拉子米采取什么方式来
阐述解方程的过程？）
（
45
）
花拉子米在分别讨论了
6
种类型的方程之后指出：
通过
“
复原
”
与
“
对消
”
两
种变
换，可将其他形式的一次、二次方程化成这
6
种标准方程，这里所谓的
“
复原
”
与
“
对
消
”
，
相当于今天的移项和合并同类项
，
他将这两种变换看作是解方程的两种最基本
的变换。
（花拉子米认为通过
“
复原
”
与
“
对消
”
两种变换，
可将其他形式的几次方程化
成这
6
种标准方程）
（
45
）
事实上，他的《
代数学》这本书的原名就是由
“
复原
”
和
“
对消
”<
/p>
两词组合而成的，
在传抄过程中逐渐演化成今日的
“
代数
”
，由此可见这本书在
代数发展史上的地位。
（花拉子米的《代数学》的原名是由哪两个词组合而成的？）
（
45
）
奥马
.
海雅姆在他的《代数学》中用圆锥曲线
来解代数方程，是阿拉伯数学中最
有创见的成就之一。
（几何方
法解代数问题是最有创建的成就之一。
）
（
45
）
事实上，海雅姆对一元三
次方程进行了系统的分类，并详尽地研究了每类方程
的解法，虽然他给出的只是方程的正
根，且最终还是通过度量所得到的精度不高的
近似值，
但这无疑
是对古希腊圆锥曲线论的发展。
阿布
.
瓦法也曾尝试过类似的方法，
特别令我们感兴趣的是，
在他的<
/p>
《算术的应用》
一书中，
解二次方程时应
用了负数。
（海雅姆对什么方程进行了系统的分类，并详尽地研究了每类方程的解法？阿
布
.
瓦法在解二次方程时应用了负数？）
（
46
）
3.2.3
阿拉伯的几何与三角
阿拉伯数学家在翻译和注释《几何原本》等希腊著作的基础上，也展开了对几
何的研究。
值得注意的是，
这一时期许多阿拉伯数学家
都对平行公设问题作了探讨，
得到了许多关于平行线的结论，
并
因此而成为探讨平行公设问题的先驱。
（阿拉伯数
学家在翻译和
注释
《几何原本》
等希腊著作的基础上，
也对平行公设问题作了探讨？）
（
46
）
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< br>在阿拉伯几何中，最精彩的篇章是卡西关于圆周率的计算。
（在阿拉伯几何中，<
/p>
最精彩的篇章是卡西关于什么的计算？）
卡西求得
π
=3.141 592
653 589 793 2
精确到小数点后
16
位，这也使卡西成为
中国境外第一个应用十进小数的人。
< br>（
卡西凭什么成为中国境外第一个应用十进小数
的人？）
（
47
）
<
/p>
阿拉伯人的三角融会了希腊和印度的长处，特别的是，他们像印度人一样，计
算半弦之长而不是全弦之长。巴塔尼掌握了
6
种三角
线的概念和相互关系，研究了
三角形的解法，其基本方法是作出某一边上的高，把问题转
化为直角三角形来解。
（巴塔尼掌握了
6
种三角线的概念和相互关系，研究了三角形的解法，其基本方法
是什么？）
（
47
）
阿布
.
瓦法对三角学的贡献在于把所有三角线都定在
同一个圆中。
（阿布
.
瓦法对
三角学的贡献是什么？）
（
47
）
纳西尔丁
.
图西在
《论四边形》
中较完整地建立起三角形的系统
。
这部著作在
15
世纪时即传入欧洲，
对欧洲三角学的发展产生了重要的影响。
（纳西尔丁
.
图西在
《论
四边形》中
较完整地建立起三角形的系统。这部著作在哪个世纪时即传入欧洲，对
欧洲三角学的发展
产生了重要的影响？
）
（
47
）
从
8
世纪到
14
世纪期间，<
/p>
在欧洲的数学发展处于低潮时期，
阿拉伯人在数学方
面取得了显著成绩，虽然其创造性和深刻性比不上希腊数学，但是相对于当时的欧
洲和地中海地域来说，他们算得上是最有学问的人了。
（从
8
世纪到
14
世纪期间，
阿拉伯人在数学方面其创造性和深刻性比不上希腊数学。
< br>）
（
47
）
更重要的是，阿拉伯人担负起精神财富的保存者和传输者的使命，把印度和希
腊的数学传播到欧洲，
对欧洲和整个世界数学的发展作出了巨大的贡
献。
（从
8
世纪
到
14
世纪期间，
阿拉伯人担负起精
神财富的保存者和传输者的使命，
把印度和希腊
的数学传播到欧
洲，对欧洲和整个世界数学的发展作出了巨大的贡献。
）
（
47
）
思考题：
1
、
印度数学对世界数学发展最重要的贡献是什么？他们的数学
发展有何重要特色？
2
、由印度人首
创的十进位值制记数法以及相应的印度——阿拉伯数码被后人
成为“科学的语言”，试阐述这一科学的记数体系形成的过程以及历代数
学家对此所做出的贡献。
3
、在印度数学中，不定方程的解法是一个十分重要的成就。进一步查阅相关
资料，探讨印度数学家不定方程解法的创新与不足。
4
、阿拉伯数学对世界数学发展最重要的贡献是什么？他们的数学研
究有哪些重
要特色？
5
、阿尔·花拉子米是阿拉伯最杰出的数学家之一，他对代数学的发展有着十
分
重要的贡献。试述他在代数方程的解法方面所取得的成就。
<
/p>
6
、卡西除了在高次方程的解法等方面有十分杰出的贡献，他对圆
周率的研究也
是数学史上一道亮丽的风景。试解释他的割圆术
，并将他的方法与古希腊的
阿基米德、中国的刘徽等人的工作进行比较。
7
、试比较印度、阿拉伯数学与古希腊数学的异同。
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第四章
源远流长、成就卓著的中国古代数学
一、教学时间安排：
4
学时
二、教学目的、要求：
1
、了解中国《九章算术》的重要成就及其包含的数学思想；
2
、了解从刘徽、祖冲之等人的重要数学贡献；
3
、了解中国传统数学的特点。
三、教学的重点和难点：
中国《九章
算术》的重要成就及其包含的数学思想、刘徽、祖冲之等人的
重要数学贡献、中国传统数
学的特点的介绍。
四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助
五、教学过程设计：导入、新授课、小结
六、教学内容。
中国是一个有着悠久
历史和灿烂文化的文明古国。中国古代的四大发明曾经极
大地推动了世界文明的进步。同
样，作为中国文化的一个重要组成部分，中国古代
数学，由于其自身的历史渊源和独特的
发展过程，形成了与西方迥然不同的风格，
成为世界数学发展的历史长河中的一支不容忽
视的源头。
（
49
）
< br>
数学是中国古代最为发达的学科之一，
通常称为
“
算术
”
即
“
算数之术
”
。
就是说，
古代中国的术语
“
< br>算术
”
相当于英文中的
math
ematics,
而不是
arithmetic
，所研究的内
容大体上是今天数学教科书中的算术、代数、几何、三角等方面的
内容。后来，算
术又称为算学、算法。宋元时期开始使用
“
数学
”
一词，此后算学、数学两词并用。<
/p>
1939
年
6
月
，经中国数学名词审查委员会确定用
“
数学
”
而不再用
“
算学
”
。
（中国什
么时候开始使用
“
数学
”
一词
，
此后算学、
数学两词并用？
哪年
6
月，
经什么审
查委
员会确定用
“
数学
”
而不再用
“
算学
”
？）
与世界上其他民族的数学相比，中国数学源远流长，成就卓越。
（
49
）
4.1
先秦时期
—
中国古代数学的萌芽
中国是世界著名的文明古国，和古巴比伦、埃及和印度一样，他也是人类文化
的发源地之一。数学作为中国文化的重要组成部分，它的起源可以追溯到遥远的古
代。根据古籍记载、考古发现以及其他文字资料推测，至少在公元前
3
000
年左右，
在中华古老的土地上就有了数学的萌芽。
（中国数学起源可以追溯到遥远的古代，
至
少
在公元前多少年左右就有了数学萌芽？）
（
49
）
先秦时期，中国数学成就主要有以下几点：结绳记
事；规矩的使用；十进位制
记数法、分数的应用及筹算；精湛的几何思想；数学教育的开
始。
（先秦时期，中国
数学成就主要有？）
（
49
）
中国古代记数方法的起源是很早的。
据
《易
< br>.
系辞传》
称：
“
上古结绳而治
”
；
《易
.
九家义》明确地解释了这种方法：
“
事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，
随物众寡。
”
这种结绳记事的方法是很古老的。
（）
（
50
）
规矩是中国传统的几何工具。
“
圆者中规，方者
中矩
”
说明它们分别用于圆与方
的问题
。
（圆规、曲尺）
（
50
）
规与矩的使用，对于后来几何学的产生和发展有
着重要的意义，中国传统几何
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学大部分内容都是围绕圆与勾股形展开的，这与古代中国人擅长使用规与矩的关系
< br>是十分密切的。
（为什么中国传统几何学大部分内容都是围绕圆与勾股形展开的？
）
（
50
）
4.1.3
十进位制记数法、分数的应用及筹算
在中国第二个奴隶制王朝商代
（公元前
16
世纪到公元前
12
世纪
）
，
甲骨文已发
展成熟。据对河南安阳
发掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古证明，中国当时已采用
了
“
十进位制值记数法
”
，并有十、百、千
、万等专用的大数名称。这是对世界数学
最伟大的贡献，
正如李
约瑟博士所指出的那样：
“
如果没有这种十进位制，
就几乎不
可能出现我们现在这个统一化的世界了。
”
（中国古代数学已采用了
“
十进位制
值记
数法
”
并有十、
< br>百、
千、
万等专用的大数名称。
为什么这是对世界数学最伟大的贡献？）
（
51
）
而这一点又正是同时代的古埃及和古巴比伦数学所
不及的。除了整数以外，中
国古代对分数概念的认识也比较早，
分数的概念及其应用，
在
《管子》
、<
/p>
《墨子》
、
《商
君书》
、
《考工记》等春秋战国时代的书籍中都有明确的记载，
到春秋战国时代，算
术四则运算已经成熟。据汉时燕人韩婴所撰的《韩诗外传》介绍，标
志着乘除法运
算法则成熟的
“
九九歌<
/p>
”
在春秋时代已相当普及。
《吕氏春秋》还载有这样一个有趣的故事：在春秋时代的齐国，齐恒公执政的
时候，有一个人熟背
“
九九歌
”
，便向齐恒公毛遂自荐，齐恒公问他：
“
难
道仅仅因为
你精通九九之术，我便要用你吗？
”
这个人回答：
“
如果君王对我这样一个仅会九九
歌的人都能礼遇重用，
还怕真正有才能的人不来为君主效力吗？
”
齐恒公是否厚待此
人不得而知，但这至少从
一个侧面说明了当时九九歌已被人们广泛地应用了。
算筹是中
国古代的计算工具，筹即小竹棍或小木棍（也用骨、金属材料或象牙
制成的）从出土的汉
代算筹可以知道，这种算筹比我们日常使用的筷子稍短稍细一
点，古人就用它来进行计算
，相应的一套算法也就称为筹算。
从春秋战国时期一直到元代
末年，算筹在我国沿用了两千多年。用算筹表示数
有纵横两种摆法：记数时与十进位值制
相配合，采用从左到右（或从上到下）纵横
相间的摆法。如
67
28
表示为
…
；如遇零时则空一格，如
6708
，表示为
…
< br>。即使这
种空位很小，也会纵横相间的法则看出。与巴比伦相比，他们虽然也早有
位值制的
思想，但由于没有零的记号，辨别一个具体的数时，往往令人难以琢磨。
4.1.4
精湛的几何思想
除了那些出土的陶瓷等给我们展示了那个时代各种精美的几何图形外，更令我
们感兴趣的是战国时期（公元前
475
—
< br>公元前
221
年）的诸子百家，和古希腊的数
学学派一样，他们的著作包含了理论数学的萌芽，其中最为杰出的是
“
墨家
”
和
“
名
家
”
。
墨家的代表著作《墨经》记载了许多几何概念，如
“
平，同高也
”
（即两条直线或两个平面间的距离处处相等称为平行）
；<
/p>
“
中，同长也
”
（即直线段的中点至两端点的距离相等，或圆的圆心（球的球心）
到圆周（球表面）的距离相等）
；
“
圆，一中同长也
”
（即圆或球，皆
有一个中心，即圆心或球心，圆周或球表面
上任一点到中心的距离相等）
；
这些都是中国古代学者试图用形式逻辑的方法定义
几何概念的明证。在这部著
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作中甚至还涉及到有穷和无穷的概念，称
“
或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也。
”
名家以善辩著称，对无穷的概念有着更深刻的认识。据《庄子》记载，名家的
代表人物惠施曾提出：
“
至大无外谓之大一，至小无外谓之小一
”
。
这里的
“
大一
”
、
“
小一
”
有无穷小的意思。此外，
《庄子》中还记载
了许多著名的
论断：
“
一尺之棰，日取其半，万世不竭
”
（即一尺的木棒，
第一日截去一半，第二日
截去剩下一半的一半，如此下去，永远都不会截取完的）
；
“
飞鸟之影，未
尝动也；镞矢之疾，而有不行不止时
”
（即天上飞行的鸟不一定
就是动的；飞速射来的箭既不是运动的，也不是静止的）
；
这些可以说与古希腊的芝诺悖论具有异曲同工之妙，也是世界数学
史早期最光
辉的数学思想之一。
4.1.5
数学教育的开始
我国的甲骨文中早就有了关于教育的记载。
而记载周代教育制度的古老典
籍
《周
礼
.
地
官》中保氏一节称：
“
保氏掌谏王恶，而养国子以道，乃教之六
艺：一曰五礼，
二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数。
”
其中礼、乐、射、御为大
艺，书、数为小艺。
（艺：才能、技能）前者为大学所授，后者乃小学所习。
（数
学在周代教育中是算大艺还是小艺？）
（
53
）
并称：<
/p>
“
六年教之数，十年学书计。
”
可见，早在周代，国家就已把数学列为贵
族子弟的必修课艺之一，从六岁
或十岁就教数数及计算了。对数学教学如此重视，
且以典制的形式规定下来，
这在世界历史上是罕见的。
（
周代从几岁开始学数
？）
（
53
）
4.2
汉代时期
—
中国传统数学体系的形成
从汉代开始，中国的经济文化有
了进一步的发展，经济的繁荣给科学的进步提
供了物质基础，特别是从秦代开始实施的文
字与度量衡的统一、铁器的使用以及大
量兴修水利工程和水路交通的工程，为人们探索大
自然的奥秘增强了动力，数学也
有了长足的发展，
其主要标志是
以
《九章算术》
为代表的中国传统数学体系的形成。
（中国古代数学从哪个朝代开始有了长足的发展，其主要标志是以《九章算术》为
< br>代表的中国传统数学体系的形成？）
（
53
）
4.2.1
《周髀算经》和勾股定理
《汉书
.
艺文志》所记载的《杜忠算术
》与《许商算术》大概是中国有记载可考
得最早的数学著作，
可
惜均已失传。
（中国有记载可考得最早的，
可惜均已失传的数<
/p>
学著作是哪两本？）
1984
年，湖北江
陵张家山出土了一部汉简《算数书》
，据考证，
此书是汉高祖到
汉文帝时期的一部数学著作，它也是中国目前所能见到的最早的数
学专著。
（中国目前所能见到的最早的数学专著是
《九章算术》
吗？是哪一本？）
该
书以问题集的体例编纂，全书共
90
题，包括整数、分数的四则运算，比例问题，面
积和体积等，大部分内容与《九章算术》相似。
（
1984
年，湖北江陵张家山出土了
一部汉简
《算数书》以什么样的体例编纂？该书共几个问题？）
（
53<
/p>
）
比
《九章算
术》
稍早且流传下来的一部重要的著作是
《周髀算经》
，
该书原名
《周
髀》<
/p>
，大约成书于公元前
2
世纪的西汉时期，
，其中许多内容甚至可以追溯到西周。
唐代李淳风在为国子监明
算科选定教科书时将其列入
《算经十书》
，
并改名为
《周髀
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算经》
，
（
《周髀》时候改名为《周髀算经》？《周髀》大约成书于什么时期？）
< br>（
53
）
严格地讲，
《周髀算经》
并不是一本数学专著，
而是一本介绍
“
盖天说
”
宇宙模型
的天文学著作，但它包含了相当深刻的数学内容，其主
要成就包括分数运算、勾股
定理及其在天文测量中的应用。
（<
/p>
《周髀算经》是一本数学专著吗？含有哪些重要数
学内容？主要应
用于哪些领域？）
（
53
）
《周髀算经》是我国最早记录有关勾股定理的著作。
（
53
）
中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的数学家赵爽给出的。赵爽是中国
历史上首
次对《周髀》进行认真研究和注释的学者。他的工作主要包括三个方面的
内容：
一为文字解释，
二是较详细地数学理论推演，
三
是补图。
其中最为精彩的是
“
勾
股圆方图注
”
。
（中
国关于勾股定理的证明最早是由谁给出的？赵爽是对《周髀》进
行认真研究和注释的学者
。他的工作主要包括哪些方面的内容？）
（
54
）
4.2.2
《九章算术》
标志着中国传统数学理论体系形成的是
《九章算术》
。
该书的作者和成书年代难
以确切地考证。众多学者认为，它
成书于西汉末年东汉初，即公元
1
世纪初。中国
的数学，经过长期的积累，到西汉时已有很丰富的内容，但这些内容之间缺乏内在
的联系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种的联系，例如墨家学派曾尝试过用
逻辑
方法建立某种联系，但没有成功。也许正是这种原因，确定了《九章算术》所
特有的处理
方式，并形成了中国传统的数学体系。
（
《九章算术》的成书是
中国传统
数学理论体系形成的标志？
《九章算术》
的作者是谁？成书于何时期？
《九章算术》
所特有的处理方式？
—
见
P55
）
（
54
< br>）
（
《九章算术》
是从先秦至西
汉中叶的长时期里，
经众多学者编纂、修改而成的一部书学著作。
）
《九章算术》全书采用问题集的形式，书中每道题皆有问
有答有术。其中
“
术
”
通常是解题的思想方法、公式和法则，有的一题一术，有的多题一术，有的一题多
术。全书内容丰富，且密切联系实际，
《九章算术》全书共有
246
个应用题，基本上
都是与生产实践、日常生活有联系的实
际应用问题。这些问题分别隶属于方田、粟
米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程
和勾股九章。
（
《九章算术》是问题
集吗？
“
有问有答有术
”
的
“
术
”
是指什么？全书共有几个应用题？这些问题分别隶属
于哪
几章？）
（
55
）
对于每类问题，
《九章算术》
中
都给出了统一的解法，
它们相当于一些初等数学
定理和公式，但
没有证明，解法大多数是正确的，有些是近似的，极少数有错误。
（对于每类问题，
《九章算术》
中都给出了统一的解法，
它们
相当于一些初等数学定
理和公式，是否给于证明？）
（
55
）
《九章算术》
第八章
“
方程
”
主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元。
在解方程组时，将方程组的系数（包
括常数）分离出来排成一个数表，相当于现在
线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩
阵初等变换的方法消元，这一思想在数
学发展史上是非常重要的，在西方被称为
“
高斯消去法
”
。
（
56
）
“
方程
”
章的另一个
重点就是对负数的概念、运算进行了研究。在解方程的过程
中，由于无法回避被减数小于
减数的情况出现，故提出了
“
以正负术入之
”
。即引入
负数及其运算法则。
（
《九章算术》有对负数的概念、运算进行研究吗？）
（
57
）
第九章
“
勾股
”
主要讨论有
关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量。
（
57
）
《九章算术》注重实际问题和长于计算的特点
，对中国传统数学的发展有着极
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< br>
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其深刻的影响。可以说，与西方数学的演绎推理相映生辉的具有中国特色的算法体
系的形成即始于
《九章算术》
。
《九章算术》
成书以后，
便成为中国传统数学的经典，
特别是唐代以来，经官方认定该书成为
“
算经
十书
”
中最重要的一部，成为后来的数
学家们学习、
研究和著述的依据。
（与西方数学的演绎推理相映
生辉的具有中国特色
的算法体系的形成始于什么著作的成书？
《九章算术》
成书以后，
成为后来的数
学
家们学习、研究和著述的依据？
）
（
58
）
4.2.3
刘徽和祖氏父子
1.
刘徽的数学贡献（魏晋时期人）
数学史界的一个普遍的观点是，如果离开了刘徽的《九章算术注》去研究《九
章算术》
，则很难深入理解《九章算术》的精髓。事实上，刘徽的《九章算
术注》对
于阐发《九章算术》的思想方法，发展《九章算术》的理论，完善《九章算术》
的
体系，做出了杰出的贡献。
（
《九章
算术注》对《九章算术》的贡献是什么？）
（
58
）
刘徽，魏晋时期人，年轻时十分好学，尤其喜欢
数学。在当时的数学著作中，
《九章算术》的不少数学问题难度较大，理论色彩也较浓。
一般学者难以掌握，为
了进一步探索数学的奥秘，让更多人掌握数学，刘徽立志要对《九
章算术》作更深
入的研究。
（）
（
58
）
刘徽经过
多年的刻苦钻研，不仅逐步领会了《九章算术》的精神实质，而且对
其中的深奥玄妙之处
有了较透彻的理解，于是他决心把自己的研究所得以对《九章
算术》作注的形式一一记载
下来。为了使自己的叙述通俗化，他为自己规定的目标
是用言辞来分析与表达道理，用图
形来建立几何直观帮助解决问题。公元
263
年，
刘徽的
《九章算术注》
终于问世了，
书中载录了刘徽在数学上的许多重要贡献。
（刘
徽在什
么情况下决定对《九章算术》作注？刘徽在为《九章算术》作注时给自己规
定了什么原则
？刘徽的《九章算术注》成书于何年？）
（
58
）
在算术方面，刘徽阐发了《九章算术》中的分数理
论。他的分数的意义、表示
方法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平，并已接近于
近代的成熟程度。他
把分数看成比，由此发展出
“
率
”
的概念，又在
“
率
”
的基础上提出了算术中的比例理
论、
“
盈不足
”
方法等，成为中国传统算法理论发展的重要基础，并传入印度、阿拉
伯
和欧洲，
对这些地区数学的发展产生了较大的影响。
（在算术方
面，
刘徽阐发了分
数理论。
他的分数的
意义、
表示方法、
运算法则等代表了当时世界上的最高水平吗？
刘徽把分数看成比，由此发展出
“
率<
/p>
”
的概念，成为中国传统算法理论发展的重要基
< br>础，
）
（
58
）
在代数方面，
《九章算术》
中的线性方程组以及正负数加减运算是当时世界上无
与伦比的两项重大成就。前者比欧洲早
1500
年，后者也早了
1200
多年，而给这两
项算法以完整的理论说明的正是刘徽。
（在代数方面，
《九章
算术》中的线性方程组
以及正负数加减运算是当时世界上无与伦比的两项重大成就。前者
比欧洲早几年，
后者也早了几多年，而给这两项算法以完整的理论说明的是哪位数学家？
）
（
59
）
刘徽第一个给出了方程的定义并揭示了方程组的同解原理。对于正负数，刘徽
的定义可以说是经典型的。他把正与负看成是相对存在的数的两种情况，从这一认
< br>识出发，刘徽在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的
做法。他还运用平面与立体图形对中国古代的开平方与开立方法作出了直观解释，
这种方
法对于帮助读者正确理解与掌握开方程序是非常有益的。此外，他由取平方
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< br>根的近似值而提出的小数概念和表示方法，不仅明显具有近代特征，而且比欧洲最
早的小数
——
斯蒂文的小数记法要早出
1300
多年。
（谁第一个给出了方程的定义并
揭示了方程组的同解原理？谁在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算
关系统一起来的做法？刘徽由取平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法，不
仅明
显具有近代特征，而且比欧洲最早的小数
——
斯蒂文的小数记法
要早出多少
年？）
（
59
）
在几何方面，刘徽的贡献尤为突出，他是具有中
国特色的传统几何理论的奠基
者。他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予
以科学的证明。这些方
法包括
“
图形割
补法
”
、
“
代
数法
”
、
“
极
限法
”
以及
“
无穷小分割法
”
等等，其中最常用
的是
图形割补法，这与他提出的
“
解体以图
”
的目标是一致的。刘徽对用图很考究，
不仅对插图施以颜色，
用黄、朱、青三种颜色标出各种不同的图形，而且强调要
“
按<
/p>
图为位
”
，
使图
形与文字互相对照。
特别是他为证明立体的体积公式所采用的立体图
形割补法尤为出色。
（
谁是中国特色传统几何理论的奠基者
？刘徽在几何证明中最常
用的是的是图形割补法，这与他提出的什么的目标是一致的？）
（
59
）
<
/p>
刘徽的
“
割圆术
”
的基本思想是
“
化圆为方
”
，并借助于极限的方法。
（刘徽的
“
割
圆术
”
的基本思想是什么？）
（
59
）
体积理论。刘徽首先将一个长方体剖分，得到了几个（四种
）基本的几何体。
利用这四种基本几何体，将其它的几何体加以恰当的分割，就可以方便
地求出它们
的体积了。人们把刘徽的这种方法称为
“
棋验法
”
。
（
61
）
显然，刘徽能熟
练地运用了出入相补原理和无穷分求和原理。
（
61
）
刘徽一生不仅成就卓著，而且品格高尚。在学
术研究中，他既不迷信古人，也
不自命不凡，而是坚持实事求是，以理服人。
（
61
）
刘徽的
“
牟合方盖
”
：以正方体相邻的两个侧面为底分别作两次内切圆柱切割，
剔除外部，
剩下的内核部分刘徽称之为
“
牟合方盖
”
。刘徽对于牟合方盖的体积如何
求处，百思不得其解，故最后
不得不
“
付之缺疑，以俟能言者
”
。由此我们可以看出
刘徽学术研究中的严谨与谦逊的态度，也许正是
这二者的结合，使得刘徽在数学研
究方面作出了举世瞩目的成就，
给后人留下丰富的文化财富。
（刘徽的品格如何？什
么是刘徽
的
“
牟合方盖
”
？刘徽是否解决了
“
牟合方盖
”
问题？
“
付之缺
疑，以俟能言
者
”
< br>谁的名言？什么意思？）
（
62
）
（
4
）勾
股测量
刘徽不仅注重数学理论研究，
而且也注重数学的实际应用。
他在为
《九章算术》
作注的同时，还实际处理了许多测量问题。他的另一部著作《海岛算经》
<
/p>
，就是在
测量的具体实践过程中总结而成的关于
< br>“
测高望远之术
”
的专著。该书
共九问，涉及
到的勾股测量方法有重表、累矩、连索以及两望、三望、四望。
《海岛算经》是刘徽对中国古代重差理论的进一步发展，展示了勾股比率
和重
差测量的演化历程，
标志着中算家在测量技术及理论方面所
达到的新的高度。
（什么
标志着古代中算家在测量技术及理论方
面所达到的新的高度？）
（
63
）
2.
祖氏父子的数学贡献
祖冲之（
429
—
500
）
，字文远，祖籍范阳道县。他生活在南北朝，家学渊博，加<
/p>
上他自幼刻苦勤奋，对天文、数学有浓厚的兴趣，而成为一位博学多才的天文学家
与数学家、机械制造专家、文学家。他编织的《大明历》
，首次考虑到岁
差的计算，
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< br>其日、月运行周期的数据也比当时颁行的历法精确。此外，它还改造了指南车，制
造了水碓磨、千里船等。他的儿子祖暅，字景烁，也精通历法、数学。父子俩都对
《九章
算术》
与刘徽注有浓厚的兴趣，
他们的著作
《缀术》
在唐代曾被李淳风收入
“
算
经十书
”
作为数学教科书。
（谁编织的《大明历》
，首次考虑到岁差的计算，其日、月
运行周期的数据也比当时颁行的历法精确？谁的著作《缀术》在唐代曾被李淳风收
入
“
算经十书
”
< br>作为数学教科书？）
（
63
）<
/p>
祖冲之继承了刘徽的思想，其最突出的成就是对圆周率的推算。
由于中国古代
习惯使用分数，故祖冲之又给出了圆周率的两个分数值：密率为
355/113
；约率为
22/7.
其中密率在欧洲由德国数学家奥托于
1573
年得到
，这比祖冲之要晚
1100
年之
久。<
/p>
密率是一个很好的分数近似值。
（祖冲之继承了谁的思想，
其最突出的成就是对
圆周率的推算？祖冲之又给出了圆周率的几个分数
值？祖冲之的圆周率比德国数学
家奥托早多少年？）
（
64
）
（球体积的推导和圆周率的计算是祖冲之
本人引以为荣的
两大数学成就。
）
<
/p>
祖氏父子在研究
《九章算术》
及刘徽注时
发现了刘徽遗留下来的如何计算
“
牟合
方盖
”
的体积问题，
并开始沿着刘徽开
辟的道路继续探索。
经父子两代人不懈的努力，
终于由祖暅解决
了牟合方盖体积的计算，得到牟合方盖与其外切正方形的体积之比
为
2/3
。祖氏父子所用的方法论证严谨，推导完善，无懈可击；同时，祖暅还将其<
/p>
推导过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用过的不可分量原理，总结提炼成一般
的命题。
（祖氏父子在数学方面是沿着谁开辟的道路继续探索？刘徽的<
/p>
“
牟合方盖
”
体
积计算问题最终是由谁给解决了？祖暅得到牟合方盖与其外切正方形的体积之比
是多少？
）
（
64
）
“
缘幂势既同，则积不容异
”——“<
/p>
祖暅原理
”
。
（
“
缘幂势既同，则积不容异
”
是
谁的原理？）<
/p>
（
64
）
“
祖暅原理
”
在西
方数学界被称为
“
卡瓦列利原理
”
（
17
世纪意大利数学家卡瓦列
利发现的，
比祖暅晚了
1100
< br>多年。
）
（西方数学界的
“
卡瓦列利原理
”
是古代中国的什
么原理？
“
祖暅原理
”<
/p>
比
“
卡瓦列利原理
”
早多少年？
）
< br>（
64
）
由于祖氏父子的著作均已失传，他们的这一研究成果幸亏被唐代李淳风摘录在
《九章
算术》中，才使我们见到这一光辉成就。
（）
（
65
）
4.2.4
《算经十书》
魏晋时期是中国古代学术研究继春秋战国以后又一个繁荣时期。刘徽注《九章
算术》
、
赵爽注
《周髀》
及祖氏父子的工作，
使中国古代数学在理论研究方面达到了
一个新的高度。这一时期的数学著作较多，流传至今的就有《孙子算经》
、
《张邱建
算经》
、
《五曹算经》
、
《五经算术》
、
《数术记遗》和《夏侯阳算经》等，这些著作大
多反映了当时社会各方
面的需要，在内容上基本是《九章算术》的沿袭与补充，在
编写风格上也大多数模仿
《九章算术》
。
这些著作的出现，
标志着数学研究的深入和
数学教育的普及。
（）
（
65
）
<
/p>
隋唐时期是中国封建社会发展的鼎盛时期，社会稳定，农业生产发展迅速，使
得与生产密切相关的历法、数学又有了长足的进步。从隋代开始，中国有了专门的
数学教育机构，在其最高学府
—
国子监中，设立算学科，专
门从事数学教学。唐朝
建立以后，在隋的基础上，继续在国子监中设立数学教育机构，他
们把数学教育与
明经、明法、明书等并列为六科，称作明算科，设有算学博士与算学助教
各二人，
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< br>并招收算学生
80
人。
（从什么
朝代开始，中国有了专门的数学教育机构，在其最高
学府
—
国子监中，
设立算学科，
专门从事数学教学
？唐朝建立以后，
在隋的基础上，
继续在国子监中设立数学教育
机构，他们把数学教育与明经、明法、明书等并列为
六科，称作什么科？设有算学博士与
算学助教各几人？并招收算学生几人？）
（
65
）
为了教学的需要，由数学家李淳风等人共同审定并
注释了十部算经作为数学教
材。这十部著作是《周髀算经》
、<
/p>
《九章算术》
、
《海岛算经》
、
《孙子算经》
、
《张邱
建
算经》
、
《五曹算经》
、
《五经算术》
、
《夏侯阳
算经》
、
《缀术》
、
< br>《缉古算经》
。这就是历
史上著名的
“
算经十书
”
，其记载了汉唐数学
成就，并成为后人数学教学与研究的重
要源泉。
（历史上著名的
“
算经十书
”
是哪写？）
（
65
）
《孙子算经》
出现在
4
—
5
世纪，
其具体成书年代与作者姓名已不可考，
这是继
《
九章算术》
之后又一部重要的数学著作。
从其内容特色来看，<
/p>
他以实际应用为主，
注重计算技术，题目通俗有趣，解法巧妙简便
，在中国古代数学著作中是很有代表
性的。
（
< br>
《孙子算经》出现在哪个世纪？其作者是谁？这是继《九章算术》之后又
一部重要的数学著作。
）
（
< br>65
）
《张邱建算经》三卷，
为
5
世纪时期北魏人张邱建所撰。其主要数学成就有：
最大公约数与最小公倍数的应用、
等差数列、
开
带从平方和不定方程。
著名的
“
百鸡<
/p>
问题
”
既出自此书。
（）
（
67
）
《五曹算经》为北周甄鸾所撰，共
5
卷。分别介绍田曹、兵曹、集曹、仓曹和
金朝五个行政职能部门的数学应用问题，是
一本为地方行政官员编写的实用算术手
册。
< br>《五经算术》
为北周甄鸾所撰，
共
2
卷。
该书对
《尚书》
、
《诗经》
、
《周易》
、
《礼
记》和《论语》等儒家经典及古代经
师的注解中所涉及的数学知识进行解释，但数
学内容不深。
（<
/p>
67
）
《夏侯
阳算经》
作者不详，
（原著不存在了）该书共
< br>3
卷，
较为重要的是有许多
关于
捷算方法的记载。
（
《夏侯阳算经》
重要的是有许多关于捷算方法的记载。
）
（
67
）
《缉古算经》为唐代数学家王孝通所撰。全书共
20
题，最重要的有堤岸的体
积计算公式和对高次方程的研究，
弥补了
《九章算术》
与
《缀
术》
等书的不足。
（
《缉
古算经》
为谁所撰？全书共几
题？最重要的有什么体积计算公式和对什么方程的研
究？
弥补了《九章算术》与《缀术》等书的不足。
）
（
67
）
尽管隋唐时期对数学教育十分重视，但就数学成就而言，这一时期并不十分突
出
。不过也还是出现了一些数学成就。如在天文历法的研究中，隋代卓越的天文学
家刘焯（
544
—
610
）在《周髀算经》中一次内插法的启发下，首先在天文历法研究
中应用了等间距二次内
插法公式。接着，唐代的僧一行（俗名张遂，
687
—
727
）推
广建立了不等间距的二次内插法公式
，
及数学史上有名的
“
张遂内插法公式
”
，
同时，
僧
一行还组织了世界上第一次对地球子午线的实际测量
……
这些都
是中国数学史上
光辉的一页。
（）
（<
/p>
68
）
隋唐时
期中国数学发展的两件大事：
（
1
）数
学教育制度的建立，
（
2
）数学典籍<
/p>
的整理。
（但愿别像帕波斯的《数学汇编》的结局）
4.3
宋元时期
—
中国传统数学的兴盛
中国数学史上的
“
宋元四大家
”—
杨
辉、秦九韶、李冶、朱世杰。
（中国数学史上
的
“
宋元四大家
”
指的是谁？）
word
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< br>宋代结束了五代十国的封建割据的局面以后，出现了社会稳定、生产发展、经
济繁
荣的景象，特别是统治者鼓励发展科学技术，同时改革旧的科举制度，极大地
推动了科学
文化技术的发展。闻名于世的中国古代
“
四大发明
”
中的指南针、火药和
活字印刷这三大发明就都是在
宋代完成并获得广泛的应用的。到了元代，蒙古骑兵
占领了亚欧大陆的广大地区，促进了
中外交流，印刷术的发展也推动了数学教育与
研究，再加上前一时期数学知识的大量积累
，诸多因素的汇集，促使中国以算筹为
主要工具的传统数学出现了极其辉煌的成就，
达到了兴盛时期。
（元代，
以什么为主
要工具的中国传统数学出现了极其辉煌的成就，达到了兴盛时期？）
（
68
）
宋
元时期，是中国传统数学兴盛时期。这一时期的一个显著的标志是数学家及
其数学著作的
大批出现。
（宋元时期，
是中国传统数学兴盛时期。
其显著的标志是什
么？）据不完整统计，著名数学家数十人，有记载的数学
专著百余种，远远超出了
前面的各个时期。数学内容也有了显著的变化，如果说由赵君卿
、刘徽至王孝通的
这一时期，几何学得到了高度发展，那么宋元高峰时期基本上是以代数
为中心的时
期。
（宋元高峰时期的数学基本上是以什么为中心的
时期？）
（
68
）
宋元时期，关于高次方程的数值解法、线性方程组的解法、高阶等差数列、组
合数学、半符号代数以及属于数论范畴的同余式组的解法等，都达到了当时世界的
最高水平。
（宋元时期，那些代数成就达到当时世界的最高水平？）
（
68
）
4.3.1
高次方程的数值解法
《九章算术》
、
《缉古算经》等著作中所载
的开平方、开立方方法已具备了解二
次、三次方程的雏形。宋代以前，也曾经有人尝试将
这种方法推广到解更高次的方
程。
但目前明确记载并保存下来的
应是北宋数学家贾宪创造的
“
增乘开方法
”
。
（目前
明确记载并保存下来解二
次、三次方程的应是北宋数学家谁创造的
“
增乘开方
法
”
？
）
（
68
）
< br>
贾宪的著作早已失传，但其主要内容被南宋时期的数学家、数学教育家杨辉摘<
/p>
录在他自己的著作《详解九章算法》
（
1
261
）中。由此我们可以看出，贾宪的高次开
方法是以
“
开方作法本源
”
图
为基础的。
（
“
开方作法本源
”
图见教材
P69<
/p>
）
（贾宪数学
成就如何被保留下来？贾宪
的高次开方法是以什么图为基础的？）
（
69
< br>）
贾宪
“
增乘开方法
”
包括了四种运算：缩根（将方根缩小至原来的
1/10
而使其仅
保留一位整数）
，估根（通过试除确定这个整数的数值）
、减根（除去这个确定的整
数）和倍根（使方根的剩余部分扩大
10
倍而重现一位整数）
。
（贾宪
“
增乘开方法
”
包括了哪四种运算？）
（
70
）
在开方过程中，随乘随加、反复迭代，计算减根变换后方程各项系数的方法，
具有鲜明的算法特点，这与现代所用的
“
霍纳算法
”
已基本一致。
（）
（
71
）
贾宪
的
“
增乘开方法
”
尽管已经可以用于解高次方程，但贾宪本人却只是单纯地
用来处理开方问题，而且在
他以及以前的中国数学家的论述中，由开方引出的方程
其系数都是正数。
虽然
12
世纪北宋学者刘益对方程系数必须为正数，<
/p>
但由于该书的
亡失，其方法并没有流传下来。将
< br>“
增乘开方法
”
推广到高次方程
一般情况的是南宋
时期的数学家秦九韶。
（）
< br>（
71
）
《数书九章》
这部传世名著是秦九韶
1244
—
1247
年在家守孝期间撰写的，
其主
要内容是他此前十数年间埋头钻研数学的结果。这部著作继承了中国古代传
统数学
特色，特别是受《九章算术》的影响，采用了问题集的形式。全书收集了与当时社
word
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< br>会生活密切相关的
81
个数学实际应用问题，
按性质分为九类，
每类九题，
共
< br>18
卷。
其中，他推广传统的
“
开方法
”
，创立了
“
正负开方术
”
。
（）
（
71
）
4.3.2
中国剩余定理
秦九韶对同余问题的探讨，是由于它
“
不载《九章》
，未有能推者
”
，所以他
才发
愤钻研的，经过秦九韶的刻苦钻研，终于使解决一次同余式（组）问题的方法形成<
/p>
了较为系统的数学理论，其功绩是十分巨大的。
（）
（
73
）与中国相比，西方数学家
< br>对于同余式（组）的研究则要迟的多。国外研究同余问题并取得一定成绩的数学家
有：
斐波那契、
欧拉、
高斯。
他们的方法与秦九韶的
“
更相减损
”
思想完全一致。
（
73<
/p>
）
在西方，直到
18
世纪，经欧拉、拉格朗日、和高斯三代巨匠前后
60
多年的努
力，
才比较系统地建立起一次同余
式的概念。
这在当时的数学界引起了很大的轰动，
当时据世界数
学中心地位的彼得堡科学院、柏林科学院等竞相刊登这些成果，以示
祝贺。然而他们并不
知道，早在
500
年前的东方，相应的成果就已灿烂夺目了。当
然，
他们的研究也弥补了中国数学的不足，
即作出了更为细致的讨论和严格的证明。
（在西方，直到几世纪？经谁三代巨匠前后
多少年的努力？才比较系统地建立起一
次同余式的概念。西方在同余问题上的研究弥补了
中国数学的哪些不足？）
（
74
）
由于客观条件的限制，中国传统数学的这一杰出成就（一次同余式
问题）很晚
才被西方数学界所知。
（
7
4
）
1839
年，毕欧在《亚洲杂志》上发表了一篇关于程大位《算法统宗》的文章，
文中论述了<
/p>
“
孙子问题
”
，
但这个关于中国剩余定理的最早报道在欧洲并没有引起人
们的重视。
（
74
）
英国人伟烈亚力在他的论文《中国科学的论述》中论述了《孙子算经》中的
“
孙
子问题
”
，在这篇论
文中，最重要的一点是伟烈亚力首次向西方解释了秦九韶的
“
大
衍总数术
”
，
并介绍了秦九韶的第一道题的全部解说，
以及其它问题的一些注记。
1856
年，伟烈亚力的这篇论文被译成德文发表，于是，中国的
< br>“
大衍术
”
开始在欧洲数学
界为人们所知晓，但是由于伟烈亚力解释的不确切和翻译的错误，人们对这一成就
的认识并不充分。当时，德国著名数学史家康托尔在他的《关于数学的历史》一书
< br>中就认为：
“
看来中国人在不定分析研究方面比同时有文
化的民族较为逊色。
”
（
74
）
首先认识到中国
“
大衍术
”
真正意义的是德国人马蒂生。
他从
1876
年开始，
发表
了一系列论著，高度评价了秦九韶的
“
大衍求一术
”
，指出它实质上与高斯定理是等
价的，并且订正了德文翻译的错误，给出剩余问题的正确阐述。马蒂生的工作终于
改变了欧洲学者对这一问题的看法。
（首先认识到中国
“
大衍术
”
真正意义的是哪位德<
/p>
国人？马蒂生的工作改变了欧洲学者对中国什么问题的看法？）
（
74
）
康托
尔在读了马蒂生的论述后，承认这一法则（大衍求一术）的正确性并由衷
地赞美它，
称秦九韶是
“
最幸运的天才
”
。
（谁在读了马蒂生的论述后，
称秦九韶是
“
最
幸运的天才
”
？）
（
74
）
从数学史的观点来看，一篇最重要的论文
是玛赫勒
1957
年发表的
“
中国剩余定
理
”
，
正是这篇论文首次提出用中国来命名这一伟大的数学成就，
以表彰中
国数学家
们所做出的杰出贡献。这一命名很快就风行全球，并被教科书所采纳。
（
1957
年西
方谁发
表的
“
中国剩余定理
”
，首次提出用中国来命名这一伟大的数学成就？）
（
7
4
）
4.3.3
“
天元术
”
和
“
四元术
”
“
天元术
”
的产生标志着中国传统
数学发展到一个新的高度，这就是半符号代数
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的产生。由于高次方程数值解法的发展，必须引起人们对列方
程方法的探求。据研
究，这一先进的数学方法产生于
12
世纪，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》是现
存最早的系统介绍和研
究
“
天元术
”
的著作。
（
“
天元术
”
的产生标志着中国传统数学
发展到一个新的高度，这就是什么代数的产生？谁的《测圆海镜》和《益古演段》
是现存
最早的系统介绍和研究
“
天元术
”
的著作？）
（
75
）
李冶（
1192
< br>—
1279
）抛弃了那种每一项都要用一个文字来表示的
繁琐的方法，
形成了一种简捷的固定形式。作为应用，他在《测圆海镜》中利用
“
天元术
”
解决了
六七百条几何命题的证明，主要是勾股容圆问题。其《益古演段》大都阐述平面图
形的面积关系。
（）
（
7
5
）
当问题中含有不止一个未知数时
，
“
天元术
”
自然要被推广了。元代数学家朱世
杰推广了
“
< br>天元术
”
，提出了
“
四元术
”
来解四元方程，可以说这是中国筹算代数
学的
顶峰。
（元代数学家朱世杰推广了
“
天元术
”
，提出了
< br>“
四元术
”
来解四元方程，可以
说
这是中国什么代数学的顶峰？）
（
7
4
）
朱世杰是一位杰出的数学家与数
学教育家，他精通《九章算术》
，集宋、金、元
数学之大成，先
后写成《算学启蒙》三卷（
1299
年）与《四元玉鉴》三卷（
1303
年）
，前者浅显，后者深奥，
二者互为表里，互相补充，都是中国古代数学的重要著
作。
《四
元玉鉴》的主要内容之一就是对多元方程的研究。他推广
“
天元
术
”
和
“
正负
开方术
”
而给出的
“
四元术
”
，实际是一种四元高次
方程组的布列与求解方法。
（朱世
杰集什么数学之大成，先后写
成《算学启蒙》与《四元玉鉴》？）
（
75
）
在《四元玉鉴》中，朱世杰给出了四元高次方程的一种
固定记号，他引进
“
天、
地、人、物<
/p>
”
四元来表示四个未知数。
（
76
）
在
“
四元术
”
中最精彩的是所
谓
“
相消法
”
，既由该方程经过变形得到一个一元的
高次方程。其主要步骤是
“
剔而消之
”
、
“
互隐通分相消
”
和
“
内外相消
”
这三步。朱世<
/p>
杰的相消法是中国数学史上一项杰出的成就。西方这一成果要比朱世杰晚
< br>500
年。
因此，
美国科学史家
萨顿称朱世杰是
“
贯穿古今的一位最杰出的数学家
”
。
（在
《四元
玉鉴》中，朱世杰给出了四元高次方程的一种固定记号，他引进什么来表示四个未
< br>知数？在
“
四元术
”
中最精彩的是什么方法？美国科学史家萨顿称谁是
“
贯穿古今的
一位最杰出的数学家
”
？）
（
76
）
沈括的名著
《梦溪笔谈》
，
被李约瑟誉为
“
中国科
学史的里程碑
”
。
该书提出的高
阶等差数列求和的
“
隙积术
< br>”
，由圆的直径和高计算弓形弧长的
“
< br>会圆术
”
，以及计算
棋局总数的
“
棋局都数
”
等课题都具有很高的学术价值。
（谁的名著《梦溪笔谈》
，被<
/p>
谁誉为
“
中国科学史的里程碑
”
？沈括的《梦溪笔谈》提出的高阶等差数列求和的什
么术？由圆的直径和高计算什么的
“
会圆术
”
？
）
（
76
）
特别需要指出的是，宋元数学不仅是中国数学史上最辉煌的一页，同时也是中
世纪时期
世界数学史上最丰富的一页。然而，由于后继无人等诸方面的原因，中国
数学发展到宋元
高峰以后突然中断了，随之而来的是明代数学的断代。
（）
（<
/p>
76
）
4.4
明
清时期
—
中国传统数学的衰落与复苏
从明代起，中国封建社会开始衰落，资本主义因素开始慢慢地萌发了，但由于
根深蒂固的封建帝王统治的抑制，是资本主义的幼芽未能顺利得以发展。统治阶级
< br>为了维护其统治地位，
规定科举制必须采用
“
八股
”
文体，
使得大批的
知识分子
“
皓首
穷经
< br>”
，而鄙夷天文、数学等专门学问为
“
< br>奇技淫巧
”
，加上生产水平低下与数学理论
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< br>高度发展相脱节的实际状况，
致使中国数学由宋元时期的蓬勃发展而突然走向衰落
。
（一个典型的例子是，明代有两个很有影响的数学家唐顺之和顾应祥，他们在读李
冶的《测圆海镜》时，竟然不能理解
“
天文
术
”
的意义；他们还自作聪明，认为原著
中的细草是多此一举，
故把它们全部删去，
使得后世人们很难
理解李冶的原意了。
）
）
（
76
）
随着明代手工业
经济及航海贸易的发展，商业数学倒是异军突起，有了长足的
进步。特别是珠算，自宋代
提出了改革筹算，到了元明之际，珠算盘作为数学计算
工具，其应用日益广泛。到了明代
中叶，珠算已在全国普及，彻底完成了筹算向珠
算的转变。
（什
么时候提出了改革筹算？什么时候彻底完成了筹算向珠算的转变？）
（
< br>76
）
杭州数学家吴敬积
20
年之功完成了《九章算法比类大全》
，
该书收集了大量与
商业活动有关的计算问题，
导致了珠算的进一
步发展。
16
—
17
< br>世纪有关珠算的书籍
很多，其中程大位的《直指算法统宗》是一本比较完备的应用
算术书，流传最广，
一度几乎户藏一册。
（杭州数学家谁积
20
年之功完成了
《九章算法比类大全》<
/p>
，
该书
收集了大量与商业活动有关的计算
问题，导致了珠算的进一步发展？
16
—
17
世纪
有关珠算的书籍很多，其
中谁的什么书是一本比较完备的应用算术书，流传最广，
一度几乎户藏一册？）
（
77
）
由于珠算盘携带方便，拨动自如，并且有口诀相配合，计算迅速准确，是当时
世界上最好的计算工具，
直至电子计算机高度发展的今天，
仍
在一些国家广泛使用，
这不能不算是当时的一大成就。
（为什么
说珠算盘是当时世界上最好的计算工具？）
（
77
）
明末清初，西方数学虽然受到封建统治阶级的排
斥与禁锢，但还是通过传教、
经商等途径陆续传入中国。
（明末
清初，西方数学通过什么途径传入中国？）
（
77
）
西方数学传入中国是以意大利传教士利玛窦来华
为起点。
（以谁来华为起点？）
（
77
）
1581
年，
利玛窦以西方近代数学及其他科学知识为敲门砖，
踏入中国
进行传教
活动。
他精通汉语，
1600
年与擅长中国传统数学并对西方数学有强烈兴趣的徐光启
相识，
便相约共同研究介绍西方科学。
1606
年，由利玛窦口授，徐
光启笔述，翻译
了欧几里得《几何原本》前六卷，这是翻译西方数学书籍的开始。利玛窦
还和李之
藻以同样的方式编译了《同文算指》
（
1613
）
，这部书对中国算术影响较大，从此笔
算的应用日益普及。
（
中国翻译西方数学书
籍从什么时候开始？什么书对中国算术影
响较大，从此笔算的应用日益普及？）
（
77
）
入清以后，由于学习西方先进科学文化的方式得到了统治者的默许，各种西方
科学知识的译著大量涌现。在数学方面，较著名的是英国传教士伟烈亚力与李善兰
合作
翻译的《几何原本》后九卷。在较为开明的康熙皇帝的支持下，自
1690
年至
1721
年，由法国传教士协助梅彀成等人编写
的《数理精蕴》
，堪称介绍西方初等数
学知识的
“
百科全书
”
，它包括了几何
学、三角学、代数学及算术等，成为当时人们
学习研究西方数学的重要源泉。后来还逐步
传入了对数法、平面三角、球面三角以
及部分圆锥曲线等，但由于传教士自身的科学文化
水平有限，真正代表当时西方数
学水平的微积分理论和系统的解析几何理论并未能及时传
入中国。
（
77
）
西方数学知识的传入，给濒于死亡的中国传统数学注入了新鲜的血液，使之由
word
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< br>衰落开始转入复苏。这时的数学研究工作出现了两个倾向，一是对西方传入的数学
进行整理、加工、消化、吸收；二是重新钻研整理中国的传统数学。
（）
（
77
）
< br>到了
20
世纪初，
中国沦为半封
建半殖民地，
受世界先进的现代科学文化的影响，
中国传统数学
除了少数数学史工作者外已无人问津，
数学教科书与西方已大致相同，
< br>中国数学开始走上了世界化的道路。
（）
（
78
）
4.5
中国传统数学的特点
总而言之，中国传统数学源远流长，常汲不竭，长期以来，人们谈论数学，言
必称希腊，这是不公平的。其主要原因是人们对中国传统数学与希腊数学迥然不同
的
风格认识不足。由于中国传统数学自身的历史渊源和独特的发展道路，决定了中
国传统数
学具有以下一些重要的特点：
（
1<
/p>
）
追求实用：
与古希腊数学追求纯粹的<
/p>
“
理念
”
形成强
烈的对比，
中国传统数
学具有浓厚的应用色彩。
（
78
）
< br>（
2
）
注重算法：
中国传统数学实用性的特点，
决定了它以解决实际问题和提高
计算技术为主要目标，
因此，
它的成果都表现为算法的
形式。
（
“
问
—
答
—
术
”<
/p>
的体系）
（
3
）
寓理于算：
中国传统数学注重算法，
并不等于她就没有逻辑推理，
没有建
立
起自身的理论体系。中国传统数学以追求实用为主，明
“
法
”
隐
“
理
”
，一般数学著
作只叙述一个个算法，而其算理
常常隐而不显。
（
79
）
思考题：
1
、
作为世
界四大文明古国之一，
中国在公元前
3000
< br>年至公元前
1500
年间有哪些数
学成就？试将这些成就和其他古国作一比较。
2
、
中国古代的数学教育可以称得上是世界上最早的，
在
《周礼》
中关于数学教育的
论述有
哪些？它们都分别阐述了有关数学教育的那些观点？
3
、
在春秋战国时期产生了那些重要的、
可与古
希腊相媲美的数学思想？试将它门作
一比较。
4
、
《九章算术》的主要内容是什么
< br>?
其具有世界意义的数学成就又有哪些？
5
、
刘徽是中国历史上最重要的数学家之一，
他的
《九章算术注》
对于中国传统数学
体系的形成具有十分重要的意义。试阐述他的主要数学成就。
6
、
球体积的计算常常被用来衡量各个国家和
地区数学发展水平的一把尺子，
中国数
学家在这方面的成就是非
常杰出的。
试阐述从《九章算术》
到刘徽、祖氏父子在
这方面的工作与成就。
7
、宋元时期最杰出的数学家有哪些？试阐述他们的代表作和主要数学成绩就。
8
、
明代是中国传统数学发展处于低谷的一
个时期，
试探讨这一时期数学研究产生衰
落的原因。
9
、
中国传统数学是世
界数学发展长河的一支不容忽视的源头，
与西方数学相比，
它<
/p>
有哪些重要特点？
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< br>第五章希望的曙光
—
欧洲文艺复兴时期的数学
一、教学时间安排
：
3
学时
二、教学目的、要求：
1
、了解中世纪欧洲黑暗社会制度对数学发展的抑制；
2
、了解中世纪欧洲主要数学思想；
3
、了解欧洲文艺复兴时期数学的发展状况。
< br>
三、教学的重点和难点：
中
世纪欧洲黑暗社会制度对数学发展的抑制、中世纪欧洲主要数学思想、
欧洲文艺复兴时期
数学的发展状况的介绍
四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助
五、教学过程设计：导入、新授课、小结
六、教学内容。
从
< br>15
世纪中期到
16
世纪末，<
/p>
这段时间在欧洲称为文艺复兴时期。
在这一时期，
欧洲，特别是西欧，出现了思想大解放、生产大发展、社会大进步的喜人景象，科
学文化技术，其中包括数学，也随之开始复苏并逐步繁荣起来。从此欧洲的数学开
始走
到世界的前列，并长期成为世界数学发展的中心。
（）
（
81
）
5.1
欧洲中世纪的回顾
从
5
世纪中叶到
15
世纪，
在科学史和哲学史上称为欧洲的中世纪黑暗时期。
（）
（
81
）
在这
1000
年左右的
时间内，
整个欧洲特别是西欧，
生产停滞，
经济凋敝，
科学
文化落后，既没有像样的发明创造，也没有
值得一提的科学著作。出现这一技术大
倒退的原因是多方面的。
（）
（
81
）
5
世纪，罗马人占领了希腊本土后。罗马人对抽象思维毫不关心
，数学研究仅
限于简单的几何和测量。另一方面，这一时期又是基督教绝对统治的时期。
基督教
强烈反对研究与传播自然科学知识。
认为
“
从圣经以外获得的任何知识，
如果它是有
害的，理应加以排斥，如果它是有益的，那么它就已经包含在圣经里了。
”
于是，圣
经就成了这一时期人们唯一能够学习、研究的
“
百科全书
”
。
（）
（
81
）
数学是这个时期受到最大排斥的学科之一。
（
因为人们常常把它与异教徒的星相
术混为一谈，
因此在这个时期的法典中甚至明文禁止学习与研究数学。
）
< br>法典中规定：
“
任何人不得向占卜人与数学家请教
”
，
“
彻底禁止应受
到谴责的数学技艺
”
。由此可
见，在这
个时期，科学赖以发展的一些主要条件如自由的学术空气、对物理世界的
关注、研究抽象
概念的兴趣等均已消失。
（）
（
82<
/p>
）
罗马人博埃齐
（罗马贵族）
，
曾不顾禁令用拉丁文从古希腊著作的片段中编
译了
一些算术、几何、音乐、天文的初级读物，他把这些内容称为
“
四大科
”
，其中的数
学著作还被教会学校作为标准课本使用了近千年之久，但博埃齐本人还是遭受政治
迫害被捕入狱并死在狱中。
（）
（
82
）
7
世
纪，在英格兰的北部出现了一位博学多才的神学家，这就是被称为
“
英格兰
文化之父
”
的比德。
在数学方面，
比德曾写过一些算术著作，
研究
过历法及指头计算
方法。当时，对耶稣复活期的推算是教会讨论最热烈的课题之一，据说
，这位比德
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< br>大师就是最先求得复活节的人。
（谁在数学方面，
曾写过
一些算术著作，
研究过历法
及指头计算方法，最先求得复活节，
并被称为
“
英格兰文化之父
”
？）
（
82
）
在
1100
年左右开
始的十字军虽然给阿拉伯人带来了苦难，
但欧洲人也从阿拉伯
人
以及拜占庭的希腊人那里学到了希腊、印度和阿拉伯人的文化，其中当然包括数
学。
（十字军东征除了给阿拉伯人带来痛苦外，
在科学上是否也有积极一
面？）
这些
发现又进一步激起他们的更大兴趣。他们大力搜求古
希腊的著作，并把它们译为拉
丁文，
在欧洲传播，
这就给欧洲大陆带来了新鲜的学术思想。
在这些思想的影响下，
欧洲人开始对自然现象进行理性的探讨。其中英国的哲学家培根可以说是这种理性
探讨的先驱。
（英国的哲学家培根是欧洲理性探讨的先驱？）
（
82
）
培根是英格兰人
（贵族）
，
曾在牛津大
学和巴黎大学任教，
会多种语言，
对当时
几乎所有的知识感兴趣，号称
“
万能博士
”
。他提倡科学，重视现实，反抗权威（应
为不惧权威）<
/p>
。
他认为，
数学的思想方法是与生俱来的
，
并且是与自然规律相一致的。
在他看来，数学是一切科学的基
础，科学真理之所以是珍贵的，是因为它们是在数
学的形成中被反映出来，
即用数量和尺规刻画的。
（
精辟）
< br>（
英格兰人培根为何号称
“
万<
/p>
能博士
”
？哪位哲学家认为，
数学的思想方法是与生俱来的，
并且是与自然规律相一
致的？在谁看来，数学是一切科学的基础，科学真理之所以是珍贵的，是因为它们
是
在数学的形成中被反映出来，即用数量和尺规刻画的？）
（
82
）
培根认为：
“
寻找和发现真理有两条路，
也只有两条路，
一种方法是通过感觉和
特例飞跃到普遍的公理，然后通过这些原则及一劳永逸的
真理发现和判断派生的公
理。另一种方法是从感觉和特例收集公理，不断地逐步上升，这
样最后达到更普遍
的公理。这后一种方法是真实的，但尚未有人使用过。
”
他号召人们面向自然，进行
有目的的试验，去了解自
然，征服自然。虽然培根成为了那个时代的牺牲品，但他
的呐喊还是在漫漫黑夜中点燃了
人们复苏的愿望。
（
培根认为寻找和发现真理有哪两
条路？培根号召人们如何对待自然？）
（
82
）
意大利的列昂纳多
.
斐波那契是欧洲黑暗时期最出色的数学家。
1202
年，
斐波那
契综合阿拉伯和希腊资料著成一
部重要著作《算盘书》
，这部著作共
15
章，主要介
绍算术与代数，内容非常丰富，包括：印度
—
阿拉伯数码的读法与写法；整数与分
数的计算；平方根与立方根的求
法；线性方程组和二次方程的解法等，给出了数学
在实物交易、
合股、
比例法和测量几何中的应用。
这部著作还给出一个有趣的
所谓
“
兔
子问题
”
。
（）
（
83
）
斐波那契还写过一部纯几何著
作
《实用几何》
，
书中运用欧几里得等
人的方法介
绍了直线型的面积、圆的度量、球和圆柱等。
（
83
）
欧洲黑暗
时期数学家的数学成就与古希腊的大师们相比，实在是微不足道了。
< br>历史总是要发展的，
人们对长达
1000
年之久的黑暗统治已经忍无可忍，
社会的、
政治的、经
济的和文化的种种原因，使得这一黑暗时期终于走到头了，取而代之的
是一场规模宏大的
文艺复兴运动。
（）
（
83
）
5.2
欧洲文艺复兴时期的数学
15
世纪，
随着拜占庭帝国的瓦解，
难民们带着包括古希腊文化在内的财富逃亡
到意大利，使得意大利学者
能直接学习与探究反映古希腊人杰出成就的原始经典著
作，而在此之前，他们所接触的只
是一些水平不高的阿拉伯文译本。这些古希腊大
师们深刻的思想震撼了这个富有创造力的
民族。
（）
（
84
）
word
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< br>从社会发展的角度来看，这个时期欧洲的封建制度开始解题，新兴的资产阶级
逐渐
走上历史舞台。为了维护与发展自身的利益，他们首先在意识形态领域中展开
了反对封建
宗教神学的文化斗争。他们打出复兴古典文化的旗帜，大绝不是想回到
古代去，而是要从
古代文化中汲取那些适合资产阶级需要的思想，造就一种新的世
界观和意识形态，以便与
封建制度的精神支柱
—
宗教世界观相抗衡。另外一方面
另外一方面，
欧洲人由于受宗教禁锢的时间太
久了，
他们渴望了解外部的世界，
这就使得他们的航海技术达到
了前无古人的地步。
1492
年哥伦布发现了欧洲大陆，
1499
年韦斯普奇横渡大西洋，
在同一世纪
中麦哲伦又环航了地球，这些都给欧洲人
打开了一个个通向外界的窗口，
异族丰富多彩的文化又给欧洲以强烈的刺激。
（
）
（
84
）
所有这些都使得欧洲产生了史无前例的文艺复兴运动。这一运动首先起始于意
< br>大利半岛，继而蔓延到整个欧洲。在这片沉寂了近千年的土地上，呈现出一派生机
勃勃的景象，
其直接后果是造成了欧洲近代科学和文化艺术的解放与繁荣。
（）
（
84
）
数学作为其他学科的基础，加上她在古希腊文化中的崇高地位，在欧洲的文
艺
复兴中受到了广泛的重视。
15
世纪
欧洲的数学活动多半是以意大利城市和中欧城市
纽伦堡、维也纳、布拉格等为中心展开的
。受商业、航海、天文和测量等影响。数
学研究也集中在算术、代数和三角学方面。从地
理位置与时间上来看，欧洲数学首
先在意大利和德国崛起。德国人的贡献主要在天文学与
三角学，而意大利人的卓越
之处在于代数学的发展。
法国直到<
/p>
16
世纪末才显示出它的力量，
主要包括
韦达、
笛
卡儿、帕斯卡和费马等人的工作。
（）
（
84
）
5.2.1
透视理论的创立与三角学的独立
文艺复兴时期在数学方面的最初突破是由艺术大师们完成的。当他们开始把
自
己创作的题材从宗教神学转向大自然的时候，所遇到的第一个难题就是如何把三维
的现实世界反映到二维的画布上来。这一问题的最初研究者是布鲁内利斯，他第一
个认真研究了透视法并试图运用几何方法来进行绘画。尝试从数学的角度去研究这
< br>一方法的却是阿尔贝蒂，阿尔贝蒂在《论绘画》一书中指出，在眼睛和景物之间插
进一张直立的玻璃屏板，设想光线从眼睛或观测点发射到景物本身的一个点上，称
这些光
线叫光束棱锥或投影线，他们穿过屏板时所留下的集就构成了截景。这里已
经涉及到透视
学中的一些基本概念。虽然他没能解决这一问题，但这些正是射影几
何学研究的出发点。
（问题在下页）
（
85
）
（为什么说文艺复兴时期在数学方面的最初突破是
由艺术大师们完成的？谁第
一个认真研究了透视法并试图运用几何方法来进行绘画？尝试
从数学的角度去研究
透视方法的却是谁？）
（
< br>84
）
第一个真正意义上对于
透视法所产生的问题从数学上直接给予解答的是德沙
格。为了证明阿波罗尼斯的那些有关
圆锥曲线的定理，他开始研究所谓
“
中心射影
< br>法
”
，
他的小册子
《论锥面截一平面所得结果的初稿》
，
尽管这部著作
写作形式古怪，
晦涩难懂，但恰充满了创造性的思想。德沙格的研究的出发点是有关圆锥
曲线的定
理证明。
（第一个真正意义上对于透视法所产生的问题
从数学上直接给予解答的是
谁？德沙格的研究的出发点是有关什么定理证明？）
（
85
）
德沙格的同僚帕斯卡也在射影几何方面做出了杰出的贡献。帕斯卡年幼时体质
很弱，为了不让他累着，他的父亲决定在其儿童时只能学习语言，禁止学习数学，
但这
反而激起了他的好奇心，在他的请求下，老师给他描述了这门学科，他由此开
word<
/p>
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< br>始着迷于数学。通过自己的探索，他用折纸的方法找到了证明了三角形的三个内角
之和等于一个平角的两种方法。
他的父亲送了他一部欧几里得
《
几何原本》
，
从此帕
斯卡走上了数学研
究的道路。
（可见数学难学是从古到今、国内外普遍的问题。
）
（）
（
86
）
帕斯卡
14
岁时就开始经常参加法国数学家们的每周聚会。
16
岁是写了一
遍关
于圆锥曲线的论文，竟让笛卡儿怀疑是其父亲的作品。
（论
文质量之高）
。十七八岁
时为了帮助其父亲查账方便而设计计算
机，
他曾经制造了
50
多种计算机，<
/p>
有些至今
还保存在巴黎艺术和技术博物馆。另外他在物理学方面提
出的流体动力学原理，为
每一个学过中学物理的人所熟知。
（）
（
86
）
<
/p>
他是在
16
岁的时候开始研究投影和取景
法。
在德萨格的建议下，
他把圆锥曲线
的性质简化为几个基本命题，并于
1640
年完成了著作《圆
锥曲线论》
。在这部著作
中最重要的成就可能就是所谓
“
帕斯卡定理
”
。帕斯
卡从这一定理出发，推出了
400
多个与圆锥曲线有关的结论。
（）
（
87
）
将三角学从天文学奴仆的地位解放出来的是
< br>15
世纪的德国数学家穆勒。
穆勒在
协助老师翻译希腊数学著作的过程中，对数学产生了浓厚的兴趣，自己也独立翻译
了
阿波罗尼斯、海伦和阿基米德等人的著作，并由此走上了数学研究的道路。穆勒
在许多数
学领域中都有建树，其中对三角学的贡献最为杰出。在
1461
—
1464
年间，
他完成了
《三角全书》
，
这部著作共
5
卷，
将平面三角与球面三角放在一起处理，
给
出了球面三角的余弦定理和正弦定理，对于如何解平面与球面三角形做出了较
全面
的论述。他还编制了一个五位数的正切函数表。我们知道，过去希腊人仅把三角学<
/p>
看作是天文学的一个分支，通过穆勒的工作使三角学脱离了天文学而成一个独立的
数学分支。此外，穆勒还使用代数的方法研究过许多几何问题，为
150
年后笛卡儿
的研究开拓了方向。
（问题
在下页）
（
87
）
（将三角学从天文学奴仆的地位解放出来的是
15
世纪的德国数学家谁？穆勒
在做什么的过程中，对数学产生了浓厚的兴
趣？穆勒独立翻译了谁的著作，并由此
走上了数学研究的道路？穆勒在许多数学领域中都
有建树，其中对什么的贡献最为
杰出？在
1461
—
1464
年间，穆勒完成了《三角全书》
，这部著作共
5
卷，将什么放
< br>在一起处理？给出了什么三角的余弦定理和正弦定理？穆勒对于如何解平面与球面
三角形做出了较全面的论述？希腊人把三角学看作是天文学的一个分支？穆勒使用
代数的
方法研究过许多几何问题，为
150
年后谁的研究开拓了方向？
）
（
87
）
5.2.2
三、四次方程的解法
与德国数学家相比，意大利人对代数似乎有更浓厚的兴趣，这与意大利早期数
学家工作的着眼点有关。
（
意大利人对代数的兴趣是与
意大利早期数学家工作的着眼
点有关？）
（
87
）
1494
年，意大利修道士帕西奥里的《算术、几何及比例性质摘要》一书出版。
全书共
两篇，上篇专门讨论算术和代数，下篇研究几何，书中包罗了当时欧洲的各
种数学知识。
帕西奥里还追随穆勒用代数方法研究几何。由于帕西奥里曾任米兰大
学数学教授，并先后
在罗马、波伦那、那不勒斯、佛罗伦萨和威尼斯等地讲授过数
学，故具有较大的影响，因
此他的上述著作也在许多年中一直被认为是数学方面的
标准论著。
（
1494
年，意大利修道士帕西
奥里的《算术、几何及比例性质摘要》一
书出版，并在许多年中一直被认为是数学方面的
标准论著？）
（
87
）
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< br>16
世纪最为壮观的数学成就要数意大利的数学家们关于三、
四次方程解法的研
究。
伯伦纳大学的数学家们首先攻克了这
一难题。
大约在
1515
年，
该大学的数学教
授费罗用代数方法求出了某些三次方程的解。他的工作据
说是以更早的阿拉伯资料
为基础的。
他并没有公开发表他的成果
，
而是把这个秘密透露给他的学生菲奥。
（
16
世纪最为壮观的数学成就要数意大利的数学家们关于
什么的研究？那所大学的数学
家们首先攻克了这一难题？大约在
1515
年，
该大学的数学教授费罗用什么方法求出
了三次方程的解？他的工作据说是以更早的阿拉伯资料为基础的。他是否公开发表
< br>他的成果？）
（
87
）
威尼斯数学教授泰塔格利亚是一位以研究三次方程的解法而闻名的数学
家。泰
塔格利亚据说曾慕名向费罗讨教过三次方程的解法，但遭到了拒绝，因此，他发愤
自己来攻克这一难题，
终于在
1535
年宣布掌握了一些三次方程的解法。
然而费罗的
学生菲奥认为此项声明纯属欺骗，他向泰塔格利亚提出了挑战，要求来一次解三次
方程的公开比赛。竞赛安排了两种类型的三次方程，菲奥只能解出其中一种，而泰
塔格
利亚却轻松地大获全胜。
（
由泰塔格利亚向费罗讨教遭拒到成为
本领域的权威的
变化过程。你想说什么？）
（
< br>88
）
泰塔格利亚轻松获得菲
奥的挑战赛的胜利后，名望大增，并取得了韦罗纳的数
学教席。
继续研究更一般的问题，
1541
年他掌握了处理两种类型的方
程的一般解法。
但他却没有公开发表这些成果。
（泰塔格利亚为
什么没有公开发表其研究成果？）
（
88
）
与泰塔格利亚同时期的天才代数学家卡当也用了相当长的
时间研究这个问题，
但没有成果。
（没有成功说明了什么问题？
）
卡当是米兰的一名医生，
精通数学，
又
嗜赌如命。据说有一次他与别人打赌，预言自己将于某时会死去。到了这一天，他
为了赢得这场豪赌，
居然以自杀的方式，
结
束了自己的一生。
卡当找到泰塔格利亚，
请求他教给自己解三次
方程的方法，卡丹在做出保守秘密的庄严信誓后，从泰塔格
利亚那里得到了一份渴望已久
的解法手稿。然后卡当并没有遵守自己的诺言，
1545
年，<
/p>
他在德国纽伦堡出版了一部关于代数学的拉丁文巨著
《大法》
，
书中详细介绍了
泰塔格利亚教给他的方法
。
即后人称为
“
卡当公式
”
。
（卡当的身份为了得到泰塔格利
亚的成果不择手段说明了什么？卡当公式是谁发现的？）
（
88
）
从道义上来讲，卡丹的行
为是不道德的，但如果每一个科学家都像费罗、泰塔
格利亚一样，将自己的成果秘不示人
，那么，科学发展到今天会是什么样子就很难
预料了。
（）
（
89
）
在三次方程被解决后不久，一般四次方程的代数解法也被发现了。
15
40
年，意
大利数学家达科伊向卡当提出了一个可以导致四次方
程求解的问题，这个问题最终
由卡当的学生斐拉里解决，
卡当在
《大法》
一书中也详细地介绍了这个被称为
“
斐拉
里方法
”
< br>的解法。
（）
（
89
）
5.2.3
韦达与符号代数
数学是思维的体操，同时，又是符号的游戏。历史的经验表明，采用合理的符
号，能使数学学科得到迅速发展，相反的，没有一套合理的符号，其进展就会十分
缓
慢。众所周知，印度人发明的
0
，
1<
/p>
，
2
，
……
，
9
这十个数码及其十进位值制记数
法，由于简洁实用，受到阿拉伯人的青睐，并经阿拉伯人之手传入欧洲，进而成为
当今科学世界的通用语言，对数学的迅速发展所起的作用是无法估量的。
（）
（
90
）
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< br>而在
13
—
14
世纪的欧洲，
由于采用的是繁琐冗长的罗马记数法，
以
至于当时最
杰出的数学工作者，也把当今小学生就已十分熟练的乘除运算看作是人世间最
麻烦
的事情。欧洲人至今仍用
“
掉到乘
除里了
”
这样一句习语来形容某人陷入了困境，这
是一个极为典型的例证。虽然我们无法对每一个数学符号的产生做系统的介绍，但
符号对数学乃至整个科学发展的重要促进作用却是不容置疑的。
（欧洲人至今仍用<
/p>
“
掉到乘除里了
”
这样一句习语来形容某人陷入了困境？）
（
90
）
用字母表示数，尽管在今天已是初中代数的一个
最基本的内容。但在数学发展
史上却是一件划时代的大事，它给数学思维插上了翅膀，使
得原来在算术中许多需
要极高技巧的算法变成了简单的机械性的操作，也为数学研究开拓
了壮观的空间。
因此，从某种意义上来说，用字母表示数标志着代数从算术脱胎而出，成
为一门独
立的学科。
（
用字母表示数在
数学发展史上是一件划时代的大事？用字母表示数标志
着代数从什么脱胎而出，成为一门
独立的学科？）
（
90
）
代数学的研究历史与数学的历史一样长，早在古巴比伦、埃及、印度和中国
的
早期数学知识中就积累了大量的代数内容。
（代数学的研究历
史与数学的历史一样
长？）
（
90
）
与古希腊其他的数学家相比较，丢番图
对于数学的贡献主要是在代数方面，而
他最杰出的功绩之一就是在代数中采用了未知数以
及一整套符号。在他的符号系统
中，没有加法、乘法和除法的运算记号，加法是用并列来
表示的，而乘法和除法则
通过累加和累减去进行。丢番图总是只使用一个未知数，对于其
它的未知数他就想
方设法将它们用这个未知数表示出来。
（
丢番图对于数学的贡献主要是在哪些方面？
丢番图最杰出的功绩之一
就是在代数中采用了什么？丢番图的符号系统中，
有加法、
乘法
和除法的运算记号？丢番图如何进行加法、乘法和除法运算？）
（
90
）
丢番图以后一直到
17
世纪，
尽管许多数学家在引入代数符号方面
做出了不少贡
献，但总体上说，他们的符号基本上仍然是标准文字的缩写，还只是丢番图
工作的
延续。
（符号基本上仍然是标准文字的缩写。
）
在符号体系上使代数学发生最大变革的是法国
数学家韦达。
1580
年他成为亨利
亲
王的枢密顾问官，由于对数学始终不懈的浓厚兴趣，使得他把绝大部分闲暇贡献
给了数学
。韦达一生写了许多关于三角学、代数学和几何学的著作，其中主要有：
《三角学的数学
基础》
、
《分析方法引论》
、
《几何补编》
、
《有效的数值解法》和《论
方程的整理以修正》
。
这些著作中所包含的
杰出的数学成就表明，
他是这个时期最伟
大的数学家之一。
（在符号体系上使代数学发生最大变革的是法国数学家谁？）
（
91
）
在《三角
学的数学基础》一书中，韦达系统介绍了如何利用六种三角函数解平
面和球面三角形，首
次给出了正切定律、正弦差公式及钝角球面三角形的余弦定理
等。
（谁首次给出了正切定律、正弦差公式及钝角球面三角形的余弦定理？）
（
91
）
在《有效的数值
解法》一书中，韦达给出了一种求任意次幂代数方程近似根的
方法，这是在意大利数学家
们给出三、四次方程解法后高次方程研究中的一个新的
突破。
韦
达是数学史上第一个用解析式计算
π
的值。
（在
《有效的数值解法》
一书中，
韦达给出了一种求任意次幂代数方程近似根、准确根的方法？谁是数学史上第一个
用解析
式计算
π
的值？）
（
< br>91
）
韦达在符号代数方面的
贡献最为突出。当时数学研究的中心内容是探究各种代
数方程的解法。但随着研究的深入
，各种特殊形式的代数方程也随之迅速的增长，
word
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/p>
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对每一种方程都需要一个特殊的解法，这无疑要耗去数学家们
巨大的精力。韦达设
想寻找出一种求解各种类型代数方程的通用的方法。为此，他认真研
究了泰塔格利
亚、卡当、斯蒂文、邦别利和丢番图等人的著作，从这些名家特别是丢番图
那里获
得了灵感，那就是要实现自己的设想，首先要使方程具有普遍的形式，而其中关键
的一步就是使用字母来表示数，因此在他的名著《分析方法引论》一书中，他第一
个有意识地、
系统地使用了字母。
（什么原因
使韦达去寻找出一种求解各种类型代数
方程的通用的方法？
“<
/p>
要实现自己的设想，
首先要使方程具有普遍的形式，
而其中关
键的一步就是使用字母来表示数
”
韦达的这一灵感从何来的？）
（
92
）
韦达的
《分析方法引
论》
被公认是一部最早的符号代数的著作。
在这部著作中，
韦达不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂，而且还用来表示一般的系数。通常他
用辅音字母表示已知量，
用元音字母表示未知量，
用拉丁语表示各次方幂。
使用了
“+”
与
“
-
”
分别
表示加法与减法，但没有一个确定的符号来表示相乘，也没有一个确定的
符号来表示相等
。
这些通常都用文字来说明。
（韦达用字母表示未知量和未知量
的乘
幂吗？用字母表示一般的系数？韦达用什么表示
“
相乘
”
、
“
相等
”
？）
（
92
）
韦达用统一的符
号表示已知量、未知量及其运算，取代了以往惯用的词的缩写
方法，
在使得代数学形成国际通用的独立的语言方面发挥了巨大的作用。
（谁用统一
的符号表示已知量、未知量及其运算，取代了以往惯用的词的缩写方法，在使得代
数学形成国际通用的独立的语言方面发挥了巨大的作用？）
（
93
）
由于采用了先进的代
数符号系统，
很快地，
韦达在当时代数研究的中心问题
——
方程论方面取得了杰出的成就。在《分析方法引论》中，他改进了意
大利数学家泰
塔格利亚、卡当和斐拉里等人关于三、四次方程的解法，利用变换消去方程
的次高
项，将二次、三次和四次方程的解都用一般表达式给出，这就是所谓的公式解。韦
达所有的解法中都舍弃了负根。
（）
（
93
）
韦达
把他的符号化代数称为
“
类的算术
”<
/p>
，以区别于
“
数的算术
< br>”
，并明确指出：
类的算术是施行于事物的类或形式的运
算，而数的算术仅仅与具体的数字有关，从
而，类的算术即代数成为研究一般类型的数学
形式和方法的学问。
（什么是
“
类的算
术
”
、
“
数的算术
”
？）
（
93
）
韦达关于代数符号体系的伟大设想与实践，对于代数学的发展无疑是一座重要
的里程碑，他使得代数学的面貌发生了根本的变化。然而，当时大多数数学家并没
有马上体会到符号体系对代数发展的巨大作用。
（当时马上得到大家的认可？
）
（
94
）
解析几何的创始人、近代著名的法国哲学家笛卡儿对韦达使用字母的方法作了
重要的改进，他用排在英文字母表前面的字母如
a
，
b
，
c
等表
示已知量，用表末的
字母如
x
，
y
，
z
等表示未知量
，这在现在已成为习惯用法。由他提出和使用的许多
符号同现今的写法基本是一致的。<
/p>
（笛卡儿是用什么字母表示已知量和未知量？）
（
94
）
由于韦达等人有意识
地引入了代数符号，使得代数成为研究对象更为广泛的独
立的数学分支，符号代数由此而
生，伟大无愧于
“
符号代数之父
”
的称号。
（）
（
9
4
）
5.2.4
对数的发明
对数的发明是计算技术的一次重大的进步。
16
世纪
初，
欧洲人的商业活动和科
学探索对计算技术提出了更高的要求
。特别是以精确测量为基础的天文学的兴起，
使得人们遇到了繁杂的数值计算。人们由衷
地希望能简化计算，比如说把乘除运算
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<
/p>
归结为简单的加减运算等。
（）
（
94
）
德国数学家
施蒂费尔在其著作《整数算术》讨论了几何级数与其指数之间的关
系，他甚至还把两个数
列之间的这种联系推广到负指数和分数指数的情形。但他最
终并没有提出对数的概念。<
/p>
（
德国数学家施蒂费尔走到对数概念发现的门前而没有跨
入。
）
（
95
）
对数发明的功绩应归功于苏格兰贵族纳皮尔
。
1614
年纳皮尔在题为
《奇妙的对
数定理说明书》一书中，阐述了他的对数方法。纳皮尔没有从施蒂费尔级数的对应
思想出发引入对数。
纳皮尔借助与运动概念与连续的几何量的结合来引
入对数。
（纳
皮尔借助什么来引入对数？）
（
95
）
纳皮尔发明对数的目的其实是想用对数来解决平面和球面三角问题，因此他制
作了以分
弧为间隔的
0~90
的正弦对数表。
（
纳皮尔发明对数的目的是什么？）
（
96
）
真正认识到纳皮尔对数的实用价值的是他的朋友、伦敦格
雷沙姆学院的几何学
教授布里格斯，
他与纳皮尔合作设计以
10
为底的常用对数。
格雷沙姆的
《对数算术》
实际上就是一张
1~20000<
/p>
以及
90000~100000
的
14
位的常用对数表。
（）
< br>（
96
）
与纳皮尔一起分享发明对数方法殊荣的还有比尔吉。比尔吉就是从施蒂费尔级
数的对
应思想出发引入了对数。
（
分享发明对数方法殊荣的数学家有谁
？比尔吉是如
何引入了对数？）
（
96
）
对数发明之后不到一个世纪，这种
奇妙的算法传遍世界，成为人们不可或缺的
计算工具。它的出现让那些需要计算的学者、
尤其是天文学家欣喜若狂，拉普里斯
曾经赞誉说：
“
对数的发明以节省劳力而延长了天文学家的生命。
”
伽利略甚至说：
“
给
我空间、时间和
对数，我即可创造一个宇宙。
”
（对数发明后并没有马上得到科
学家
们的认可。
）
（
< br>96
）
在文艺复兴时期，特别
是
16
、
17
世纪，欧洲科学工作者冲破宗教势利的禁锢，
发奋图强，使得初等数学这一古老学科的主
要内容基本成熟，为近代数学的兴起以
及后来的发展铺平道路，并为后来欧洲成为世纪数
学的中心，且长盛不衰打下了坚
实的基础。
（）
（
96
）
思考题：
1
、导致欧洲中世纪黑暗时期出现的主要原因是什么？
2
、
在欧洲中世纪黑暗时期曾经出现过那些知
名的数学家，
他们在当时那样的背景下
各自做了哪些数学工作？
3
、导致欧洲文艺复兴的因素有哪些
？在欧洲文艺复兴时期主要出现了哪些数学成
就？
4
、
意大利数学家的三、
四次方程解法的主要思想是什么？试通过具体例子说明他们
是如何求解三次方程的。
5
、
欧洲数学家
为什么要引入对数的概念？查阅相关资料，
试比较纳皮尔和比吉尔引
入对数的方法
.
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第六章
数
学的转折点
—
解析几何学的产生
一、教学时间安排：
3
学时
二、教学目的、要求：
1
、了解解析几何产生的时代背景；
2
、了解笛卡儿研究解析几何的出发点；
3
、了解笛卡儿和费马的数学思想方法与现代解析几何的异
同。
三、教学的重点和难点：
解析几何产生的时代背景、笛卡尔和费马的数学思想方法与现代解析几何的异
同的介绍。
四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助
五、教学过程设计：导入、新授课、小结
六、教学内容。
恩格斯指出：
“
数学中的转折点是笛卡儿的变数；有了变数，运动进入了数学；
有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。
”
（谁的名言？）
可以说
17
世纪以后的各种数学发展在某种程度上都和变量有关。几乎
与德沙
格、帕斯卡建立射影几何学的同时，由笛卡儿、费马开辟的解析几何学，为数学乃
至整个科学树起了一座耀眼夺目的丰碑。
，
从根本上改变了数学的面貌，
使数学从此
跨入一个崭新的时
代，即从常量数学进入变量数学的时代，从而大大地促进了数学
的发展。
（为什么说由笛卡儿、
费马开辟的解析几何学，
是为数
学乃至整个科学树起
了一座耀眼夺目的丰碑？为什么说笛卡儿、费马的解析几何学的建立
，是从根本上
改变了数学的面貌？）
（
97
）
美国著名数学史家
M.
克莱因曾指出：
“
只
要代数同几何分道扬镳，他们的进展
就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合
成伴侣，它们就相互吸取新鲜
的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。
”
（谁的名言？）
（
97
）
6.1
解析几何学产生的背景
文艺复兴后的
300
年间，各种技术都在发展
，新技术的发明比当时人类历史上
曾经有过的总和还要多，其中包括一系列重大的发明，
正是这些发明为数学和科学
的突飞猛进扫清了障碍，激发了人们探索自然和了解数与形之
间奥秘的热情，文艺
复兴运动大大解放了人们的思想，在这场运动中，科学得到复兴，数
学有了很大的
发展，数学思想进入了一个新阶段。
（如何理解<
/p>
“
一系列重大发明为数学和科学的突
飞猛
进扫清了障碍
”
）
（
< br>97
）
欧洲文艺复兴
300
年后数学思想进入了一个新阶段。首先，阿拉伯人的代数学
的思想方法得到了发展，整个
16
世纪乃至<
/p>
17
世纪的数学都表现出这种倾向：一是
大多数国家都采用了印度
—
阿拉伯数码，由此使记数和算术运算
得以简化，大大提
高了人们的数学能力。这种简化使计算成为一种数学方法，它在数学中
的应用产生
了一系列的理论成果。同时，由于印度
—
阿拉伯数码的采用，人们在数学中引入了
笔算法，
这对数学的发展具有重要的意义。
（注意：
计算成为一种数学方
法、
人们在
数学中引入了笔算法）
（<
/p>
97
）
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< br>二是系统地采用数学符号，
是文艺复兴后的数学不同于古代数学，
这一大进步，
是现代数学思想方法的重要基础之一。三是这一时期的数学逐渐脱
离了古希腊数学
的逻辑基础，离开了严格的公理法，人们所关注的实际上属于现在所谓代
数和分析
这些数学门类，这就是解析几何的产生创造了条件。
（
）
（
98
）
其次，随着欧洲封建社会的解体和资本主义工场手工业向机械大生产的过渡，
自然科学从神学的桎梏下解放出来，开始大踏步前进。这时，生产和自然科学等向
< br>数学提出一系列必须从运动变化和发展观点来研究事物的新问题。文艺复兴以来日
益受到人们关注的行星绕日运动和抛体运动，要求人们用运动和变化的观点研究圆
锥曲线
，
即把曲线看成是物体经运动而生成且随时间的变化而变化着的轨迹。
< br>（
）
（
98
）
总之，在这一时期数学得到了越来越多的应用，同时，
也有更多的问题需要应
用数学去解决。科学的需要和对研究新的数学方法的兴趣推动了笛
卡儿和费马对坐
标几何的研究。在他们手里，代数学同几何学得到了有机的结合，从而开
拓出一门
崭新的数学领域
——
解析几何
学。
（
99
）
6.2
笛卡儿与他的《几何学》
笛卡儿是法国数学家、物理学家和哲学家，出身于法国的拉艾镇，其父亲是一
名律师，曾任布列塔尼省地方议员。笛卡儿襁褓丧母，很得父亲的宠爱。由于身体
孱弱，
8
岁时才进入当时欧洲最著名的拉弗里舍镇的一所耶稣
公学学习，接受传统
的文化教育。他的父亲为了照顾他，专门与学校协商允许他每天早上
不必和其他同
学一起早起锻炼而在床上多休息一些时间，据说后来竟然使他养成了躺在床
上思考
问题的习惯。
（）
（
99
）
在学校学习期间
，他不拘泥于课本，喜欢博览群书，开阔了眼界和思路。并取
得了优异的成绩。
1612
年从普瓦界大学毕业后，去巴黎当了一名律师。尽管在学校
学习的是法律，但他还是以很大的热情关注着自然科学，在此期间，他阅读了许多
科学家如达
.
芬奇、哥白尼、伽利略、开普勒和韦
达等人的著作，对他们的成就十分
熟悉。在巴黎，他结识了梅森、麦多治等人，一起研究
数学。
1617
年笛卡儿加入奥
伦茨公
爵的军队驻扎在荷兰，为解决一张公开张贴的荷兰语的数学问题而激发了对
数学的兴趣。
（
1617
年笛卡儿因什么问题而激发了对数学的兴趣？兴趣是学习的动
力？）
（
99
）
离开军队后曾到丹麦、荷兰、
瑞士、
意大利等地游历，
并移居荷兰达
20
多年之
久。在此期间，笛卡儿的科学和哲学思想逐渐成熟，先后发表了许多在科学和哲学
史
上产生重大影响的论著，创造了新的科学和方法，解析几何学的创建就是这一时
期众多成
果的一项。
（解析几何学是笛卡儿移居荷兰
20
多年期间创建的？）
（
99
）
笛卡儿在
1628
< br>年出版的
《指导哲理之原则》
一书中已经提到
“
数、形同质
”
的思
想以及用代数方法研究几何问题的思想。
（）
（
99
）
1637
< br>年，他出版了他的《更好地
指导推理和寻求真理的方法论》
，通常简称《方法论》
，此书包括三个著名的附录：
《几何学
》
、
《折光》和《气象》
，其中《几何
学》在整个著作中大约占
100
页，包括
了他关于坐标几何和代数的思想。在这篇著作中，他首次明确地提出了点的坐标和
变数
的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线。这篇《几何
学》的问世
，是解析几何学产生的重要标志。
（笛卡儿的《方法论》包括那三个著名
的附录？解析几何学产生的重要标志是什么？）
（
99
）
笛卡儿是作为一位哲学家、一位自
然的研究者和关心科学用途的人来研究数学
word
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的。在科学研究不断发展一些向主要的宗教教条挑战的自然规律的时代，他开始怀
疑他在学校里所得到的一切知识。
笛卡儿说：
“
要想追求真理，
我们必须在一生中尽
可能地把所有事物都来怀疑一次。
”
怀疑论促使笛卡儿寻找在一
切领域中获得真理的
普遍方法，因此，笛卡儿十分重视方法论的研究，并把它作为他的一
切工作的首要
任务。
（笛卡儿为什么把方法论的研究作为他的一
切工作的首要任务？）
（
100
）
笛卡尔认为在一切领域中获得真理的方法就是数学方法。因为数学
中立足于公
理的证明是无懈可击的，而且是任何权威所不能左右的，数学提供了获得必然
结果
以及有效地证明其结果的方法。
（
笛卡尔为什么认为在一切领域中获得真理的方法就
是数学方法？）
笛卡儿说
“
数学方法是一个知识工具，
比任何其他由于人的作用而得
来的知识工具更为有力，
因而它
是所有其他知识工具的源泉
”
（笛卡尔认为什么是其
他知识工具的源泉？）
（
100
< br>）
在笛卡尔的数学研究中，
他
抽出了在任何领域中获得正确知识的一些原则。
（见
教材
100
）
（
100<
/p>
）
笛卡儿对数学方法的深入研究，
是他断定数学可以有效地应用到其他科学上去。
他分析了古代已有的
几何学和当时已经定型的代数学的优缺点，批评希腊几何过于
抽象，
并且过多地依靠图形，
而代数则使人受到某些规则和公式的约束。
< br>他提出
“
寻
求另外一种包含这两
门科学的好处而没有他们的缺点的方法。
”
当他看到代数具有作
为一门普遍的科学方法的潜力，
便着手把代数用到几何上去。<
/p>
（笛卡儿研究方法可借
鉴。
）
（
100
）
在《几何学》一书中，他仿造韦达的方法，用代数来解决几何作图的问题，比
希腊人有了明显进展。
（在变量的理解和应用上。
希腊人无法
处理三个以上变量的乘
积。而笛卡儿是从纯数学方面考虑，所以可以处理三个以上的变量
的乘积。
）
（
100
< br>）
在《几何学》的第一部分中，笛卡儿把几何算术化了
：在一条给定的直线上标
出
x
，
在与该轴成固定角的线上标出
y
，
并作出其
x
的值和
y
的值满足给定关系的点。
（）
（
101
）笛卡儿发展了代数方法，其建立的实际上是一个斜坐标系（粗糙一
些）
。
由此，他把几何曲线变成代数方程，然后通过研究代数方
程来揭示曲线的性质。
（）
（
101<
/p>
）
有了曲线方程的思想后，笛卡儿在推
广曲线的概念方面又迈出了一大步。他不
但接纳了以前被排斥的曲线，而且指出给定任何
一个含
x
和
y
的代数方程，都可以
求出它的曲线，从而得到一些全新的曲线。他还把几何曲线按其对应
方程的次数加
以分类。
（有了曲线方程的思想后，笛卡儿如何推
广曲线的概念？）
（
102
）
关于笛卡尔创立解析几何的灵感有几个传说。
（对于传说，
主要是看传说对后人
是否有积极的意义。
）其中一个传说是讲他在晨思时看见一只苍蝇在天花板上爬行，
由此他突
然想到，如果能知道苍蝇与相邻两个墙壁的距离之间的关系，就能描述他
的路线，这就使
他头脑中产生了关于解析几何的设想。其实，笛卡儿之所以能创立
解析几何，
主要是他勇于探索，
勤于思考。
运用科学方法的必
然结果。
（笛卡儿之所
以能创立解析几何，主要是他什么的必然
结果？）
（
102
）
< br>
6.3
费马与他的解析几何
与笛卡尔分享解析几何创始人的荣耀的还有法国数学家费马。
（
102
）费马出身
于商人家庭，学法律
并以律师为职业，数学只是他的业余爱好。虽然他只能利用闲
暇时间研究数学，但对数学
的贡献却是一流的。除了他和笛卡儿都是坐标几何的发
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