微积分学发展简史
欧嘉璐尼-
附录
I
微积分学简史
概念
< br>：
微积分学分为微分学和积分学，
是专指运用无穷小或无
穷大等
极限过程分析处理计算问题的学问
.
< br>发展简史
：
1
、荫芽阶段：
(1)
古希腊，欧多克斯
(
前
408~
前
355)
提出了穷竭法：一个量如减去大
于其一半的
量，
再从余下的量中减去大于余量一半的量，
这样一直下
去，总可使某一余下的量小于已知的任何量
.
(2)
阿里士多德
(
前
384~332)
严格区分实无限和潜无限，且只承认潜无
< br>限
.
(3)
庄子
(
前
355~
前
275)
《
天下篇》
：<
/p>
“一尺之棰，
日取其半，
万世不竭”
。
(4)
阿基米
德
(
前
287~212)
在《抛物求积法》中用穷竭法求出抛物线弓
形的面积。即，逐次作出与该弓形
同底等高的三角形
(
如图
)
，然后将
这些三角形面积加起来
.
第
n
步时，这些三角形面积之和为：
1
1
+
…
+
)
，
A
为第一个三角形的面积
.
4
2
4
n
-
1
1
1
1
1
1
4
又指出：
A(1+
+
2
+
…
+
n
-
1
+
n
-
1
)=
A.
< br>4
4
3
4
3
4
A(1+
+
1
4
最后用穷竭法和反证法证明，抛物线弓形面积不能大于
或小于
A.
标志着积分学的萌芽
.
(5)263
年，刘徽为《九章算术》作注时提出“割圆术”用
正多边形逼
近圆周。
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于
不可割，则与圆
周合作而无所失矣”
。
(6)1328
年英国大主教布兰德瓦丁在牛津发表的著作中提
到类似于均
匀变化率和非均匀变化率的概念
.
4
3
2
、酝酿阶段：
(1)1615
年开普勒在出版《新空间几何
》中发展了阿基米德求面积和
体积的方法，给出了
92
个阿基米德未讨论过的体积问题，并研究了
酒桶的最佳比例。在天文学研
究中得到公式：
0
s
in
θ
d
θ
< br>=1-cos
θ
.
(2)16
35
年卡伐列利出版了《不可分量几何学》
，将面积的不可分量
比
作织成一块布的线，
体积的不可分量比作一册书的各页，
而不可分量
的个数为无穷多，且没有厚薄和宽窄，已到达了积分学的
边缘，且发
现公式：
0
a
θ
a
n
< br>
1
x
dx=
< br>，
n
为正整数
.
n
1
n
< br>(3)
法国数学家帕斯卡
(1623~1662)
借助了略去高次项
(
即略去高阶无穷
小
)
的方未能证明体积公式，并且注意到很小的
弧和切线是可以相互
代替的
.
(4)
法国数学家费马
(1601~1665)
在求极大极小值上取得了非凡的成
功，为微积分开辟了道路。他注意到：在长为
a
的线段上取一段
x
，
由
x
和
a-
x
所矩形面积为
A=x(a-x)
，对
一般的
A
，
x
可以有两个值，当
A
为极大值时，
x<
/p>
只有一个值是
.
费马的论证如下：
设
A=x(a-x)
，今取
x+E
，则
A
’
=(x+E)(a-x-E
).
作：
A
’
-A=E(a-2x)-E
2
.
因
极大值面积只有一个，故可认为
A
’
-
A=0
，
∴
a-2x-E=0
；
令
E=0
，得
2x=a
，即
x=
.
(5)
英国数学家沃利斯
(1616~1703)
完成了相当于
0
(1
-
t
2
)
n
dx(n
是正整
数
)
的积分，
并给出
π
的无穷乘积表示。他大胆地将有限推向无限，
x
a
2
a
2
例如他从
0
1
1
0
1
2
1
0
1
2
3
1
=<
/p>
，
=
，
=
，…
1
1
2
2
2
2
2
< br>3
3
3
3
2
断
言，这个比对无限项成立，这将导致积分
.
(6)
英国数学家巴罗
(1630~1677)
给出求切
线的方法，相当于现代以
dx,dy,ds
为边的直角三角形<
/p>
.
在他的几何学讲义中出现了微分三角形
MNR(
如图
)
，他在求
PT
的长时舍去了
MR
和
NR
的高次项
.
3
、形成阶段：
(1)1665~1666
年间，
23
岁的牛顿利用二项式展开，观察一族相关的
曲线：
y=(1
-x
2
)
n
.
对固定的整数
n(n
≥
0)
，将它作二项式展开得到有
a
3
-x
,x
,-x
,x
,
…各项的多项式
. <
/p>
然后运用
-x
的下方图形面积是
-
，
x
4
3
2
4
6
< br>8
2
a
5
的下方图形面积是
等已有知识，构造了一个系数表，横向按幂次
5
排列，纵向按
n=1,2,
…排列
，表内的值是
(1-x
2
)
n
下方图形面积展开式
中各个幂次的系数，
构成一个巴斯卡方阵，
再插入对应于
n=
的各幂
项的系数，现称之为牛顿二项式定理
.
利用这张表就能求出当时所知
的代数曲线下的面积
.
(2)1665
年
5
月
20
日，
在牛顿牛写的文件中开始有
“流数术”
的记载，
标志着微积分的诞生。
牛顿把曲线看作运动着的点的轨迹，
想象用一
条运动的直线扫过一个区域，
来计算此曲线下的面
积，
这就是牛顿用
运动的概念来叙述他的发现。他称连续变量为
“流动量”
，流动量的
导数为“流动率”
.
x
表示流动量
x
的流动率。如：
给定函数
y
-x
=0
，时间的刹那用
0
表示
(
即
dt)
，
x,y
的刹那用
x<
/p>
0
和
y
0
2
·
·
·
1
2