平面几何的最值问题及求法
祷告主能加力量-
平面几何的最值问题及求法
广东省东莞市常平中学
(523570 )
陈洪波
一、
利用三角形的性质
利用三角形“两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边”等性质可介定某条边的取值
范围，如果可以取到
邻界值，那么这条边可以取得最大值或者最小值
.
例
1
、如图
1
，线段
AB
的长为
l
，<
/p>
C
为
AB
上一个
动点，分别以
AC
和
BC
为斜边，在
AB
同
侧作两个
等腰直角三角形
ACD
和
BC
D
，求
D
D
的长的最小值
(1998
年初二“希望杯”
数学竞赛试题
)
A
解
：作
DE
AC
于
E
,
D
F
BC
于<
/p>
F
,
DG
D
F
于
G
,
由于
ACD
和
BC
D
为等腰直角三角形，所以
D
E
C
EF
1
1
l
,
DG
< br>EF
l
2
2
D
G
F
B
图
1
若点
C
不为
AB
的中点，则
< br>
ADC
与
< br>B
D
C
不全等
,
所以
1
DE
D
F
D
D
不平行于
AB
Rt
D
D
G
中，
D
D
DG<
/p>
D
D
l
;
2
若点
C
为
AB
的中点，则
ADC
与
B
D
C
全等，
DE
<
/p>
D
F
D
D
//
AB
D
D
与
DG
重合，则有
D
D
DG
EF
1
1
l
D
D
< br>
l
2
2
从而当点
C
为
AB
中点时，
D
D
取最小值为
1
l
.
2
例
2
、设正
ABC
的边长为<
/p>
2
，
M
是
AB
边上的中点，
P
是边
BC
上的任意一点，
PA
＋
PM
的最大值和最小值分别记为
s
和
t
，则求
s
t
的值
(2000
年全国初中数学联合竞赛试题
)
2
2
解：
PA
AC
,
PM
CM
，
PA
PM
CA
CM
2
3
当点
P
为顶点
C
时，等号成立
s
2
3
作正
A
BC
，设
M
为
A
B
< br>的中点，则
PMB
PB
M
PM
P
M
,
PA
PM
PA
P
M
A
M
连结
C
M
，
A
则
AC
M
<
/p>
90
，所以
M
B
C
A
M
AC
2
C
M
2
7
t
7
2
2
2
P
M
A
从而
s
t
(
2
3
)
7
4
3
二、
利用对称变换
图
2
例<
/p>
3
、如图
3
，<
/p>
AOB
45
角内有一点
P
，
PO=10
，在角的两条边上有两点
Q
、
R
均不同
于点
O
，求
POQ
< br>的周长的最小值
(2000
年黄冈初中数学竞赛试题
)
A
P
解：作
P
关于
OA
的
对称点
P
，
P
关于
OB
的对称点
< br>P
，连结
< br>
Q
Q
P
P
P
分别交
OA
、
OB
于
点
Q
、
R
；再
在
OA
、
OB
上分别取点
O
Q
< br>
与
P
，连结
P
Q
、
P
R
R
R
B
P
Q<
/p>
Q
R
P
R
P
Q
Q
R
P
R<
/p>
P
P
PQ
QR
RP
P
图
3
所以
POQ
的周长的最小值为
P
P
.
因为
P
O
P
< br>
P
OA
AOP
POB
BO
P
2
(
AOP
POB
)
90
<
/p>
所以
P
P
O
P
2
O
P
< br>2
OP
2
OP
2
10
2
从而
POQ
的周长的最小值为
10
2
三、
利用平移变换