组合几何
人中翘楚-
高中数学竞赛讲座二试内容
30
组合几何（二）凸包与图形重叠问题
一．概念及方法
1
< br>．凸集：如果对于点集
M
中的任意两点
< br>A
、
B
，线段
< br>AB
上每一点都属于点集
M
，那
么
M
就称为
凸集．
（圆是凸集）
结论：任意多个凸集的交仍是凸集．
2
．凸多边形定义一：如果以多边形的顶点为端点的任何线段，
完全包含于这个多
边形中，则称此多边形为凸多边形．
定义二：如果多边形位于它任意一条边（延长线）的同侧，这样的多边形叫做凸多
边形．
3
．
凸包：给定平面上ｎ个点
A
1
,
A
2
,
,
A
n
(
n
3
)
，一定存在一个凸ｍ边形或一条
线段，完全包含点
A
1
,
A
2
,
,
A
n
(
n
m
3
)
．并且凸ｍ边形的ｍ个顶点（或线段的
两个端点）是点集
{
A
1
,
A
2
,
,
A
n
< br>}
的一个子集．这样的凸ｍ边形（或一条线段）便
称为点集
{
A
1<
/p>
,
A
2
,
,
A
n
}
的凸包，它由给定的点集唯一确定．
4
．与有限点集有关的角度、线段长、面积等问题，经常需要借组凸包讨
论点集的
几何结构．
二．例题精选
1
．平面上任意给定
5
个点，其中
任三点不共线，则可选出四个点，这四个点能构
成一个凸四边形的顶点．
Key
：按凸包是五边形、四边形、三角形分类讨论．
< br>2
．平面上有ｎ个点，其中任意四点都是凸四边形的顶点，证明：已知点是一个凸
ｎ边形的顶点．
< br>Key
：考虑这
n
个点的凸包是
一个凸
k
边形，过凸
k
边形的任一顶点引对角线，则
必有一个点落在三角形的边界或内部，矛盾．
3
．设Ａ、Ｂ是平面上的两个有限点集，无公共元素，并且
A
B
中任意三点不共
线，如果Ａ、Ｂ中至少有一个点集至少包含五个点，证明：存在一个三角
形，它的
顶点都在Ａ中或都在Ｂ中，而且内部不包含另一个集
合中的点．
（
26IMO
预选题）
1
高中数学竞赛讲座二试内容
30
Key:
在
A
中任取
5
个点，使得这
5
个点的凸包中不含
A
的其它点
A
A
1
1
A
1
A<
/p>
B
A
4
5
1
B
3
B
4
B
2
A
2
B
1
B
A
5
B
1
2
B
3<
/p>
B
B
2
3
B
A
4
2
B
A
5
3
A
A
4
A
2
A
3
A
B
1
3<
/p>
凸包是凸四边形
2
A
3
凸包是凸五边形
凸包三角形
（
1
）
（
2
）
（
3
）
4
．平面上给定
4n+1
< br>个点，任意三点不共线，证明：可以用其中的
4n
个点组
成
2n
对，连接每对点的
2n
条线段至少有
n
个不同的交点．
Key:
利用数学归纳法，当
< br>n=1
时，五个点
A
A
、
B
、
C
、
D
、
E
的凸包分凸五边形、
A
四边形、三角形，
D
E
E
D
B
B
C
取
ADEC
四点
C
取
BCDE
四点
假设当
n=4k+1
时命题成立，那么由于平面内有限点的连线是有限多条，因此，存
<
/p>
在一条直线
L
，它与给定点中任意两点的
连线均不平行，将
L
平行移动，最初给定
点在
L
的同一侧，经过平行移动可
以使
L
的另一侧给定点的个数由
0
逐渐增加至
5
，
我
们开始时就选取这
5
个点，这
5
个点中两对点所成的两条线段的交点为
M
，剩
下的
1
个点
与其余
4(n-1)
个点，根据归纳假设它们可产生
n-1
个不同交点．这
n-1
< br>个交点与
M
位于直线
L
的两侧，从而得到
n
个不同的交点．得证．
5
．在平面上给定六个点，其中任何三点
都不在一直线上．证明：在这六个给定的
点中，可以挑出这样
三个点，使得在这三个点构成的三角形中，有一个角不小于
2
3
．
（１９
５８匈牙利）
Key :
考虑这六个
点的凸包，它是一个凸多边形，顶点是这些已知点的全体或一部
分．若凸包是六边形，那么必有一个内角
(
6
2
)
180
6
120
．
如果凸包是三角形ＡＢＣ，那么有一已知点Ｄ在这三角形内，则
2
高中数学竞赛讲座二试内容
30
<
/p>
ADB
,
BD
C
,
CDA
必有一个不小于
2
3
，结论成立．
如果凸包是四边形或五边形，用对角线
将它们剖分为三角形，必有一个三角形中有
已知点．这属于上一种情形，结论也成立．
< br>6
．平面上有五个点
A
1
,
A
2
,
A
3
,
A
4
,
A
5
，如果存在实数
r
1
,
r
2
,
r
3
,
r
4
,
r
5
满足下列条件：
（
1
）
A
1
,
A
2
,
A
3
,
A
4
,
A<
/p>
5
中任意三点不在同一条直线上；
（
2
）对于每个三元组
i
,
j
,
k
(
1
i<
/p>
j
k
5
)
，三角形
A
i
A
j
A
k
的面积都等于
<
/p>
r
i
r
j
r
k
．则
r
1
,
r
2
,
r
< br>3
,
r
4
,
r
5
中至少有两个相等．
Key
：这
5
个点凸包有三种可能情形
（
1
）凸包是五边形．顶点为
A
1
,
A
2
,<
/p>
A
3
,
A
4
,
A
5
，于是
A
1
A
2
A
3
A
4
和
A
1
A
2
A
3
A
5
都是
凸
四边形，对于四边形
A
1
A
2
A
3
A
4
,
记
A
i
A
j
A
k
的面积为
S
ijk
，则有
S
< br>1234
S
123
S
341
S
234
S
412
2
r
1
r
2
2
r
3
r
3
r
1
2
r<
/p>
2
r
3
2
r
4
r
1
r
3
r
2
r
4
,
同理
r
1
r
3
r
2
r
5
r
4
r
5
（
< br>2
）凸包是四边形，其顶点依次为
A
1
,
A
2
,
A
3
,
A<
/p>
4
，不妨设
A
5
在
A
3
A
4
A
1
内，于
是
A
1
A
2
A
3
A
4
和
< br>A
1
A
2
A
3
A
5
都
是凸四边形，同（
1
）得
r
4
r
5
；
（
3
）凸包是
A
1
< br>A
2
A
3
，另两点
A
4
与
A
5
在该三角形内，于是
S
124
S
234
S
314<
/p>
S
125
<
/p>
S
235
S<
/p>
315
r
4<
/p>
r
5
7
．平面上任给五个相异的点，它们之间的最大距离与最小距离之比记
为
，
求证
：
2
si
n
54
．
（
1985
年全国）
Key:
若凸包是凸五边形
ABCD
E
，至少有一个内角不小于
108
<
/p>
，不妨设
B
AC
108
，
设
C
B
,
则
C
2
A
2
,
sin
C
sin
A
A
2
cos
2
，由正弦定理得
a
c
sin
A
sin
C
sin
A
2
sin
A
2
sin
54
2
si
n
54
cos
A
2
．
2
若凸包为三角形或四边形，存在一个一个内角不小于
120
度的三角形，可得
2
sin
60
< br>
2
sin
< br>54
．
若凸包是线段，此时有
2
2
sin
54<
/p>
．
8
．给定平面上ｎ个点（
n
< br>3
）
，无三点共线．证明：在这ｎ各个点中可以挑出三<
/p>
3
高中数学竞赛讲座二试内容
30
个点
，使得从其中一个点引出的通过其他两个点的射线之间的夹角不超过
Key:
记给定的
n
个点为
A<
/p>
1
,
A
2
,
,
A
n
，
（
1
）若
A
1
< br>,
A
2
,
,
A
n
组
成凸
n
边形时，必有一个内角
A
1
出
n-2
条对角线，则确定一个角
n
．
n
2
，过此顶点引
n
1
< br>n
2
．
n
2
n
n
（
2
）考虑此图
形的凸包是凸
k
边形，同样可以考虑，
（
1
）可以省略
9
．平面上给定五个点，其中无三点共线，试证每三点确定的三角形面积中，最大<
/p>
与最小的比不小于
Key
：
（
1
< br>）凸包是三角形及凸四边形时：不妨设
A
4
在内部，有
A
1
A
2
A
3
3
< br>A
1
A
4
A
2
5
1
．
2
5
1
．
2
（２）若凸包是凸五边形
A
< br>1
A
2
A
3
A
4
A
5
时，在对角线
A
1
A
3
及
A
1
A
4
上取点Ｐ、Ｑ，
A
5
使得：
A
1
P
A
1
Q
PA
3
QA
4
5
1
,
则<
/p>
PQ
//
A
3<
/p>
A
4
2
A
1
Q
A
4
A
3
,
A
4
位于
PQ
同侧，
若
A
2
,
A
5
中有一个与点
P
A
2
A
3
不妨设为
A
2
，则
A
1
A
3
A
< br>4
A
1
A
3
A
P
1
1
1
A
2
A
3
A
4
PA
3
PA
3
5
1
< br>
2
5
1
．
2
若
A
2
,
A
5
与点
A
1
位于
PQ
同一侧，对角线
A
2
A
5
与
A
1
A
3<
/p>
必相交，设交点为Ｏ，则
A
1
O
A
1
P
A
2
A
3
A
5
OA
3
P
A
3
<
/p>
A
1
A
2
A
5
A
1
O
A
1
P
5
1
2
10
．两个同样大小的正方形
相交错，其公共部分构成一个八边形，一个正方形的边是蓝色的，另一
个正方形的边是红
色的，证明：八边形中蓝色的边长之和等于它的红色边长之和．
Key1
：
（
1
）两个正方形中心重合时，所构成的八边形外切于以中心为圆心、
正方形边长为直径
的圆，
由切线长定理即得．
（
2
）中心不重合时，其中一个正方形
可沿另一个正方形的两边平移使得中心
S
P
1
S
1
Q
1
R
1
R
P
Q
重合，只需
证明平移时红边长度之和不变．
Key2
：图中的小三角形都相似，红边之和：红色高线之和
=
D
S
C
1
R
C
T
D
1
Q
4
B
1
L
P
高中数学竞赛讲座
二试内容
30
蓝边之和：蓝色高线之和，而红色三角形面积之和
=
蓝色三角形面积之和，由红色三角形与蓝色三角形
有公共的底边八边形，则红色高线之和与蓝色高线
之和相等，所以红边之和与蓝边之和．
11
．已知正方形和三角形都外切于半径为
1
的圆，证明：
正方形和三角形的公共部分的面积必大
于
3.4
，并问能否肯定这样的面积大于
3.5
？
(1986
俄罗斯
)
Key:
当外切三角形的边不平行于外切
正方形的边时，
三角形的边截正方形一角所成的直角三角形便
在
“公共部分”之外，先讨论这样的直角三角形面积．
m
m
sin
m
cos
2
m
2
/(sin
cos
1
)
S
1
2
/(sin
cos
1
)
1
2
/(
2
1
)
< br>2
(
2
1
)
2
O
N
J
A
JL
m
K
L
M
(
当
45
时等号成立）
,
S
4
3
(
2
1
)
2
6
2
5
3
.
4
如图
二，作直角三角形使两边与正方形的两边成
45
度角，而第三边
使得
1
2
(
2
1
)
2
S
(
2
1
)
2
< br>，这时公共面积
S
4
2
(
2
1
)
2
< br>
S
3
.
5
，
2
只需证：
1
2
(
2
<
/p>
1
)
2
S
，
2
令
1
2
/(sin
cos
1
)
三．练习
4
3
64
11
2
< br>arcsin
4
82
1
．在平面上给出不在同一直线上的四个点，证明：以这些点中任意三点
为顶点的
三角形中至少有一个不是锐角三角形．
key
：分凸包是四边形与三角形讨论．
< br>2
．平面上给定六个点，试证明任意两点距离之中最大与最小的比不小于
3
．
3
．平面上任意给定
5
点，其中任三点不共线，则在以
它们为顶点的三角形中，至多有
7
个锐角三角
< br>形．
2
4
．平面上给定
n(n>4)
个点，每三个点不共线，证明：
至少有
C
n
3
个凸四边形以已知点为顶点．
三．练习
1
．在平面上给出不在同一直线上的四个点，证明：以这些点中任意三点为顶点的
三角形中至少有一个不是锐角三角形．
5