欧式几何
锋芒毕露造句-
欧式几何
VS
非欧几何
1
什么是欧式几何？
2.
欧式几何的来源？欧几里得
3
欧式几何公理有哪些？
4
欧式几何的缺陷——出现非欧几何
5
什么是非欧几何？
包括？罗巴切夫斯基（俄）———罗式几何
黎曼（德）————黎曼几何
6
三种几何的关系
欧式几何
欧几里得几何简称“欧
氏几何
”
。几何学
的一门分科。
公元
前
3
世纪，
古希腊
数学家欧几里德把人们公认的一些几何知
识作为定义和公理
，在此基础上研究
图形的性质，推导出一系列
定理，组成演绎体系，写出《几何原本
》，形成了
欧氏几何。在
其公理体系中，最重要的是平
行公理
，由于对这一公理的不同认
识，导致非
欧几何
的产生。按所讨论的
图形在平面上或空间中，分别称为“平
面几何”与“立体几何”。
亚历山大里亚的欧几里得（希腊文：Ευκλειδη
ς<
/p>
，约公元前
330
年—
前
275
年），古希腊数学家
，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公
元前
323<
/p>
年－前
283
年）时期的亚历山大里亚，
他最著名的著作《几何原本》
是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被
广泛的认为是历史
上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几
何学及
数论的作品
,
是几何学的奠基人
欧式几
何公理
欧式
几何
的
传统描
述是一个
公理系
统，通
过有限
的公理
来证明
所有的
“真命
题”
。
欧
式几何的五条公
理是：
1
、任意
两
个点可以通过一
条直线连接。
2
、任意
线
段能无限延伸成
一条直线。
3
、给定
任
意线段，可以以
其一个端点作为圆
心
，该线段作为
半径作一
个圆。
4
、所有
直
角都全等。
5
< br>、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直
角，则这
两条直线在这一边必定相交。
导出命
题
第
五条公理称为平
< br>行公理，可以导出
下述命题：
通
过一个
不在直线
上的点，有且
仅有一条不与该
直线相交的直线
。
平
行
公理并
不像其
他公理
那么显然
。许多
几何学
家尝试
用其他
公理来
证明这
条公理
，但都没有成功
。
19
世
纪，通过构造非欧
几里德几何
，说
明平行公
理是不
能被证明的
。
（若从上述公理体系
中去掉平行公理，则可
以
得到更一
般的几
何，即绝对几何
。
）
从
另一方面讲，欧
< br>式几何的五条公理
并不完备。例如
，该几何中的有
定理：
任意线段都是三
角形的一部分。他
用通常的方法进
行构造：以线段
为半径
，分别以线段的
两个端点为圆心作
圆，将两
个圆的
交点作为三角形
的第三
个顶点。
然而
，他的公理并不
保证这两个圆必
定
相交。
因此
，许多
< br>公理系
统的修订版本被
提出，其中有希尔
伯特公理系统。
非欧氏几何
非欧氏几何产生于非欧式空间，而非欧式空间可以理解成扭曲了的欧式空间，
可能它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不
正交（即不成
90
度）
例子：欧式空间中的球面，对于在球面上爬行的蚂蚁来说就是非欧式空间的平
面，它们在爬行的过程中不会感觉到球面的弯曲。当然在这样的一个球面上，
欧式几
何也不再成立，譬如：三角形的内角和不再是
180
度，而球面
上两点之
间的最短距离也不再是两点之间的连线（因为这时两点之间的的线段根本经
过球面）
欧氏几何是平面，非欧几何是在一个不规则曲面上的
非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲
< br>，他有广义、狭义、通常意
义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几
里的几何学不同的几何
学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧
几何，就是
指罗式几何和黎曼几何这两种几何。
欧几里得的《几何原本》提出
了五条公设，长期以来，数学家们发现第五
公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗
长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题
中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠
第
五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为
定理？能不
能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长
达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终
得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的
对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世
纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设
的过程中，他走了另一条路
子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题
,
用
它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开