数学史上的三次数学危机的成因分析
给父母的一封信作文-
江西科技师范学院学年论文
数学史上的三次数学危机的成因分析
吕少珍
（数学与应用数学
20081444
）指导老师：王亚辉
摘
要
从哲学上来看，矛盾是无处不在的
，即便是以确定无疑著称的数学也不例外。
数学常常被人们认
为是自然科学中发展的最完善的一门学科，它是自然中最基础的学科，
是所有科学之父，
没有数学，就不可能有其他科学的产生。但在数学的发展史中，却经历
了三次危机，本文
回顾了数学史上三次危机的产生和发展，并给出了自己对这三次危机的
看法，最后得出确
定性丧失的结论。
关键词
：数学危机；
无理数；
微积分；
无穷小量
1
第一次数学危机
1.1
背景
第一次危机发生在公元前
580
—
568
年之间的古希腊，当时人们对有理数的
认识还很有限，
对于无理数的概念更是一无所知。
数学家毕达
哥拉斯建立了毕达
哥拉斯学派。这个学派是一个宗教、政治、学术合一且组织严密，带有
浓厚宗教
色彩的学派，
这个学派进行了大量的教学研究，
并取得了众多的数学发现。
在当
时他们一致认
为“数”的中心地位随时可见，他们还提出了“万物皆数”这一论
断。后期毕达哥拉斯学
派成员费洛罗斯将这一观点清晰表达为：
“人们所知道的
一切事
物都包含数；因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。
”
世界上的万物和现象都只能通过数才能加以解释，
唯有通过数和形，
才能把握宇
宙的本性，
他们还指出
“万物都可以归结为整数之比”
并且相信宇宙的本质就在
于这种“数的和谐”
。
1.2
起源
1.2.1
“万物都可以归结为整数之比”
比较
两条线段
a
与
b
的长度，
当
b
恰好是
a
的正整数
r
倍时，
我们可以直接
用
a
作为
这两条线段的共同度量单位。
当
b
不是
a
的正整数倍时，
我们就要去找
第三条线段
d
，使得
a
可以正好分成
d
的正整数倍，同时<
/p>
b
也可以分成
d
的正整
数倍，我们可以假设
a
的长度是
d
的
m
倍，<
/p>
b
的长度是
d
的
n
倍，这时，我们说
d
就是
a
与
b
< br>的度量单位，并说线段
a
与
b<
/p>
是可公约或可公度的。这个过程相当
于用比较短的线段当尺子去量
长的，
如果一次量尽，
则度量结束；
如
果一次量不
尽，
就用余下的那段线段作为新的尺子去量那个比较
短的线段，
如果量尽，
度量
结束，
且度量单位就是那段余下的线段；
如果还是量不尽，
就用再余下的那段线
段作为新的尺子去量之前余下的那一段„如此下去，
直到量尽，
度量结束，
且度
< br>量单位就是最后余下的那段线段。
对于任意两条线段，
毕
达哥拉斯学派的成员相
信上面的操作过程总会在进行了有限步之后结束，
他们相信，
只要有耐心总能找
到那个度量单位的。
所以，
任何两个同类量都是可通约的，
即万
物都归结为整数
之比
1.2.2
希帕索斯悖论
希帕索斯悖论的提出与
勾股定理的发现密切相关。
因此，
我们从勾股定理谈
起。
勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。
天
文学家开普勒曾称其为欧氏几
何两颗璀璨的明珠之一。
它在数学
与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，
同
时也是人类最早认
识到的平面几何定理之一。
在我国，
最早的一部天文数学著作<
/p>
《周髀算经》
中就已有了关于这一定理的初步认识。
不过，
在我国对于勾股定理
的证明却是较迟的事情。
一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证
明。
在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国
外一般
称之为“毕达哥拉斯定理”。
并且据说毕达哥拉斯在完成
这一定理证明后欣喜若
狂，
而杀牛百只以示庆贺。
因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：
“百
牛定理”。
当毕达哥拉斯学派提
出
“任何两个量都是可公度的”
时，
古
希腊人坦然地接
受了这一似乎是无可怀疑的结论。
毕达哥拉斯学
派所说的数，
原来是指整数，
他
们不把
分数看成一种数，
而仅看作两个整数之比，
他们错误地认为，<
/p>
宇宙间的一
切现象都归结为整数或整数之比。
后来毕达哥拉斯学派的希帕索斯根据勾股定理
通过逻辑推理发现等腰直角三角形的直
角边与斜边不可公度！
即这两条线段不存
在共同的度量单位，<
/p>
不管度量单位取得多么小，
都不可能成为等腰直角三角形的
直角边与斜边的共同度量单位。
即腰长为
1<
/p>
的等腰直角三角形的斜边长度，
竟然
是一
个无法写成为有理数的数。
亦即是说有理数并非一切数，
存在有
理数以外的
数，有理数不可以完全填满整条线段。这就是希帕索斯悖论：存在不可公度量
！
1.3
危机的解决
1.3.1
无理数的出现
毕达哥拉斯学派提出的
所谓
“任何两个量都是可度量的”
就是指对于任何两
条线段
a
与
b
，
存在一条小线段
d
可作
为
a
与
b
的共
同度量单位，
使得
a=md,b=nd.
这实际上意味着
b
：
a=m
：
n,
其中
m
与
n
都是整数。因此，当毕达哥拉斯学派相
信任何两条线段
a
与
b
都可公度时，
用我们现在的语言表述就是指任何两条线段<
/p>
的比是整数或是一个分数。
简言之，
是一
个有理数。
而希帕索斯不可公度量的发
现就是指，
等腰直角三角形的直角边与斜边的比既不是一个整数，
也不是一个分
数，或者简言之，不是一个有理数，而是一个当时人们完全不了解的全新的数，
< br>这类数后来被称为无理数。
最早出现的无理数也与计数
、测量有关。乘法的重复进行产生了乘方，
2
乘
3
就是三个
2
相乘，
然而哪个数的平方会等于
2
呢？毕达哥拉斯学
派提出了这个
问题，边长为
1
的正方形
的对角线的长度不是既约分数，后来用√2
表示对角线
的长度，
无理数的概念初步形成。
在欧几里德的《几何原本》中有关于
√2
不是有理数的一个证明，但据说是更早
的毕达哥拉斯学派所
作
：设√2
是既约分数
p/q
，即√2=p/q，则
2q2=p2
，这表
明
p2
是偶数，
p
也是偶数
（否则若
< br>p
是奇数则
p2
是奇数）
，
设
p=2k
，
得
q2=2k2
，
于是
q
也是偶数，
这与
p/q
是既约分数矛盾。
人类历史上诞生的第一个无理
数就
是希帕索斯发现的√2。
1.3.2
悖论所引发的问题
为什么在当时无理数的发现会被认为是悖论并且引发如此严重的问题呢？
首先，
这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的数学与哲学根基
，
它将推翻毕达哥
拉斯学派“万物皆数”的基本哲学信条。其次
，这一发现摧毁了建立在“任何两
条线段都是可通约的”
这一观
点背后的数学观念。
更重要的是，
这一发现摧毁了
人们通过经验与直觉获得的一些常识。
简言之，
这意
味着，
曾为人们的经验所确
信的，完全符合常识的许多论断都要
被小小的√
2
的存在而推翻了！
这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！要把这种“荒谬”的事承认下来是
< br>多么困难啊。事实上，不可通约量的发现对毕达哥拉斯学派是一个致命的打击，
他
对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的打击。
不可通约量的发现所造成
的影响，
不但体现在猛烈抨击并摧毁了许多传统观念与毕达哥拉斯学派所坚
持的
观念上，
而且表现在它对具体数学成果的否定上。
事实上，
当时毕达哥拉斯学派
的许多几何定理证
明都是建立在任何量都是可通约的基础上的。
1.3.3
芝诺悖论与毕氏学派
诱发第一次数学
危机的一个间接因素是之后
“芝诺悖论”
的出现，
当人们还
处在刚刚从自然数概念脱胎而形成有理数概念的早期阶段，
对于无理数的概念一
无所知。
因此，
当时人们的普遍见解是确信一切量都可以用有理数来表示。
亦就
是说，
在任何精确度的范围内的任何量，
总能表示
为有理数，
迫使人们去认识和
理解自然数及其比不能包括几何量
，
迫使毕达哥拉斯学派承认希帕索斯悖论，
并
< br>提出单子概念去解决这一悖论。
单子概念是如此之小的度量单位以致本身是不可<
/p>
度量却又要保持为一种单位。
这或许是企图通过无限来解决问题的
最早努力。
但
是，毕氏学派的努力却又引起了芝诺认为“一个单
子或者是
0
或者不是
0
，如果
是
0
，则无穷多个单子
相加也产生不了长度，如果不是
0
，则由无穷多个单子组
成的有限长线段应该是无限长的。
”不论何说都矛盾，这就是芝诺悖论
。
古代数学家认为，
这样能把直线上
所有的点用完。
但是，
毕氏学派大约在公
元前
400
年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。特别
是，他们证明了：这
条直线上存在点
p
不对应于有理数，这里距离
op
等于边长为单位长的正方形的<
/p>
对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，
< br>并且因为这些数不可能是有理数，
只好称它们为无理数。
无理数的发现，
是毕氏学派的最伟大成就之一，
也是数学
史上的重要里程碑。
1.3.4
比理论
古希腊人面对的难题是如何解
决不可通约量或以我们现在的方式说是如何
解决无理数，对他们来说，问题来自几何，只
要研究线段等几何量，就不得不面
对不可通约量，
这是无法绕过
去的。
于是，
古希腊人设想的思路是：
在数的领域，
仍然只承认整数或整数的比，
只要在几何研究中，
能解决几何量中出现的不可通
约量问题就可以宣告万事大吉了。
简言之，
把数和量分开，
研究的关键转
向线段、
面积、
体积等几何量。
令人称
奇的是，
古希腊人依照这种思路走下去竟然成功了。
帮助古希腊
人摆脱困境的关键一步是由才华横溢的欧多克索斯迈出的。
欧多克索
斯建立了既适用于可通约线段，也适用于不可通约量线段的完整的比理论。
欧多克索斯本人的著作已经全部失传，不过，他的比例论成果被保存在欧几
里得《几何原本》第五卷中，下面所介绍的内容来自《几何原本》第五卷，但其
主要
思想属于欧多克索斯。
定义
3
：两个同类量之间的数量关系叫做比。
定义
4
：
如果一个量增大几倍后可以大于另
一个量，
则说这两个量有一个比。
这
个定义实际上允许了不可通约量的存在。
比如对正方形对角线与边长这两
个量来说，
因为正方形的边长增加
2
< br>倍后就可以超过其对角线，
所以现在对两者
就可以定义一
个比了。
也就是说这里创造的量的比这一新的数学定义已经突破了
毕达哥拉斯所认为的只有可公度量才可以比的限制。
实际上，
如果承认
“两个有
限的同类量，任何一个加大适当的倍数都能大
于另一个”
（阿基米德公理）那么
任何两个有限量都有比，而不
必考虑是否可公度。
定义
5
：
a:b=c:d
是指：
如果对于任给的正整数
m,n
，
只要
ma>nb,
总有
mc>nd
；
只要
ma=nb
，总
有
mc=nd
；只要
不过欧多克索斯理论是建筑在几何量的基础之上的， 把无理数作为数来处理．
ma
总有
mc
；
这个定义的贡献在于：如果在只知道有理数而不知道无理数的情况下，它指
出可以用全部大于某数和全部小于某数的有理数来定义该数，
从而使可公度量
与
不可公度量都能参加运算。这一定义是整个比理论的基础。
欧多克索斯的比例理论为处理无理数提供了逻辑依据，
用几何方
法消除了希
帕索斯悖论引发的数学危机，事实上，
19
世纪的无理数理论是欧多克索斯思想
的继承和发展．
因而回避了
尽管如此，
欧多克索斯的这些定义
无疑给不可公度比提
供了逻辑基础．
为了防止在处理这些量时出
错，
他进一步建立了以明确公理为依
据的演绎体系，
从而大大推进了几何学的发展．
从他之后，
几何学
成了希腊数学
的主流．
1.4
第一次数学危机的影响
希帕索斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，
“数即万物”
的世界观被极大的动摇了
,
有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整
个数学的
基础，
使数学界产生了极度的思想混乱，
导致了第一次数学危机
，
这一
危机的影响是巨大的，
它不仅推
动了数学及其相关学科的发展，
使古希腊数学的
基础发生了根本
性的变化，
而且推动了整个科学的发展，
第一次数学危机让人们
第一次认识到了无理数的存在，
无理数从此诞生了，
之后，
许多数学家正式研究
了无理数，
给出了无理数的严格定义，
提出了一个含有有理数和无理数的新的数
类——实数，
并建立了完整的实数理论，
为数
学分析的发展奠定了基础。
在古希
腊，
数学和哲学是结盟的，
哲学使古希腊的数学趋于抽象和真理，
正
是由于古希
腊的哲学背景，
使其有可能建立世界上第一个数学公
理系统，
并最终导致了近代
科学的诞生。
1.5
结论
这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。
第一次数学危机表明，
几何学
的某些真理与算术无关，
几何量不能完全由整
数及其比来表示。
反之，
数却可以由几何量表示出来。
整
数的尊崇地位受到挑战，
古希腊的数学观点受到极大的冲击。
于
是，
几何学开始在希腊数学中占有特殊地
位。同时经过这次危机
的洗礼，希腊人不得不承认：直觉、经验乃至实验都不是
绝对可靠的，推理论证才是可靠
的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经
过演绎推理，
并
由此建立几何学体系。
这是数学思想上的一次变革，
也是第一次
数学危机的自然产物。
欧多克索斯的解决方式，
是借助几何方法，
通过避免直接
出现无理数而实现的。
这就生硬地把数和量肢解开来。
在这种解决方案下，
对无
理数的使用只有在几何中是允许的，
合法的，
在代数中就是非法的，
不合逻辑的。
或
者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。
我个人认为第一次数学危机的产生最大的意义就是导致
了无理数的产生，
比
如说我们现在说的，
都无法用来表示，
那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，
这样无理数便产生了，
正是有这种思想，
当我们将负数开方时，
人们引入了虚数
i
这使我不得不佩服人
类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在
1872
年德
国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性
的。
2
第二次数学危机
2.1
背景
第二次数学危机发生在十七世纪
。
十七世纪微积分诞生后，
由于推敲微积分
的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。
微积分是人类智慧的伟大结晶，恩格斯曾说过：
“在一切理论成就中，未必
再有像
17
世纪下半叶微积分的发现那样被看作
人类精神的最高胜利了。
”
它的发
明开
辟了数学史上的一个新纪元，标志着数学由常量数学向变量数学的重要转
变。
牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，
他们把各种有关问题的解法统一
成微分法和积分法；
有明确的计算步骤；
微分法和积分法互为逆运算。
由于运算
的完整性和应用的广泛
性，
微积分成为当时解决问题的重要工具。
不过，
在微积
分创立之初，
无论是牛顿还是莱布尼兹的工作
都还不完善，
因而，
导致许多人的
批评
。
荷兰数学家妞纹蒂曾在其著作
《无限小分析》
中指责牛顿的流数术叙述
“模
糊不清”
，莱布尼兹的高阶微分“缺乏根据”等。法国数学家罗尔也对微积分表
示怀疑。
爱尔兰主教贝克莱对微积分强烈的批评对数学界产生了最令人震撼的撞
< br>击。
贝克莱是
18
世纪英国哲学家，西方近代主观唯心主义哲学的主要代表。他
的著名的哲学
命题是：
“存在即是被感知”
。
在这种
观念下，
哲学上的所谓物质实
体，只不过是根本不存在的抽象感
念，物质就是“虚无”
。作为宗教神学家，贝
克莱企图调和科学
与宗教的尖锐矛盾，
给宗教神学建立新的理论基础，
建立一种<
/p>
既能维护宗教神学，又能修正科学实质的思想体系。
2.2
起源
2.2.1
芝诺四悖论
早在古代，人们就对长度
、面积、体积的度量问题感兴趣。古希腊的欧多克
斯引入量的观念来考虑连续变动的东西
，
并完全依据几何来严格处理连续量。
这
造成数与量的长期脱离。古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，
连有理
数的运算也没有，
可是却有量的比例。
他们对于连续与离散的关
系很有兴
趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：
“两分法”：
向着一个目的地运动的物体，
首先
必须经过路程的中点；
然而
要经过这点，
又必须先经过路程的四分之一点；
要过四分之一点又必须首先通过
八分之一点等等，如此类推，以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程，这在
有限
时间内是不可能办到的。
“阿基里斯追不上乌龟”：
阿基里斯
是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑
中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌
龟。
因为他必须首先到达乌
龟的出发点，
而当他到达那一点时，
乌龟又向前爬了。
因而乌龟必定总是跑
在前
头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
“飞矢不动”：
飞着的箭在任何瞬间都是
既非静止又非运动的。
如果瞬间是
不可分的，箭就不可能运动，
因为如果它动了，瞬间就立即是可以分的了。但是
时间是由瞬间组成的，
如果箭在任何瞬间都是不动的，
则箭总是保持静止。
所
以
飞出的箭不能处于运动状态。
“操
场或游行队伍”：
A
、
B
两件物体以等速向相反方向运动。从静止的
C
看来，
比如说，
A
、
B
都在
1
小时内移动了
2
公里；可是，从
A
看来，则
B
在
1