数学史1
采购与供应管理-
数学巨人——欧
拉
信息科学与工程学院
数学
11-4
1101051530
摘要：
欧拉是
18
世纪数学界的中心人物．他是继
I
．牛顿
(Newton)
之后最重要的数学家之一．在
欧拉的工作中，
数学紧密地和其他科学的应用、
各种技术问题的应以及公众的生活联系在一
起．他常常直接为解决力学、天文学、物理
学、航海学、地理学、大地测量学、流体力学、
弹道学、
保险业
和人口统计学等问题提供数学方法．
欧拉的这种面向实际的研究风格，
< br>使得
人们常说：
应用是欧拉研究数学的原因．
其实，欧拉对数学及其应用都十分爱好．
作为一位
数学家，
欧拉把数学用到整个物理领域中去．
他总是首先试图用
数学形式表示物理问题，
为
解决物理问题而提出一种数学思想并
系统地发展和推广这一思想．
因此，
欧拉在这个领域中
的杰出成就作为一个整体，
可以用数学语言加以系统的阐述．
他酷爱抽象的数学问题，
非常
着迷于数论就是例子
．
欧拉的数学著作在其各种科学著作中所占的比重也明显地说明了这一
< br>点．现代版的《欧拉全集》
(Leonhardi Euleri Opera
omnia
，
1911
—
) 72
卷
(74
部分；近
况详见文献［
1
］
)
中有
29
卷属于纯粹数学
.
关键字
数学，里程碑，
欧拉，数论，数学史；
正文
引言
欧拉给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学献身的精神．历史学家把欧拉同阿基米德
(Archimedes)
、牛顿、高斯并列为数学史上的“四
杰”
．数学家
J
．
R
．纽曼
(Newman)1956
年称欧拉是“数学家之英雄”
．现在，英雄欧拉安详地躺在俄罗斯的土地上．
1983
年，在欧
拉逝世
200
周年之际，
各国学者在列宁格勒
(
即圣彼得堡
)
、
< br>西柏林、
东柏林和莫斯科先后隆
重集会纪念其丰功伟绩．
而在欧拉的故乡——巴塞尔，
则出版了各国著名科学家和科学史
家
研究、纪念他的巨型文集《列昂哈德·欧拉——生活事业文献集》
(Leonhard Euler
，
1707
—
1783
，
Beitr
ge
zu
Leben
undWerk
，
1983)
．法国科学家
L
．巴斯德
(Pasteur)
说得好：
“科学没有国籍．但是科学家有
祖国，他对于祖国的光荣应当尽心竭力，死而后已．热烈的
爱国心会使他有勇气和毅力承
担艰难而伟大的工作；
而这工作，
正是对人类有益的．
”
(
在丹
麦哥本哈根万
国医学会上的讲话，
1884)
以此赞美欧拉，他是当之无愧的
.
欧拉对数学做出了巨大的贡献，其主要贡献如下
：
1.
代数
1
7
世纪，代数是人们兴趣的一个重要中心
.
< br>到了
18
世纪，它变成从属于分析，人们很
难把代数和分析互相区别开来
.
欧拉很早就把对数
定义为指数，并于
1728
年在其一篇未发
表的手稿中引入
e
作为自然对数的底
.
1732
年，
欧拉对
G.
卡尔达诺的三次方程解法作出了
第一个完整
的讨论
.
他还试图找到用根式表示的高于四次的方程之解的一
般形式，
诚然这是
徒劳的
. 1742
年，欧拉在给尼古拉第—·伯努利和哥德巴赫的信中，第一次提出了所有实
系数的
n
次多项式都可以分解为实一次或实二次因式
的定理，即具有
n
个形如
a
＋
bi
的根
.
这是和代数基本定理等价的重要命题，先后由达朗贝尔和欧拉证明
.
他们的证明思路不同，
但都不够完全
.
19
世纪有了更精确的证明
.
前述的欧拉《代数学入门》一书，是
16
世纪
中
期开始发展的代数学的一个系统总结
.
此书出版后，很快被译成英文、荷兰文、意大利文、
法文等多种文字，对于
19
世纪和
20
世纪代
数学教科书的编写产生极大影响
.
2.
无穷级数
在
17
世纪建立微积分的同时，无穷级数也进入了数学的实践
.
18
世纪是级数理论的形式发
展时期
.
在欧拉的著作中，
无穷级数起初主要用作解题的辅助手段，
后来成为他研究的一个
科目，
实际知识达到了很高水平
.
前面提到的对著名的
ζ
函数的研究就是一个例子
.
其出发
点是整数平方的倒数求和问题
（
1
）
1
z
2
n
n
1
< br>
伯努利兄弟、
J.
斯特灵和其他一些数学家都曾徒劳地探讨过它
.
1735
年，欧拉解决了
一个普遍得多的问题，证明
了对于任意偶数
2K
＞
0
，
（
2
< br>）
2
K
a
2
k
2
k
这里
a2k
是有
理数，
它后来分别通过欧拉
-
马克劳林
求和公式的系数与伯努利数来表示
.
1
欧拉还给出了当
2K
＋
1
是前面几个小奇数时
n
1
2
k
<
/p>
1
的和，
但对所有的奇数
2K+1
，
ξ
（
2K+1
）
的算术性质至今尚不清楚
.
欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类
. 1744
年他
在给哥德巴赫的一封
信中，谈到了用三角级数表示代数函数的例子
：
（
3
）
< br>
x
2
2
-
sin
x
sin
2
x
sin
3
x
2
3
欧拉还把函数展开式引入无穷乘积
以及求初等分式的和，
这些成果在后来的解析函数一
般理论中占
有重要的地位
.
无穷级数、
无穷乘积
和连分式之间许多相互变换的方法也是欧拉
发现的
.
形式观点在
18
世纪无穷级数的工作中占统治
地位
.
级数被看成是无穷的多项式，并且
就当作多项式来处理，
对其收敛和发散的问题是不太认真对待的
.
欧拉多少意识到收敛性的
重要，
他也看到了关于发散级数的某些困难，
特别是用它们进行计算时产生的困难
.
为了寻
求收敛的一般理论，
< br>欧拉确信且着手进行建立发散级数转变为收敛级数的法则这一艰苦的工
作
.
为此，
他对级数的和这一概念提出了新的更
广泛的定义
.
他还提出两种求和法
.
这些丰
富的思想，对
19
世纪末、
20
世纪初发散级数理论中的两个主题，即
渐近级数理论和可和性
的概念产生了深远影响
.
3.
无穷级数
在
17
世纪建立微积分的同时，无穷级数也进入了数学的实践
.
18
世纪是级数理论的形式发
展时期
.
在欧拉的著作中，
无穷级数起初主要用作解题的辅助手段，
后来成为他研究的一个
科目，
实际知识达到了很高水平
.
前面提到的对著名的
ζ
函数的研究就是一个例子
.
其出发
点是整数平方的倒数求和问题
（
4
）
1
z
2
n
1
n
< br>
伯努利兄弟、
J.
斯特灵和其他一些数学家都曾徒劳地探讨过它
.
1735
年，欧拉解决了
一个普遍得多的问题，证明
了对于任意偶数
2K
＞
0
，
2
k
< br>
2
K
a
2
k
（
5
）
这里
a2k
是有
理数，
它后来分别通过欧拉
-
马克劳林
求和公式的系数与伯努利数来表示
.
1
欧拉还给出了当
2K
＋
1
是前面几个小奇数时
n
1
2
k
<
/p>
1
的和，
但对所有的奇数
2K+1
，
ξ
（
2K+1
）
的算术性质至今尚不清楚
.
欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类
. 1744
年他
在给哥德巴赫的一封
信中，谈到了用三角级数表示代数函数的例子
：
（
6
）
< br>
x
2
2
-
sin
x
sin
2
x
sin
3
x
2
3
（
7
）
欧拉还把函数展开式引入
无
穷
乘积
以
及求
初等分式的和，这些成果在后
来
< br>的
解析
函
数一
< br>般理论中占有重要的地位
.
无
穷级数、
无穷乘积
和连分式之间许多相互变换的
方
法
也是
欧
< br>拉发
现的
.
形式观点在
18
世纪无穷级
数
的
工作
中
占统
治地位
.
级数被看成是无穷的
多项式
，
并且就当
作多项式来处理，对其收敛和
发
散
的问
题
是不
太认真对待的
.
欧拉多少意识<
/p>
到收敛性的重要，
他也看到了关于发散级数的某
< br>些困难，
特别是用
它们进行计算时产生的困难
.
为
了
寻求
收
敛的
一般理论，欧拉确信且着手进
行
建
立发
散
级数
转变为收敛级数的法则这一艰苦的工作
.
为此，
他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的
定义
.
他还提出两种求和法
.
这些丰富的思想，对
19
世纪末、
20
世纪初发散级数理论中的
两个主题，即
渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响
.
4.
函数概念