初中数学几何经典模型
武汉二本大学-
初中数学几何模型
中点模型
【模型
1
】倍长
1
、倍长中线；
2
、倍长类中线；
3
、中点遇平行延长相交
A
A
B
D
C
E
B
D
F
C
E
【模型
2
】遇多个中点，构造中位线
1
、直接连接中点；
2
、连对角线取中点再相连
【例
1
】
在菱
形
ABCD
和正三角形
BEF
中，∠
ABC
=60
°
，
G
是
DF<
/p>
的中点，连接
GC
、
GE
．
（
1
）如图
1
，当点
< br>E
在
BC
边上时，若
AB
=10
，
BF
=4
，求
GE
的长；
（
2
）如图
2
，当点
F
在
AB
的延长线上时，线段
GC
、
GE
有怎样的关系，写出你的猜想；并给予证
明；
（
3
）
如图
3
，当点
F
在
CB
的延长线上时，
(2)
问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明
.
< br>D
G
F
E
A
B
A
G
G
F
B
A
B
E
C
D
C
D
C
E
图
1
图
2
图
< br>3
F
【例
2
】
如图，
在菱形
ABCD
中，
点
E
、
F
分别是
BC
、
CD
上一点，
连接<
/p>
DE
、
EF
，<
/p>
且
AE
=
AF<
/p>
，
DAE<
/p>
BAF
．<
/p>
(1)
求证
：
CE
=
CF
；
(2)
若
ABC
120
，点
G
是线段
< br>AF
的中点，连接
DG
，
EG
．求证：
DG
上
GE
．
<
/p>
【例
3
】
如图，
在四边形
ABCD
中，
AB
=
CD
，
E
、
F
分别为
BC
、
AD
中点，
BA
交
EF
延长线于
G<
/p>
，
CD
交
EF<
/p>
于
H
．求证：∠
BGE
=
∠
CHE
．
A
G
F
D
H
E
C<
/p>
B
1
角平分线模型
【模型
1
】构造轴对称【模型
2
】角
平分线遇平行构造等腰三角形
【例
4
】
如图，
平
行四边形
ABCD
中，
AE
平分∠
BAD
交
BC
边于
E
，
EF
⊥
AE
交
CD
边于
F
，
交
AD
边于
H
，
延长
BA
到点
G
，使
AG
=
CF<
/p>
，连接
GF
．若
BC
=7
，
DF
=3
，
EH
=3
AE
，则
GF
的长为
.
G
A
D
H
F
B
E
C
手拉手模型
【条件】
OA
OB
，
OC
OD
，
AOB
COD
【结论】<
/p>
OAC
OBD
；
AEB
OAB
COD
（即都是旋转角）；
OE
平分
AED
；<
/p>
D
O
O
O
C
C
E
D
E
B
A
C
A
B
A
B
-
【例
5
】
如图，正方形
ABCD
的边长为
6
，点
O
是对角线
AC
、
BD
的交点，点
E
在
CD
上，且
DE
=2
CE
，<
/p>
过点
C
作
CF<
/p>
⊥
BE
，垂足为
F
，连接
OF
，则
OF
的长为
.
【例
6<
/p>
】
如图，
ABC
中，
BAC
90
，
AB
=
AC
，
AD
⊥
BC
于点
D
，点
E
在
AC
边上，连结
BE
，
AG
⊥
BE
于
F
，交
BC
于点
G
，求
DFG
A
E
F
B
C
D
G
2
【例
7
】
如图，在边长为
6
< br>2
的正方形
ABCD
中，
E
是
AB
边上一点，
G
是
AD
延长
线上一点，
BE
＝
DG
，
连接
EG
，
CF
⊥
EG
于点
H
，交
AD
于点
F
，连接
CE
、
BH
。若
BH
＝
8
，则
FG
＝
A
F
D
G
H
E
B
C
18
题图
邻边相等对角互补模型
【模型
1
】
【条件】如图，四边形
< br>ABCD
中，
AB
=
AD
，
BAD
BCD
ABC
ADC
180
【结论】
AC
平
分
BCD
A
A
E
B
B<
/p>
C
F
【模型<
/p>
2
】
【条件】如图，四边形
ABCD
中，
AB
=
AD
，
BAD
BCD
90
C
D
E
D
【结论】
①
ACB
ACD
45<
/p>
②
BC
CD
A
E
2
AC
A
B
B
E
D
C
D
C
F
【例
8
】
如图，矩形<
/p>
ABCD
中，
AB
=6
，
AD
=5
，
G
为
CD
中点，
DE
=
DG
< br>，
FG
⊥
BE
< br>于
F
，则
DF
< br>为
.
N
M
D
C
G
D
C
F
A
B
E
E
O
G
F
A
B
A
B
D
C
第
8
题
第
9
题
第
10
题
<
/p>
【例
9
】
如图，
正方形
ABCD
的边长为
3
，延长
CB
至点
M
，使
BM
=1
，连接
AM
，过点
B
作
BN
AM
，
垂足为
N
，
O
是对角线
AC
、
BD
的交点，连接
ON
，则
ON
的长为
.
【例
10
】
如图，正方形
ABCD
的面积为
64
，
BCE
是等边三角形，
F
是
CE
的中点，
AE
、
BF
交于点
G
，
则
DG
的长为
.
半角模型
【模型
1
】
【条件】如图，四边形<
/p>
ABCD
中，
AB
=
AD
，
BAD
BCD
ABC
ADC
180
，
3
EAF
1
BAD
，
点
E
在直线
BC
上
,
点
F
在
直线
CD
上
【结论】
< br>BE
、
DF
、
< br>EF
满足截长补短关系
A
2
D
F
E
B
C
【模型
2
】
【条件】在正方形
ABCD
中，已知
E
、
F
分别是边
BC
、
CD
上的点
，且满足∠
EAF
=45°
，
AE
、
AF
分别与
对角线
BD
交于点
M
、
N
.
【结论】
(1)
< br>BE
+
DF
=
< br>EF
；
(2)
S
△
ABE
+
S
△
ADF
=
S
△
AEF
；
(3)
AH
=
AB
；
(4)
C
△
ECF
=
2
AB
；<
/p>
(5)
BM
2
+
DN
2
=
MN
2
；
(6)
△
ANM
∽△
DNF
∽△
BEM
∽△
AEF
∽△
BNA<
/p>
∽
△
DAM
；<
/p>
(
由
AO
：
AH
=
AO
：
AB
=1
：
2
可得到
△
ANM
和
△
AEF
的
相似比为
1
：
2
)
；
(7)
S
△
AMN
=
S
四边形
MNFE
；
(8)
△
AOM
∽△
ADF
，
△
AON
∽△
ABE
；
(9)
△
AEN
为等腰直角三角形，∠
AEN
=45°
；
△
AFM
为等腰直角三角形，∠
AFM
=45°
.
(1.
∠
EAF
=45°
；
2.
AE
：
AN
=1
：
2
)
；
< br>(10)
A
、
M
、
F
、
D
四点共圆，
A
、
B
、
E
、
N
四点共圆，
M
、
N
、
F
、
C
、
E
五点共圆
.
A
D
N
F
M
H
B
C
E
【模型
2
变型】
【条件】
在正方形
ABCD
中，
已知
E
、
F
分别是边
CB
、
DC
延长线上的
点，
且满足∠
EAF
=45°
【结论】
BE
+
EF<
/p>
=
DF
A
D
B
C
E
F
【模型
2
变型】
【条件】
在正方形
ABCD
中，
已知
E
、
F
分别是边
CB
、
DC
延长线
上的点，
且满足∠
EAF
=45°
【结论】
DF
+<
/p>
EF
=
BE
F
A
D
B
C
E
4