平面几何-五大定理及其证明
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2021年02月16日 18:32
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平面几何定理及其证明
梅涅劳斯定理
1
.
梅涅劳斯定理及其证明
不是
ABC
的顶点，则有
AD
BE
DB
EC
CF
1
定理：一条直线与
ABC
的三边
AB BC
CA
所在直线分别交于点
D
E
、
F
,
且
D
E
、
F
均
<
/p>
证明：如图，过点
C
作
< br>AB
的平行线，交
EF
于点
G.
因为
CG // AB
，所以
CG CF
---------------------
（
1
）
AD
FA
由（
1
）宁（
2
）
可得
兀
DB
因为
CG //
AB
，所以
EC
（
2
）
DB
BE
EC FA
DB EC FA
C
F
，即得
AD C
F
AD BE CF
DB EC FA
/
1
，那么，
D E
、
F
三点共线
.
证明：设直线
EF
交
AB
于点
D
，则据梅涅劳斯定理有
AD
BE CF
丽
EC
FA
因为
AD Bl
CF
1
，所以有誥
DB EC FA
鴿
.
由于点
D
D
都在线
E
、
F
三点共线
.
段
AB
上，所以点
D
与
D
重合
.
即得
D
2
< br>.
梅涅劳斯定理的逆定理及其证明
定理：在
ABC
的边
AB
BC
上各有一点
D
E
,
在边
A
C
的延长线上
有一点
F
,
若
二、
塞瓦定理
3
.
塞瓦定理及其证明
定理：在
ABC
内一点
P,<
/p>
该点与
ABC
的三个顶点相连所在的
三条直
线分别交
ABCE
边
AB BC
CA
于点
D E
、
F
,
且
D
E
、
F
三点均不是
ABC
< br>证
运用面积比可得
AD
DB
明：
根据
比定理有
等
S
S
ADP
S
BDP
S
ADC
S
BDC
S
ADP
S
ADC
ADC
BDC
S
S
ADP
BDP
S
S
APC
S
BDP
S
BDC
S
的顶点，则有
AD BE CF
“
1 DB EC FA
.