高中数学竞赛平面几何定理
最全-
高中数学竞赛专题讲座
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）
1
．
勾股定
理（毕达哥拉斯定理）
（广义勾股定理）
(1)
锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边
和另一边在这边
上的射影乘积的两倍．
(2)
钝角对
边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边
在这边上的射影乘积的两
倍．
2
．
射影定理（欧几里得定理）
3
．
中线定
理（巴布斯定理）设△
ABC
的边
BC
的中点为
P
，则有
AB
2
AC
2
2
(
AP
2
BP
2
)
；
中线
长：
m
a
2
b
2
2
c
2
a
2
．
2
2
2
2
2
< br>4
．
垂线定理：
AB
CD
AC
AD
BC
BD
．
高线长：
h
a
2
bc
p
(
p
a
< br>)(
p
b
)(
p
c
)
sin
A
c
sin
B
b
sin
C
．
a
a
5
．
角平分线定理：三角形一个角的平
分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．
如△
ABC
中，
AD
平分∠
BAC
，则
BD
AB
；
（外角平分线定理
）
．
DC
A
C
角平分线长：
t
a
< br>
6
．
正弦定理：
2
2
bc
A
．
bcp
(
p
a
)
cos
（其中
p
为周长一半）
b
c
b
c
2
a
b
c
< br>（其中
R
为三角形外接圆半径）
．
<
/p>
2
R
，
sin<
/p>
A
sin
B
si
n
C
2
2
2<
/p>
7
．
余弦定理
：
c
a
<
/p>
b
2
ab
cos
C
．
8
．
张角定
理：
sin
BAC
< br>
sin
< br>BAD
sin
DAC
．
AD
AC
AB
9
．
斯特瓦尔特
(
Stew
art
)
定理：设已知△
ABC
及其底边上
B
、
C<
/p>
两点间的一点
D
，则有
< br>AB
2
·
DC
< br>+
AC
2
·
BD
－
AD
2
·
BC
＝
BC
·
DC
·
BD
．
10
．
圆周
角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．
（圆外角如何转化？）
11
．
弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．
12
．
圆幂
定理：
（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）
：切
线长定理：
）
13
．
布拉
美古塔（
Brahmagupta
）定理：
在圆内接四边形
ABCD
中，<
/p>
AC
⊥
BD
，自
对角线的交点
P
向一边作垂线，其延
长
线必平分对边．
14
．
点到
圆的幂：设
P
为⊙
O
< br>所在平面上任意一点，
PO
=
d
，⊙
O
的半径为
r
，则
d
2
－
r
2
就是点
P
对于⊙
O
的幂．过
< br>P
任作一直线与⊙
O
交于点
A
、
B
，则
P
A·
PB
= |<
/p>
d
2
－
r
2
|
．
“到两圆等幂
的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，
如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的
公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”
．三个圆两两的根
轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”
．三个圆
的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相
交时，三条公共弦
(<
/p>
就是两两的根轴
)
所在直线交于一点．<
/p>
15
．
托勒密（
Ptolemy
）定理：圆内接四
边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即
AC
·
BD
=
AB
·
CD
+
AD
·
BC
，
(
逆命题成
立
)
．
（广义托勒密
定理）
AB
·
CD
+
AD
·
BC
≥
AC
·
BD
．
16
．
蝴蝶
定理：
AB
是⊙
O
的弦，
M
是其中点，弦
CD
、
EF
经过点
M
，
CF
、
DE
交
AB
于
P
、
Q
，求证：
MP<
/p>
=
QM
．
17
．
<
/p>
费马点：
定理
1
等边三角形外接圆上一点，
到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；
不在等边三角
形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另
一点的距离．
定理
2
三角形每一内角都小于
120
°时，在三
角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是
120
°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”
，当三角形有
一内角不小于
120
°时，此角的顶点即为费马点．
第
1
页
高中数学竞赛专题讲座
18
．
拿破
仑三角形：在任意△
ABC
的外侧，分别作等边△
ABD
、△
BCE
、△
CAF
，则
AE
、
AB
、
CD
三
线共点，并且
AE
＝
BF
＝
CD
，这个命题称为拿破仑定理．
以△
ABC
的三条边分别向外作等边△
ABD
、△
BCE
、△
CAF
，它们的
外接
圆⊙
C
1
、⊙
A
1
<
/p>
、⊙
B
1
的圆心
构成的△——外拿破仑的三角形，⊙
C
1
、⊙
A
1
、⊙
B
1
三圆
共点，外拿破仑三角形是
一个等边三角形；△
ABC
的三条边分别向△
ABC
的内侧作等边△
ABD
、△
BCE
、△
CAF
，它们的外接圆⊙
C
2
、⊙
A
2
<
/p>
、⊙
B
2
的圆心
构成的△——内拿破仑三角形，⊙
C
2
、⊙
A
2
<
/p>
、⊙
B
2
三圆共
点，内拿破仑三角形也是一个等边三
角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．
19
．
九点圆（
Nine
point
round
或欧拉圆或费尔巴赫圆）
：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线
的垂足，以
及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的
性质
,
例如
:
（
1
）三角
形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半
;
（
2
）九点圆的圆心在欧拉线上
< br>,
且恰为垂心与外心连线的中点
;
（
3
）三角
形的九点圆与三角形的内切圆
,
三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定
理〕
．
20
．
欧拉
（
Euler
）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依
次位于同一直线（欧拉线）上．
21
．
欧拉
（
Euler
）公式：设三角形的外接圆半径为
R
，内切圆半径为
r
，外心与
内心的距离为
d
，则
d
2
=
R
2
－
2
Rr
．
22
．
锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．
23
．
重心
：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成
2
：<
/p>
1
的两部分；
G
(
x
A
x<
/p>
B
x
C
,
y
A
y
B
y
C
)
3
3
重心性质：
（
1
）设
G
为
△
< br>ABC
的重心，连结
AG
并延长
交
BC
于
D
，
则
D
为
BC
的
中点，则
AG
:
GD
< br>
2
:
1
；
（
2
）设
G
为
△<
/p>
ABC
的重心，则
S
ABG
1
S
BC
G
S
AC
G
S
AB
C
；
3
DE
FP
KH
2
D
E
FP
KH
;
<
/p>
2
；
BC
CA
AB
3
BC
CA
AB
（<
/p>
3
）设
G
为
△
ABC
的重心，过
G
作
DE
∥
BC
交
AB
于
D
，交
AC
于
E
，过
G
作
P
F
∥
AC
交
A
B
于
P
，交
B
C
于
F
，过
G
作
HK
∥
AB
交
AC
于
K<
/p>
，交
BC
于
H<
/p>
，则
（
4
）设<
/p>
G
为
△
ABC<
/p>
的重心，则
3
GA
2
C
A
2
3
GB
2
AB
2<
/p>
3
GC
2
；
1
2
2
2
2
2
2
②
GA
GB
GC
(
AB
BC
CA
)
；
< br>
3
2
2
2
2
2
2
2
③
PA
PB
PC
GA
GB
GC
3
PG
（<
/p>
P
为
△
ABC<
/p>
内任意一点）
；
2
2
2
④到三角形三顶点距离的平方
和最小的点是重心，即
GA
GB
GC
最小；
①
BC
⑤三
角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则
G
为
△
ABC
的重心）<
/p>
．
2
a
b
c
a
b
c
x
A
x
B
x
C
y
A
y
B
y
C<
/p>
cos
B
cos
C
cos
A
cos
B
cos
C
24
< br>．
垂心：三角形的三条高线的交点；
< br>H
(
cos
A
< br>,
)
a
b
c
a
b
c
cos
A
cos
B
cos
C
cos
A
cos
B
cos
< br>C
垂心性质：
（
1
）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的
2
倍；
（
2
< br>）垂心
H
关于
△
ABC
的三边的对称点，均在
△
ABC
的外接圆上；
（
3
）
△
ABC
的垂心为
H
，则
△
ABC
，
△
ABH<
/p>
，
△
BCH
，<
/p>
△
ACH
的外接圆是等圆；
（
4
）设
O
，
H
分别为
△
ABC
的外心和垂心，则
BAO
H
AC
,
CBO
ABH
,
BCO
HCA
．
25
．
内心
：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；
I
(
ax
A
bx
B
cx
C
ay
A
by
B
cy
C
,
)
a
b
< br>
c
a
b
c
内心性质：
< br>（
1
）设
I
为
△
ABC
的内心，则
I
到
△
ABC
三边的距离相等，反之亦然；
第
2
页
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1
1
1
90
A
< br>,
AIC
< br>90
B
,
AIB
90
C
；
2
2
2
（
3
）
三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心
的距离相等；
反之，
若
A
平分线交
△
ABC
（
2
）设
I
为
△
ABC
的内心，则
BIC
外接圆于点
< br>K
，
I
为线段
< br>AK
上的点且满足
KI=KB
，
则
I
为
△
AB
C
的内心；
（
4
）设
I
为
△
ABC
的内心，
BC
a
,
AC
< br>
b
,
AB
c
,
A
平分线交
BC
于
D
，交
△
ABC
外接圆于点
K
，则
AI
AK
IK
b
c
；
ID
KI
KD
a
（
5
）设
I
为
< br>△
ABC
的内心，
BC
a
,
AC
b
,
AB
c
,
I
< br>在
BC
,
AC
< br>,
AB
上的射影分别为
D
,
E
,
F
，内切圆半径为
r
，
令<
/p>
1
p
(
a
b
c
)
，则①
S
ABC
pr
；②
AE
AF
p
a
;
BD
BF
p
b
;
CE
CD
p
c
；③
2
abcr
p
AI
< br>BI
CI
．
< br>
sin
2
Ax
A
sin
2
Bx
B
sin
2
Cx
C
sin
2
Ay
A
sin
2
By
B
sin
2
Cy
C
,
)
sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
26
．
外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶
点距离相等；
O
(
< br>外心性质：
（
1
）外心到三角形
各顶点距离相等；
（
2
）设
O
为
△
ABC
的外心，则
BOC<
/p>
2
A
或
BOC
360
2
A
；
（
3
）
R
abc
；
（
4
）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．
4
S
27
．
旁心：一内角
平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设
△
ABC
的三边
BC
a
,
AC
b
,
AB
c
,
令
1
p
(
a
< br>b
c
)
，分别与
BC
,
AC
,
AB
外侧相切的旁切圆圆心记为
I
A
,
I
B
,
I
C
，其
半径分别记为
r
A
,
< br>r
B
,
r
C
．
2
1
1
旁心性质：
（
1
）
BI
A
C
90
A
,
BI
B
C
BI
C
C
A
,
（对于顶角
B
，
C
也有类似的式子）
；
2
2
1
（
2
）
I
A
I
B
I
C
(
< br>A
C
)
；
2
（
3
）设
AI
A
的连线交
△
ABC
的外接圆于
D
，则
DI
A
DB
DC
（对于
BI
B
,
CI
C
有同样的结论
）
；
（
4<
/p>
）
△
ABC
是<
/p>
△
I
A
I
B
I
C
的垂足三角形
，且
△
I
A
I
B
I
C
的外接
圆半径
R
'
等于
△
ABC
的直径为
2
R
．
28
．
三角
形面积公式：
S
ABC
1
1
abc
a
2
b
< br>2
c
2
ah
a
ab
sin
C
2
R
2
s
in
A
sin
B
sin
C
2
2
4
R
4
(
cot
A
cot
B
cot
C
)
1
2
R
为外接圆半径，
其中
h
a
表示
BC
边上的高，
r
为内切圆半径，
p
(
a
b
c
)
．
pr
p
(
p
a
)(
p
b
)(
p
c
)
，
29
．
< br>
三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：
r
4
R
sin
r
a
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
< br>C
sin
sin
;
r
a
4
< br>R
sin
cos
cos
,
r
b
4
R
cos
sin
cos
,
r
c
4
R
cos
cos
sin
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r
< br>r
r
1
1
1
1
,
r
b
,
r
c
;
.
B
C
A
C
A
< br>B
r
a
r
b
r
c
r
t
an
tan
tan
tan
tan
tan
2
2
2
2
2
2
30
．
梅涅劳斯（
Menelaus
）定理：设
△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长
线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分
别为
P
、
Q
、
R
则有
BP
CQ
AR
1
．
（逆定理也成立）
PC
QA
RB
第<
/p>
3
页