高中数学立体几何知识点总结(超详细)
男人痣相图解-
立体几何知识梳理
一
、空间几何体
（一）
空间几何体的类型
1
多面体：
由若干个平面多边形围成
的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的
面，相邻两个面的公共边叫做多面体的
棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．
2
旋转体：
把一个平面图形绕它所在
的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体．其
中，这条直线称为旋转体的轴．
（二）
几种空间几何体的结构特征
1
、棱柱的结构特征
1.1
棱柱的定义：
由一个平面多边形沿某一方向平移形成
的空间几何体叫做棱柱．
1.2
棱柱的分类
图
1-1
棱柱
底面是四边形
底面是平行四边形
侧棱垂直于底面
棱柱
底面是矩形
四棱柱
底面是正方形
平行六面体
棱长都相等
直平行
六面体
长方体
正四棱
柱
正方体
性质
：
Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；
Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；
Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；
1.3
棱柱的面积和体积公式
S
直棱柱侧
ch
（
c
是底周长，
h
是高
）
S
直棱柱表面
= c
·
h+
2S
底
V
棱柱
=
S
底
·
h
2
、棱锥的结构特征
2.1
棱锥的定义
（
1
）
棱锥：当棱柱的一个底面收缩
为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．
（
2
）
正棱锥：
如果有一个棱锥的底面是正多边形，
并且顶点在底面的投影是底
面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．
1
2.2
正棱锥的结构特征
Ⅰ、
平行
于底面的截面是与底面相似的正多边形，
相似比等于顶点到截面的距
离与顶点到底面的距离之比；
它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的
平方比；
截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高
与原棱锥的
高的立方比；
Ⅱ、
正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
Ⅲ、
两个特征三角形：
（
1
）
POH
（包含棱锥的高、
斜高和底面内切圆半径）
；
（
2
）
POB
（包含棱锥的高、侧棱和底面外接圆半径）
正棱锥侧面积：
S
< br>正棱椎
1
ch
'
（
c
为底周长，
h
'
为斜高）
2
D
O
A
P
体积：
V
棱椎
1
Sh
（
S
为底面积，
h
为高）
3
C
H
B
正四面体：各条棱长都相等的三棱锥叫正四面体
对于棱长为
a
正四面体的问题可将它补成一个边长为
2
a
（正方体的边长）
2
2
a
的正方体问题．
2
对棱间的距离
为
正四面体的高
6
2
< br>a
（
l
正方体体对角线
）
3
3
2
3
1
< br>a
（
V
正方体
< br>
4
V
小三棱锥
V
正方体
）
12
3
正四面体的体积为<
/p>
正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为
1
:
3
（
1
1
l
正方体体对角线
：
l
正方体体对角线
）
6
2
3
、棱台的结构特征
3.1
棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的
部分称为棱台．
3.2
正棱台的结构特征
（
1
）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
（
2
）正棱台的
两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；
（
3
）正棱台的对角面也是等腰梯形；
（
4
< br>）各侧棱的延长线交于一点．
4
、圆柱的结构特征
4.1
圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲
2
面所围成的几何体叫圆柱．
4.2
圆柱的性质
（
1
）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；
（
2
）过轴的截面
(
轴截面
)
是全等的矩形．
4.3
圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩
形
．
4.4
圆柱的面积和体积公式
S
圆柱侧面
=
2π
·
r
·
h
(r
为底面半径，
< br>h
为圆柱的高
)
V
圆柱
=
S
底
h =
πr
2
h
5
、圆锥的结构特征
5.1
圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直
线为旋转轴，
其余各边旋转而形成的曲面所围成的几
< br>何体叫做圆锥．
5.2
圆锥的结构特征
（
1
）
平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面
直径之比等于顶点到截面
的距离与顶点到底面的距
离之比；
（
2
）轴截面是等腰三角形；
（
3
）母线的平方等于底面半径与高的平方和：
l
2
=
r
2
+
h
2
5.3
圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心
，以母线长为半径
的扇形．
6
、圆台的结构特征
6.1
圆台的定义：用一个平行于
底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间
图
1-5
圆锥
的部分称为圆台．
6.2
圆台的结构特征
⑴
圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；
⑵
圆台的截面是等腰梯形；
⑶
圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究．
6.3
圆台的面积和体积公式
S
圆台侧
=
π
·
(R +
r)
·
l
(r
、
R
为上下底面半径
)
V
圆台
=
1/3 (π
r
2
+ π
R
2
+ π
r R) h
(h
为圆台的高
)
7
球的结构特征
7.1
球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，
半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体．
空间中，
与定
点距离等于定长的点的集合叫做球面，
球面所围成的
几何体称为球体．
3
7-2
球的结构特征
⑴
球心与截面圆心的连线垂直于截面；
⑵
截面半径等于球半径与截面和球心
的距离的平方差：
r
2
=
R
2
–
d
2
⑶注
意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；
球外切正方体，球直径等于正方体的边长．
7-3
球的面积和体积公式
S
球面
=
4 π R
2
(R
为球半径
)
；
V
球
= 4/3 π R
3
（三）空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
圆柱的表面积
：
S
2
rl
2
r
2
2
S
rl
r
圆锥的表面积
：
2
2
S<
/p>
rl
r
Rl
R
圆台的表面积：
<
/p>
球的表面积：
S
4
R
空间几何体的体积
1
柱体的体积
：
V
S
底
h
；
锥体的
体积
：
V
S
底
h
3
2
1
台体的体积
：
V
（
S
上
3
S
上
S
下
< br>
S
下
)
h
；球体的体积：
V
4
R
< br>3
3
斜二测画法：
（
1
）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（
2
）平行于
y
轴的线长度变半，
平行于
x
，
z
轴的线长度不变；
二
、点、直线、平面之间的关系
（一）
、立体几何网络图：
⑹
公理
4
⑴
线线平行
⑵
⑶
⑾
*
三垂线定理
⑺
线线垂直
*
三垂线逆定理
⑻
⑿
⑼
⑽
线面垂直
线面平行
⑷
⑸
⒀
⒂
⒃
⒁
面面垂直
面面平行
1
、线线平行的判断：
4