几何学的本质
沧州美食-
《几何学的本质》
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几何学是人们在长期的生活实践中逐渐发展起来的理
论思维成果之一。在它的启蒙阶
段，现实中的物体形状和理
论上的几何形状，一般是被混为一体或不加区分的，直到柏<
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拉图时代，人们才开始注意到几何形状对于理论和现实的不
同。人
们所画在物体表面上的线都是有一定宽度的，它并非
是几何学理论所意味的那种没有宽度
的线；画在沙面上的三
角形诸角，实际上是一些小块的面积，因此也不是理想的尖
角。几何学概念的意义与体现它的现实事物的不相吻合，使
柏拉图相信
在超越现实事物的表面，一定有着“理念”事物
存在，
它们以十
全十美的完善方式，
显示出理想的几何属性。
因而可靠的几何学
知识，不是由现实事物来直接提供的，它
需要人们对“理念”事物的一种“洞见”行为才
能获得。
柏拉图的观点，代表了对几何学本质的早期见解，它
使
人们清楚地认识到，理想化的几何形状并不存在于人们生活
的
现实空间中。由于人们普遍认为欧几里德几何学中的每一
条公理或公设，都不能从更为基
本的前提中推导出来，而且
每一条公理或公设对于处理现实事物都是有效的，所以，康<
/p>
德紧紧抓住几何学公理的不证自明性，认为几何学知识一定
是通过
逻辑以外的其它方式才能获得，并且是先天的和综合
的。人们对现实事物所具有的几何特
征的认识，实际上是把
现实事物置于几何学先天公理的构架上使之呈现的结果。同
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柏拉图一样，康德也把确定性的几何形
状，同现实空间中的
事物形状区分开来，但是他没有用理想的事物来解释几何学
的本质，而是认为几何学知识是先于人类认识的，它们不能
从人们的认识
中得到解释和说明。
随着实验科学的发展，以及面对一系列通
过实验所取得
的丰硕成果，人们对科学理论的鉴别，逐渐倾向于依赖客观
实验的检验。人们开始放弃柏拉图和康德的神秘主义几何学
观点，并力图使几何
学知识在现实空间中，能够得到客观实
验的证明。高斯曾经测量过以三座山峰的顶端为顶
点的三角
形诸角，以试图验证这个三角形的内角和是否等于
18
0
0
。后
来爱因斯坦对此解释说，三角
形内角和不等于
180
0
，只有在
很大的空间范围上才会明显，所以，对于我们附近的现实空
间，欧几
里得几何学是近似有用的。但是，高斯未能说明他
所测量的三角形，为什么等同于理论意
义上的几何三角形，
爱因斯坦也没有区分三角形对于理论和现实的不同，他们回
避了几何学中绝对理想化的几何形状，不存在于现实空间这
一根本性的前
提。理想化的直线和平面，在现实中没有与它
们相对应的客观对象，研究直线平面几何形
关系，应当只能
针对理论意义上的直线和平面所构成的几何形及其几何关
系。只有将几何学的研究对象，看作与物理学的研究对象一
样，是外在于自然空
间的情况下，人们才会考虑理论中的几
何定律，是否符合客观实际的问题。非欧几何学者
就是在这
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样的情况下，来提出他们的非欧几何学观点的。
非欧几何学者认为，人们在实际应用几何学知识时，总
是依据直观经验来选择
几何定律的。由于空间弯曲这一客观
原因，人们观察下的直线和平面，在事实上可能是曲
线和曲
面，因此，对于这样的几何学应用对象，人们只会依据直观
经验来选择直线平面几何形定律，而不会把它们当做曲线曲
面几何形问题来进行处理的
。所以在理论上，人们仍然应当
将这种事实上的曲线和曲面，称为直线和平面。同传统的
欧
氏几何学相比，非欧直线和平面，是观察下的直线和平面、
事
实上的曲线和曲面；欧氏直线和平面，是观察下的直线和
平面、同时也是事实上的直线和
平面。
观察下的直线和平面、在事实上同时也是直线和平面，
只有在理想化空间中才能实现，对于现实空间这种情况是不
可能
存在的。
所以，
非欧几何学者坚持认为欧几里德几何学，
只能正确地适用于理想化空间中的事物形状，如果对欧几里
德几何学在
现实空间中应用时存在的偏差，不能采用有效的
“修正”方法，那么，就有必要专门针对
现实空间重新建立
一套完整的几何学知识，这种几何学知识需要与空间弯曲的
方式及程度密切地联系起来。
其中，
传统的欧几里
德几何学，
应当是在假设空间弯曲程度为零时的一种理想化特殊情况。
< br>
从内在理论逻辑上来看，非欧几何学与欧氏几何学之间
是不存在矛盾的，因为两者的几何学命题在结论上的不同，
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完全取决于两者在直线和平面概念上的不同
,
< br>对此，
人们不能
因为非欧几何学和欧氏几何学同样都使用
着直线和平面概
念“称谓”
，而误认为非欧平行线公设和欧氏平
行线公设两
者的前提条件，就是完全相同的。
在几何学中，
“线”是没有宽度的，
“面”也是没有厚
度
的，如何将非欧几何学概念、特别是非欧直线和平面概念，
在
现实空间中具体地实现，始终是非欧几何学者无法解决的
问题。即使是高斯等人给出的曲
线曲面非欧几何形模型，也
只能存在于理想化空间之中，它们不能脱离“线无宽和面无<
/p>
厚”这些几何学基本概念所必须的基本要求，而外在于现实
空间中
。另外，直线和平面概念所具有的“无限”含义，只
有在理论上被理解，它们是欧几里德
几何学中的第五公设或
平行线公设成立的必要前提条件。
仅凭实
际观察
,
不能给予非
欧直线和平面概念
以“无限”的含义。那么，非欧平行线公
设表述的具体几何关系又是什么呢？
事实上，欧几里德几何学中的第五公设表述的是平行线
< br>公设的例外情况，因为在同一平面上两条直线之间的位置关
系，除了相互平行就是
相交，所以，人们在习惯上认为“平
行”概念和“不相交”概念是等价概念。但是，在几
何学中，
平行概念只能用两条直线之间的距离处处相等来进行定义，
该定义不仅要适用于直线平面几何关系，对于立体几何关系
也同样要适用，而两条不
相交直线之间的距离处处相等，只
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有在同一欧氏平面上才会出现，对于曲线曲面立体几何形来
说，平行概念和不相交概念
就不能被看作是等价的概念。非
欧几何学者可以在“观察”时认为同一“平面”上的不相
交
直线，是相互平行的直线，但不能从“事实上”来认为同一
“
曲面”上的不相交曲线，是相互平行的曲线。非欧几何学
者，实际上是在以观察时因错觉
而认为的直线和平面为前
提，然后按照事实上的曲线和曲面来考察几何关系，之后将
得出的结论，再回过头来用误认为的直线和平面来陈述的，
他们之所
以这样看待具体的几何关系的理由，就是认为几何
学中的直线和平面，是外在于自然空间
中的直线和平面。据
此他们认为，由于自然空间不存在绝对的理想化平直情形，
因而传统的欧氏几何学，只是一种近似正确的几何学理论。
至于客观的自
然空间中，是否存在着几何学所必须要求的
点、线、和面，则是非欧几何学者所没有考虑
的。
认为欧几里德几何学中的第五公设陈述的几何关系，被<
/p>
蕴含在其它具体的几何学命题中，并且可以从其他的几何学
命题中
推导出来，恰恰说明了第五公设在欧氏几何学中并不
是孤立的，那种认为可以割断第五公
设与其它具体几何学命
题之间的逻辑关系，并且可以舍弃或改变第五公设的结论，
而不会与其它具体的几何学命题产生矛盾的观点，是毫无根
据的。几何
学是以对点、线和面等一般性概念所必须具有的
理论要求，所作出的公共假设为前提条件
的，然后才能根据
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这一前提条件
，来对直线和平面等具体概念及其特性，作出
具体的定义，这样定义出的直线和平面概念
，才能规定着所
有关于直线平面几何形命题的前提与结论。欧几里德几何学
中的第五公设或平行线公设，实际上不是几何学首要的公共
假设条件，它只是
一个具体的直线平面几何形命题，如果不
对直线和平面概念重新作出不同的定义，要改变
第五公设或
平行线公设的结论，在理论上是绝对不可能的。所以，要通
< br>过改变直线和平面概念，来改变欧氏第五公设或平行线公设
的结论，就必然要改变
欧氏几何学中其它所有涉及到直线和
平面概念的几何学命题。非欧几何学者认为仅仅改变
第五公
设或平行线公设的结论，就能代表一种全新的几何学知识体
系，是根本错误的。
几何学是一门纯粹抽象的理论知识体系
，它的本质属
性，是由点、线和面等基本概念必须具有的一般性质所决定
的，它的研究对象，是由点、线和面等具体概念构成的具体
几何形。欧几里德几
何学始创于二千多年以前的古希腊时
代，虽然后来的人们陆续做了一些修补工作，但始终
没有触
及到几何学的根本性问题。即使当今普遍使用的几何学理论
体系，在逻辑结构和理论内容上，都明显存在着混乱和错误
之处。比如，几何学公设应
当是对点、线和面等一般性概念
所必须具有的性质作出的公共假设条件，它不涉及到任何
具
体的几何概念和具体的几何形及其几何关系。而在《几何原
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本》
中，
欧几里德未能将
“点是没有部分的”
、
“线有长无宽”
和“面有大小无厚”等一般性几何概念所必须具有的性质，
做为确立整个几何学时必须具有的公共假设条件来首先给
出，而是将它们通过
直线和平面等具体概念、并且是以定义
的方式作出了具体说明；对于曲线曲面几何形中的
“线”和
“面”的概念所具有的一般性质，欧几里德没有明确地将它
们同时概括在内。又如，欧几里德在《几何原本》中用点来
定义直线的性质，和用直
线来定义平面的性质，都不能保证
直线和平面概念在理论意义上的绝对“连续”的性质；
它导
致了后来的人们，误认为“点”是构成一切几何对象的唯一
基本要素，即点构成线、线构成面、面构成体。
对几何学基本
概念的性质事先做出设定，是确定几何学
中所有具体概念的前提条件，确定了几何学中的
具体概念，
然后才能由它们构建各种不同的几何形，进而考察它们所具
< br>有的各种几何关系。对于一切几何形的认识，和它们所具有
的几何关系的理解，完
全都依赖于构建这些具体的几何形时
使用的具体概念所具有的理论含义。不事先明确点、
线和面
等基本概念所具有的性质，然后再椐此确定它们的具体概
念，如直线和平面、曲线和曲面等，首先来讨论几何形及其
所具有的具体几何关系，在理
论逻辑上原本就没有正确性可
言。正因为传统的欧氏几何学存在着这一方面的缺陷，非欧
几何学者才把几何学的研究对象，置于现实空间来考虑的。
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