六年级分数混合运算及应用题讲义
提高执行力-
分数问题辅导讲义
分数问题辅导讲义
课
题分数混合运算
教学目标
1
、体会分数混合运算的运算顺序和整数是一样的，会计算分数混合运算
2
、利用分数加、减、乘、除法解决日常生活中的实际问题
3
、掌握分数应用题的相关知识及解题方法
教学内容（包括知识点、典型例题、课后作业）
分数知识点
1.
分数乘整数的计算方法：
分子和整数相乘，分母不变。
<
/p>
2.
分数乘分数的计算方法
：分子乘分子
，分母乘分母。
3.
小数乘分数的计
算方法
：可以把小数化成分数，也可以把分数化成小数。
计算技巧：
能约分的，先约分再算。
分数的意义
：
把单位“
1
”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数
，叫做分数。
< br>在分数里，表示把单位“
1
”平均分成多少份的数，叫做
分母；
表示这样多少份的数，叫做分子；其中的一份，叫做分数单位。
分数混合运算顺序
1.
含有同级运算的按从左到右的顺序计算；
2.
含有两级运算的先算乘除，后算加减；
3.
有括号的先算括号里的运算。
一
个数（
0
除外）乘比
1
大的数，得数就比它本身大；乘比
1
小的数，得数就比
它本身小。
分数简便运算常见题型
第一种：连乘——乘法交换律的应用
5
4
3
1
13
3
6
例题：<
/p>
1
）
14
2
）
5
3
）
13
7
5
6
14
8
26
涉及定律：乘法交换律
a
b
c
a
c
b
基本方法：将分数相乘的因数互相交换，先行运算。
第二种：乘法分配律的应用
8
4
1
1
3
1
例题：
1
）
(
)
27
2
）
(
)
4
3
）
(
)
16
9
27
10
4
4
2
涉及定律：乘法分配律
(
a
b
)
c
ac
bc
基本方法：将括号中相加减的两项分别与括号外的分数相乘，
符号保持不变。
第三种：乘法分配律的逆运算
1
1
1
1
5
5
5
1
4
1
例题：
1
）
2
）
3
）
7
7
2
15
3
2
6
9
9
6
5
5
涉及定律：乘法分配律逆向定律
<
/p>
a
b
a
c
a
(
b
c
)
基本方
法：提取两个乘式中共有的因数，将剩余的因数用加减相连，同时添加括号，先
行运算。
第四种：添加因数“
1
”
5
< br>5
5
2
7
2
14
17
例题：
< br>1
）
2
）
3
）
23
23
23
7
9
7
9
16
9
31
31
涉及定律：乘法分配律逆向运算
基本方法：添加因数“
1
”
，将其中一个数
n<
/p>
转化为
1
×
n<
/p>
的形式，将原式转化为两两之积
相加减的形式，再提取公有因数，
按乘法分配律逆向定律运算。
第五种：数字化加式或减式
3
7
67
例题：
1
）
17
2
）
18<
/p>
3
）
31
16
19
69
涉及定律：乘法分配律逆向运算
基本方
法：将一个大数转化为两个小数相加或相减的形式，或将一个普通的数字转化为
整式整百
或
1
等与另一个较小的数相加减的形式，再按照乘法分配律逆向
运算解题。
注意：
将
一个数转化成两数相加减的形式要求转化后的式子在运算完成后依然等于原数，
其值不发
生变化。例如：
999
可化为
1000
-1
。其结果与原数字保持一致。
第六种：带分数化加式
7
2
5
例题：
1
）
25
4
2
）
13
3
3
）
7
12
161<
/p>
51
13
涉及定律：乘法分配律
基本方
法：将带分数转化为整数部分和分数部分相加的形式，再按照乘法分配律计算。
第七种：乘法交换律与乘法分配律相结合
5
9
4
7
11
6
6
8
1
37
1
2
）
3
）
139
137
例题：
1
）
17
24
17
24
13
19
13
19
138
138
涉及定律：乘法交换律、乘法分配律逆向运算
基本方法：将各项的分子与分子（或分母与分母）互换，通过变换得出公有因数，按照
乘法分配律逆向运算进行计算。
注意：只有
相乘的两组分数才能分子和分子互换，分母和分母互换。不能分子和分母互
换，也不能出
现一组中的其中一个分子（或分母）和另一组乘式中的分子（或分母）进行互
换。
➢
分数简便运算课后练习一（能简算的简算）
< br>5
3
5
1
3
5
44
×
＋
×
46×
（
＋
）×
32
9
4
9
4
4
8
45
1
2
3
5
2
4
1
7
＋
×
44
－
72
×
＋
(
＋
)×<
/p>
5
9
10
12<
/p>
3
7
2
25
1
1
3
14
4
3
2
3
1
6.8×
＋
×
3.2
(
＋
－
)×
12
×
－
×
5
5
5
9
3
4
2
9
5
2008×
2006
2007
3
2
3
5
5
5
5
9
12
4
9
5
12
25
3
4
×
4
3
7
7
8
4
7
7
8
1
1
1
10
<
/p>
2
5
3
8
+
3
8
×
4
7
+
3
8
×
3
7
54
×（
8
5
9
-
6
)
< br>7
9
1
9
2
9
1
9
2
2
1
15
5<
/p>
4
35
5
7
5
2
29
29
×
(15
×
3
1
)
11
5
3
13
1
11
11
13
3
4
13
－
13
×
33
（
8
－
0.1
25
）×
13
12
6
4
24
24
3
4
×
2
5
+
3
4
×
0.6
11
5
1
12
7
18
24
72
5
7
19
25
4
21
25
19
18
7
25
×<
/p>
101-
7
25
265
4
3
4
3
578
4
157
3
1
3
25
×
18
25
19
100
3<
/p>
8
50
7
11
9
5
2
5
9
11
5
7
< br>
5
9
5
12
1
1
1
<
/p>
7
9
12
5
3
5
45
4545
454545
45454545
33
44
24
0<
/p>
.
6
3
5
3
<
/p>
78
7878
787878
78787878<
/p>
一、分数混合运算的运算顺序
运算顺序和整数混合运算是一样的。
先×÷后＋－，有括号的先算括号里面的，同级的运算符从左至右运算。
一般：①除以一个数等于乘以这个数的倒数。所以一般第一步先化÷为×。
②有括号的，先算括号里面的，简算中注意打开括号用分配律。
③＋－注意通分。
④×注意分子和分母“逐个”约分。
二、计算
例
1
、
4
5
<
/p>
5
8
32
2
3
7
12
1
6
2
1
6
2
5
3
2
5
1
2
5
3
7
18
9
24
5
2
4
5
< br>7
15
1
2
针对练习
1
5
9
14
3
28
3
13
26
24
6<
/p>
5
7
1
3
6
1
3
6
3
5
5
3
3
3
3
5
2
1
6
3
1
< br>5
1
(
)
×
÷
×
4
2
6
2
4
5
4
4
9<
/p>
5
5
7
例
2
、解方程
5
8
3
10
1
4
针对练习
2
3
1
1
2
4
2
8
5
10
11
6
11
例
3
、列式计算
1
减去
1
3<
/p>
4
与
8
的和，所
得的差除以
1
4
，商是多少
1
5
与
1
6
的和除他们的差，商是多少？
针对练习
3
4
2
2
5
减
3
的差乘一个数得
7
，求这个数。
4
6
6
4
4
2
< br>
5
3
11
5
5
7
1
14
1
3
2
3
1
1
3
加上
4
除以
4
的商，得到
的和再乘
4
，积是几？
【知识点二】解决问题
对应数量÷对应分率
=
单位
“
1
”
求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
< br>已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，还可以用方程解答。
例
4
、
1
1
、小刚家九月份用水
< br>12
吨，比八月份节约了
,
八月份用水多少吨？
7
2
、胜利路长
1
千米，延安路是胜利路长度的
针对练习
4
1
、六年级学生参加植树劳动，男生植了
160
棵，女生植的树
比男生的
少棵？
1
2
、一个
食堂原来每月用煤
320
千克，现在每月比原来节约
，这个食堂现在每月用煤多少
8
千克？
1
3
、学校要买些桌椅。
<
/p>
已知一把椅子的价钱是
48
元，一张桌子
的价钱比一把椅子多
，
8
一张桌子多少钱？
3
多
5
棵。女生植树多
4
5
倍。延安路比胜利路长多少千米？
4
4
、一项工程，甲独做
10
天完成，乙独做<
/p>
15
天完成。现在甲做
4
天，乙做
3
天，分别完成这
项
工程的几分之几？
【补充知识点】分数应用题：
1
、分数应用题主要讨论的是以下三者之间的关系：
（
1
）分率：表示一个数是
另一个数的几分之几，这几分之几通常称为分率。
（
2
）标准量：解答分数应用题时，通常把题目中作为单位“
1
”的那个数，称为标准量。
（
3
）比较
量：解答分数应用题时，通常把题目中同标准量比较的那个数，称为比较量。
（二）分数应用题的分类
1
、
求一个
数的几分之几是多少。
这类问题特点是已知一个看作单位“
1<
/p>
”的数，求它的
几分之几是多少，解这
类应用题用
乘法
。即反映的是整体与部分之间关系的应用题，基
本
的数量关系是：
整体量×分率
=
分率的对应的部分量；
或已知一个看作单位“
1
”的数，另
一个数占它的几分之几，求另一个数，即反映的
是甲乙两数之间关系的应用题，基本的数
量关系是：
标准量×分
率
=
分率的对应的比较量。
几
（
1
）求一个数的几
分之几是多少：
标准量×
（分率）<
/p>
=
是多少（分率对应的比较量）
。
几
（
2
）求比一个数多几分之几多多少：
标准量×
几
（分率）
=
多多
少（分率对应的比较量）
。
几
几
（
3
）求比一个数
多几分之几是多少：
标准量×（
1 +
）
（分率）
=
是多少（分率对应的
几
比较量）
。
（
4
）求比一个数少几分之几少多少：
标准量×
几<
/p>
（分率）
=
少
多少（分率对应的比较量）
。
几
几
（
5
）求比一个
数少几分之几是多少：
标准量×（
1 -
）
（分率）
=
是多少（分率对应的
几
比较量）
。
2
、
求一个
数是另一个数的几分之几。
这类问题特点是已知两个数量，
比较
它们之间的倍
数关系，解这类应用题用
除法
。基本的数量关系是：
比较量÷标准量
< br>=
分率。
（
1
）求一个数是另一个数的几分之几
:
比较量÷标准量
=
分率（几分之几）
。
（
2
）求
一个数比另一个数多几分之几：
相差量÷标准量
=
分率（多几分之几）
。
（
3
）求一个数比另一个数少几分之几
：
相差量÷标准量
=
分率（少几分之几
）
。
3
、已
知一个数的几分之几是多少，求这个数。
这类问题特点是已知一个数的几分之几是
多少的数量，求单位“
1
< br>”的量，解这类应用题用
除法
。基本的数量关系是：
分率对应的比较
量÷分率
=
标准量。
（
1
）
已知一个数的几分之几是多少，求这个数
:
几
是多少（分率对应的比较量）÷
<
/p>
（分率）
=
标准量。
几
（
2
）
已知一个数比另一个数多几分之几多多少，求这个数：
多多少（分率对应的比较量）÷
几
<
/p>
（分率）
=
标准量。
几
（
3
）
已知一个数比另一个数多几分之几是多少，求这个数：
几
是多少（分率对应的比较量）÷（
1
+
）
（分率）
=
标准量。
几
（
4
）
已知一个数比另一个数少几分之几少多少，求这个数：
少多少（分率对应的比较量）÷
几
<
/p>
（分率）
=
标准量。
几
（
5
）
已知一个数比另一个数少几分之几是多少，求这个数：
是多少（分率对应的比较量）÷（
1
–
几
）
（分率）
=
标准量。
几
（三）分数应用题的基本训练
1
、正确审题能力训练
正确审题是正确解题的前提。这里所说的审题能力，首
先是根据题中的
分率句，
能准确
分清比
较量和标准量
（看分率是
谁
的几分之几
，
谁
就是标准量）
，
< br>且判断标准量已知
（用
乘法
）<
/p>
或未知（用
除法
）
，为确定解题方法奠定基础；其次会把“比”字句转化成“是”字句；第三
是能将省略
式的分率句换说成比较详细的句子的能力。
2
、画线段图的训练
线段图有直观、形象等特点。按题中的数量比例，恰当选用
实线或虚线把已知条件和问
题表示出来，数形结合，有利于确定解题思路。
3
、量、率对应关系训练
量、率对应关系的训练是解较复杂分数应用题的重要环
节。通过训练，能根据应用题的
已知条件发挥联想，找出各种量、率间接对应关系，为正
确解题铺平道路。如：一批货物，
1
1
第一次运走总数的
，第二次运走总数的
，还剩下
143
吨。量、率对应关系有：
5
4
1
货物的总重量
“
1
”
第一次运走的重量
<
/p>
5
1
1
1
第二次运走的重量
两次工运走的重量
+
4
5
4<
/p>
1
1
第一次比第二次少运的重量
—
4
5
1
第一次运走后剩下的重量
1
—
5
1
1
143
吨
1
—
—
5<
/p>
4
3
、
转化分率训练
在解较复杂的分数应用题时，常需要将间接分率转化为直接运用于解题的分率。
（
1
）已
5
5
3
8
修总长的
，则未修是总长的
1
—
=
；
（
2
）甲班
人数是乙班的
，则乙班人数是甲班
8
8
8
9
9
1
1
1
1
的
；
（
3
）今年比去年增产
，
则今年产量是去年的
1
+
=
1
；
（
4
）第一
次运走总数的
，
8
< br>5
5
5
4
1
1
1
3
第
二次运走剩下的
，则第二次运走的是总数的
[(1
—
)
×
] =
等。
5<
/p>
4
5
20
4
、
由分率句到数量关系式训练
1
“分率句数量关系式”的训练，是确保正确列式解题的训练。如：由“男生比女生少
”
4
可列数量关系式：
1
1
女生人数
×（
1
—
）
=
男生人数；
女生人数×
=
男生比女生少的人数；
4
4
1
1
男生人数
÷（
1
—
）
=
女生人数；
男生比女生少的人数÷
=
女生人数。
4
4
二、分析解答
1
、求一个数的几分之几是多少。
（
1
）
求一个数的几分之几是多少：
标准量×
几
（分率）
=
是多少（分率对应的比较量）
。
几
4
例
1
：学校买来
100
< br>千克白菜，吃了
，吃了多少千克？
（反映整体与部分之间的关系。
）
5
4
4
白菜的总重量×
=
吃了的重量
100
×
= 80
（千克）
5
5
答：吃了
80
千克。
< br>
5
例
2
：
一个排球定价
60
元，篮球的价格
是排球的
。篮球的价格是多少元？
（
反映甲
6
乙两数之间的关系。
）
5
5
排球的价格×
=
篮球的价格
60
×
= 50
（元）
6
6
答：篮球的价格是
50
元。
1
例
3
：
小红体重
42
千克，
小云体重
40
千克，
小新体重相当于小红和小云体重总和的
。
2
小新体重是多少千克？
（两个数量的和做为标准量。
）
1
（小红体重
+
小云体重）×
=
小新体重
2
（
42
+40
）×
= 41
（千克）
答：小新体重
41
千克。
3
1
例
< br>4
：
有一摞纸，共
120
张。第一次用了它的
，第二次用了它的
，两次一共用了多
5
6
少张纸？
（所求数量对应的分率是两个分率的和。
）
3
1
纸的总张数×（
+
）
=
两次共用的张数
5
6
3
1
120
×（
+
< br>）
=92
（张）
5
6
答：两次共用
92
张。
1
例
5
：
国家一级保护动物野生丹顶鹤，
2001
年全世界约有
2000
只，我国占其中的
，其
4
它国家约有多少只
？
（所求数量对应的分率没有直接告诉。
）
1
野生丹顶鹤的总只数×（
1
—
）
=
其它国家的只数
4
1
2000
×（
1
—
）
=
1500
（只）
4
答：其它国家约有
1500
只。
5
2
例
6
：
小亮储蓄箱中有
18
元，小华储蓄的钱是小亮的
，小新储蓄的钱是小华的
。小
6
3
新储蓄多少钱？
（有两个单位“
1
”的量且都已知。
）
5
2
小亮储蓄的钱×
×
=
小新储蓄的钱
6
3
5
2
18
×
×
=
10
（元）
6
3
答：小新储蓄
10
元。
几
（
2
）
求比一个数多几分之几多多少：
标准量×
（分率）
=
多多
几
少（分率对应的比
较量）
。
例
1
：
人的心脏跳动的次数随着年龄而变化。青少年每分钟约跳<
/p>
75
次，婴儿每分钟心跳
4
的次数比青少年多
。
婴儿
每分钟心跳比青少年多多少次？
（所求数量和已知分率直接对应。
）
5
4
青少年每分钟心跳次数×
=
婴儿每分钟心跳比青少年多跳的次数
5
4
75
×
=
60
（次）
5
答：婴儿每分钟心跳比青少年多跳
60
次。<
/p>
几
（
3
）
求比一个数多几分之几是多少：
标准量×（
1 +
）
（分率）
=
是多少（分率对应的
几
比较量）
。
<
/p>
例
1
：
人的心脏
跳动的次数随着年龄而变化。青少年每分钟约跳
75
次，婴儿每
分钟心跳
4
的次数比青少年多
。婴儿每分钟心跳多少次？
（需将分率转化成所求数量对应的分率。<
/p>
）
5
4
青少年每分钟心跳次数
×（
1 +
）
=
婴儿每分钟心跳的次数
5
4
75
×
（
1 +
）
=135
（次）
5
答：婴儿每分钟心跳
135
次。
1
例
2
：
学校有
20
个足球，篮
球比足球多
，篮球有多少个？
（需将分率转化成所求数
4
量对应的分率。
）
1
足球的个数×（
1+
）
=
篮球的个数
4
1
20
×（
1+
）
=25
（个）
4
答：篮球有
25
个。
几
（
4
）
求比一个数少几分之几少多少：
标准量
×
（分率）
=
少多少（分率对应的比较量）
。
几
1
例
1
：
学校有
20
个足球，篮球比
足球少
，篮球比足球少多少个？
（所求数量
和已知
5
分率直接对应。
）
1
足球的个数×
=
篮球比足球少的个数
5
1
20
×
=
4
（个）
5
答：篮球比足球少
4
个。
（
5
< br>）求比一个数少几分之几是多少：
标准量
×
（
1 -
较量）
。
几
）
（分率
）
=
是多少（分率对应的比
几
1
例
1
：
学校有
20
个足球，篮球比足球少
< br>
，篮球有多少个？
（需将分
率转化成所求数
5
量对应的分率。
）<
/p>
1
足球的个数×（
1
—
）
=
篮球的个数
5
1
20
×（
1
—
）
=16
（个）
5
答：篮球有
16
个。
2
例
2
：
一种服装原价
105
元，现在降价
，现在售价多少元？
（需将分率转化成所求数
7
量对应的分率。
）
2
服装的原价×（
1
—
）
=
现在售价
7
2
105
×（
1
—
）
=75
（元）
7
答：现在售价是
75
元。
2
、求一个数是另一个数的几分之几。
（
1
）求
一个数是另一个数的几分之几
:
比较量÷标准量
=
分率（几分之几）
。
例
1
：
学校的
果园里有梨树
15
棵，
苹果树
20
棵。
梨树的棵数是苹果树的几分之几？
（找
准标准量。
）
梨树的棵数÷苹果树的棵数
=
梨树的棵数是苹果树的几分之几
3
15
÷
20 =
4
3
答：梨树的棵数是苹果树的
。
4
例
2
：
学校的
果园里有梨树
15
棵，苹果树
20
棵。苹果树的棵数是梨树的几倍？
（找准
标
准量。
）
苹果树的棵数÷梨树的棵数
=
梨树的棵数是苹果树的几倍
1
20
÷
15= 1
3
1
答：苹果树的棵数是梨树的
1
倍。
3
（
2
）求一个数比另一个数多几分之几
：
相差量÷标准量
=
分率（多几分之几
）
。
例
1<
/p>
：
学校的果园里有梨树
15
棵，
苹果树
20
棵。
苹果树的棵数比梨树多几分之几？
（相
差量是
比较量。
）
苹果树比梨树多的棵数
÷梨树树的棵
数
=
多几分之几
1
（
20
—
15
）
÷
15 =
3
1
答：苹果树的棵数比梨树多
。
3
（
3
）求一个数比另一个数少几分之几：
相差量÷标准量
=
分率（少几分之几）
。
例
1
：
学校的
果园里有梨树
15
棵，
苹果树
20
棵。
梨树的棵数比苹果树少几分之几？
（相
差量是比较量。
）
梨树比苹果树少的棵数÷苹果树的棵数
=
少几分之几
1
（<
/p>
20
—
15
）÷
20=
4
1
答：梨树的棵数比苹果树少
。
4
3
、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
（
1
）
已知一个数的几分之几是多少，求这个数
:
几
是多少（分率对应的比较量）÷
<
/p>
（分率）
=
标准量。
几
4
例
1
：
一个儿童体内所含水分有
28
千克，占体重的
。这个儿童的体重有多少
千克
（反
5
映整体与部分之间的关系）
4
体内水分的重量÷
=
体重
5
4
28
÷
=
35
（千克）
5
答：这个儿童体重
35
千克。
2
例
2
：
一条裤子的价格是
75
元，是一件上衣的
。一件上
衣多少元？
（反映甲乙两数之
3
间的关
系）
2
裤子的单价÷
=
上衣的单价
3
2
1
75
÷
=112
（元）
3
2
1
答：一件上衣
112
元。
2
例
3
：
水果店运一批水果。第一次运了
50
千克，
第二次运了
70
千克，两次正好运了这
1
批水果的
。这批水果有多少千克？
（两个已知数量的和对应分率。
）
4
1
（第
一次运的重量
+
第二次运的重量）÷
=
这批水果的重量
4
1
（
50+70
）÷
=480
（千克）
4
答：
这批水果
480
千克。
1
5
例<
/p>
4
：
一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时
行了全程的
，第二小时行了全程的
，两
4
18
小
时行了
114
千米。
两地之间的公路长
多少千米？
（已知数量对应的分率是两个分率的和。
）
1
5
两小时行的路程÷（
+
）
=
两地之间的公路长度
4
18
1
5
114
÷（
+
）
=216
（千米）
4
18
答：两地之间的公路长
216
千米。
3
例
5
：
一桶水，用去它的
，正好是
15
千克。这桶水重多少千克？
（已知数量和
分率直
4
接对应。
）
< br>
3
用去的重量÷
=
这桶水的总重量
4
3
15
÷
=20
（千克）
4
答：这桶水重
20
千克。
5
例
6
< br>：
小红家买来一袋大米，吃了
，还剩
15
千克。买来大米多少千克？
（已知数量和
8