数与代数
幼儿讲故事-
数与代数
一
概念
（一）整数
1
整数的意义
自然数和
0
都是整数。
2
自然数
我们在数物体的时候，用
来表示物体个数的
1
，
2
，
3……
叫做自然数。
一个物体也没有，用
0
表示。
0
也是自然数。
3
计数单位
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿
……
都
是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是
10
。这样的计数法叫做十进制计数法。
4
数位
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5
数的整除
整数
a
除以整数
b(b ≠ 0
），除得的商是整数而没有余数，我们就说
a
能被
b
整除，或者说
< br>b
能整除
a
。
如果数
a
能被数
b
（
b ≠ 0
）整除，
a
就叫做
b
的倍数，
b
就叫做
a
的约数（或
a
的因数）。倍
数和约数是相互依存的。
因为
35
能
被
7
整除，所以
35
< br>是
7
的倍数，
7
是
35
的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是
1
< br>，最大的
约数是它本身。例如：
10
的
约数有
1
、
2
、
5
、
10
，其中最小的约数是
1
，最大的约数是
10
。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。<
/p>
3
的倍数有：
3
、
6
、
9
、<
/p>
12……
其中最小的倍数是
3
，没有最大的倍数。
个位上是
0
、
2
、
4
、
6
、
8
的数，都能被
2
整除，例如：
202
、
480
、
304
，都能被
2
整除。。
个位上是
0
或
5
的数，
都能被
5
整除，例如：
5
、
30
、
405
都能被
5
整除。。
一个数的各位上的数的和能被
3
整除，
这个数就能被
3
整除，例如：
12
、
108
、
204
都能被
3
整除。
一个数各位数上的和能被
9
整除，这个数就能被
9
整除。
能被
3
整除的数不一定能被
9
整除，但是能被
9
整除的数一定能被
3
整除。
一个数的末两位数能被
4
（或
25
）整除，这个
数就能被
4
（或
25
< br>）整除。例如：
16
、
404<
/p>
、
1256
都能被
4
整除，
50
、
325
、
500
、
1675
都能被
25
整除。<
/p>
一个数的末三位数能被
8
（或
125
）
整除，
这个数就能被
8
（
或
125
）
整除。
例如：
1168
、
4600
、
5000
、
123
44
都能被
8
整除，
< br>1125
、
13375
、
5000
都能被
125
整除。
能被
2
整除的数叫做偶数。
不能被
2
整除的数叫做奇数。
0
也是偶数。自然数按能否被
2
整除的特征可分为奇数和偶数。
<
/p>
一个数，
如果只有
1
和它本身两个约数，
这样的数叫做质数
（或素数）
，
100
以内的质数有：
1
2
、
3
、
5
、<
/p>
7
、
11
、
13
、
17
、
19
、
23
、
29
、
31
、
37
、
41
、
43
、
47
、
53
、
59
、<
/p>
61
、
67
、<
/p>
71
、
73
、<
/p>
79
、
83
、<
/p>
89
、
97
。<
/p>
一个数，如果除了
1
和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如
4
、
6
、
8<
/p>
、
9
、
12
都
是合数。
<
/p>
1
不是质数也不是合数，自然数除了
1<
/p>
外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个
数的不同分类
，可分为质数、合数和
1
。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合
数的因数，
叫做这个合
数的质因数，例如
15=3×
5
，
3
< br>和
5
叫做
15
的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如把
28
分解质因数
几个数公有的约数，<
/p>
叫做这几个数的公约数。
其中最大的一个，
叫做这几个数的最大公约数，
例如
12
的约数有
1
、
2
、
3
、
4
、
6
、
12
；
18
的约数有
1
、
2
、
3
、
6
、
9
、
18
。其中，
1
、
2
、
3
、
6
是
12
和
1 8
的公约数，
6
是它们的最大公约数。
公约数只有
1
的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情
况：
1
和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数只有
1
时，
这两个合数互质，
如果几个数中任意两个都互
质，
就说这几个
数两两互质。
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大
公约数。
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是
1
。
几个数公
有的倍数，
叫做这几个数的公倍数，
其中最小的一个，
叫做这几个数的最小公倍数，
如
2
的倍数有
2
、
4
、
6
、
8
、
10
、
12
、
14
、
16
、
18
……
3
的倍数有
3
、
6
、
9
、
12
、
15
、
18
……
其中
6
、
12
、
18……
是
2
、
3
的公倍数，
6
是它们的
最小公倍数。。
如果较大数是较小数的倍数，那么较
大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么
这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的
个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
（二）小数
1
小数的意义
把整数
1
平均分成
10
份、
100
份、
10
00
份
……
得到的十分之几、百分之
几、千分之几
……
可以用小数表示。
一位小数表示
十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几
……
一个小数由整数部分、
小数部分和小数点部分组成。
数中的圆点叫做小数点，
小数点左边的
数叫做整数
部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。
在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是
10
。小数部分的最高分数单位
“
十分之一
”
2
和整数部分的最低单位
“
一
”
之间的进率也是
10
。
2
小数的分类
纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：
0.25
、
0.368
都是纯小数。
带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。
例如：
3.25
、
5.26
都是带小数。
有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。
例如：
41.7
、
25.3
、
0.23
都是有限小数。
< br>无限小数：
小数部分的数位是无限的小数，
叫做无限小数
。
例如：
4.33
……
3.1415926
……
无限
不循环小数：
一个数的小数部分，
数字排列无规律且位数无限，
这样的小数叫做无限不
循环小数。
例如：
π
循
环小数：
一个数的小数部分，
有一个数字或者几个数字依次不断
重复出现，
这个数叫做循
环小数。
例如：
3.555
……
0.0333
……
12.109109
……
一个循环小数的小数部分，
依次不断重复出现的数字叫做这个循环小
数的循环节。
例如：
3.99
……
的循环节是
“
9
”
，
0.5454
……
的循环节是
“
54
”
。
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。
例如：
3.111
……
0.5
656
……
混循环小数：循环节不是从
小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
3.1222
……
0.033
33
……
写循环小数的时候，
为了简便，
小数的循环部分只需写出一个循环节，
并在这个循环节的首、
末位数字上各点一个圆点。如果循环
节只有
一个数字，就只在它的上面点一个点。例如：
3.777
……
简写作
0.5302302
……
简写作
。
（三）分数
1
分数的意义
把单位
“1”
平均分成若干份，表示这样的一份或者几
份的数叫做分数。
在分数里，中间的横线叫做分数线；分
数线下面的数，叫做分母，表示把单位
“1”
平均分成
多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
把单位
“1”
平均分成若干份，表示其中的一
份的数，叫做分数单位。
2
分数的分类
真分数：分子比分母
小的分数叫做真分数。真分数小于
1
。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于
1
。
带分数
：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
3
约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数
，叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
（四）百分数
1
表示一个数是另一个数的百分之几的数
叫做百分数
,
也叫做百分率
或百分比。百分数通
3
常用
来表示
。百分号是表示百分数的符号。
二
方法
（一）数的读法和写法
1.
整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万
级时，先按照个级的读法去读，
再在后面加一个
“
亿
”
或
“
< br>万
”
字。每一级末尾的
0
都不读出来，其它数位连续有几个
0
都只读<
/p>
一个零。
2.
整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个
< br>数位上写
0
。
3.
小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读
，小数点读作
“
点
”
< br>，小数部分
从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
4.
小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来
写，小数点写在个位右下角，
小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
< br>
5.
分数的读法：读分数时，先读分母再读
“
分之
”
然后读分子，
分子和分母按照整数的读法
来读。
6.
分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照
整数的写法来写。
7.
百分数
的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读
法来读。
8.
百分数的写法：百分数通
常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号
“%”
来表
示。
（二）数的改写
一个较大的多位
数，为了读写方便，常常把它改写成用
“
万
”
或
“
亿
”
作单位的数。有时还可以
根据需要，省略这个数某一位后面的
数，写成近似数。
1.
准确数
：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位
的数。改
写后的数是原数的准确数。
例如把
1254300000
改写成以万做单位的数是
12543
0
万；改写成
以亿做单位
的数
12.543
亿。
2.
近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个
近似数来表示。
例如：
1302490015
省略亿后面的尾数是
13
亿。
3.
四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是
4
或者比
4
小，就把尾数去掉；如果尾数
的最高位上的数是
5
或者比
5
大，就把尾数舍去，并向它的前一位进
1
。例如：省略
34590
0
万后面的尾数约是
35
万。省略
4725097420
亿后面的尾数约是
47
亿。
4.
大小比较
1.
比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，
< br>最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就
大。
2.
比较小数的
大小：先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，
十分位上的
数大的那个数就大；
十分位上的数也相同的，
百分位上的数大的
那个数就大
……
3.
比较分数的大小
:
分母相同的分数，分子大的分
数比较大；分子相同的数，分母小的分数
大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再
比较两个数的大小。
4
（三）数的互化
1.
小数化成分数：原来有几位小数，就在
< br>1
的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小
数点作分
子，能约分的要约分。
2.
分
数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成
有限
小数的，一般保留三位小数。
3.
一个最简分数，如果分母中除了
2
和
5
以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成
有限小数；
如果分母中含有
2
和
5
以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
4.
小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后
面添上百分号。
5.
百分数化
成小数：
把百分数化成小数，
只要把百分号去掉，
同时把小数点向左移动两位。
6.
分数化成百分数：通常先把分数
化成小数（除不尽时，通常保留三位小数
)
，再把小数化
成百分数。
7.
百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
（四）数的整除
1.
把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商
是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
2.
求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数
连续去除，一直除到所得的商
只有公约数
1
为止，
然后把所有的除数连乘求积，
这个积就是这几个数的
的最大公约数
。
3.
求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中
的部分数）的公约数去除，一
直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连
乘求积，这个积就是这几个数的
最小公倍数。
4.
成为互质关系的两个数：
1
和任何自然数互质
；
相邻的两个自然数互质；
当合数
不是
质数的倍数时，
这个合数和这个质数互质；
两个合数的公约数只有
1
时
，
这两个合数互质。
（五）
约分和通分
约分的方法：用分子
和分母的公约数（
1
除外）去除分子、分母；通常要除到得出最
简分数
为止。
通分的方法：
先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，
然后把各分数化成用这个
最小公倍
数作分母的分数。
三
性质和规律
（一）商不变的规律
商不变的规
律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。
（二）小数的性质
小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化
1.
小数点向右移动一位，原来的
数就扩大
10
倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大
1
00
倍；小数点向右移动三位，原来的数就
扩大
1000
倍
……
< br>
2.
小数点向左移动一位，原来的数就缩小
10
倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小
1
00
倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小
1000
倍
……
5
3.
小数点向左移或者向右移位数不够时，要用
“0
补足位。
（四）分数的基本性质
分数的基
本性质：
分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数
（零除外）
，
分数的大小不变。
（五）分数与除法的关系
1.
被除数
÷
除数
=
被除数
/
除数
2.
因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。
3.
被除数
相当于分子，除数相当于分母。
四
运算的意义
（一）整数四则运算
1
整数加法：
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。
加数
+
加数
=
和
一个加数
< br>=
和－另一个加数
2
整数减法：
已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里，
已知的和叫做被减数，
已知的加数叫
做减数，
未知的加数叫做差。
被减数是总数，
< br>减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
3
整数乘法：
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。
在乘法里，
0
和任何数相乘都得
0.
1
和任何数相乘都的任何数。
一个因数
×
一个因数
=
积
< br>一个因数
=
积
÷
另一个因数
4
整数除法：
已知两个因数的积与其中
一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里，已
知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在除法
里，
0
不能做除数。因为
0
和任何数相乘都得
0
，所以任何一个数除以
0
，均得不到
一个确定的商。
被除数
÷
除数
=
商
除数
=
被除数
÷
商
被除数
=
商<
/p>
×
除数
（二）小数四则运算
1.
小数加法：
< br>小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。
2.
小数减法：
< br>小数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数，<
/p>
求另一个加
数的运算
.
3.
小数乘法：
6
小数
乘整数的意义和整数乘法的意义相同，
就是求几个相同加数和的简便运算；
一个数乘纯
小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几
……
是多少。
4.
小数除法：
< br>小数除法的意义与整数除法的意义相同，
就是已知两个因数的积与其中一个因数，
求另一个
因数的运算。
5.
乘方
:
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如
3
×
3
=32
（三）分数四则运算
1.
分数加法：
分数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个数的运算。
2.
分数减法：
< br>分数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数，<
/p>
求另一个加
数的运算。
3.
分数乘法：
< br>分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。
4.
乘积是
1
的两个数叫做互为倒数。
5.
分数除法：
分数除法的意义与整数除
法的意义相同。
就是已知两个因数的积与其中一个因数，
求另一
个
因数的运算。
（四）运算定律
1.
加法交换律：
两个数相加，交换加数
的位置，它们的和不变，即
a+b=b+a
。
2.
加法结合律：
三个数相加，先把前两
个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数
相加它们的和不变，
即（
a+b)+c=a+(b+c)
。
3.
乘法交换律：
两个数相乘，交换因数
的位置它们的积不变，即
a×
b=b×
a
。
4.
乘法结合律：
三个数相乘，先把前两
个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数
相乘，它们的积不变
，即
(a×
b)×
c=a×
(b×
c)
。
5.
乘法分配律：
两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即
(a+b)×
c=
a×
c+b×
c
。
6.
减法的性质：
从一个数里连续减去几
个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即
a-b-c=a-(b+c)
。
（五）运算法则
1.
整数加法计算法则：
7