数列通项公式求法大全(配练习)
长影世纪城-
数列通项公式的十种求法
一、公式法
*
a
n
a
1
(
n
1)
d
dn
a
1
d
< br>(
n
N
)
a
n
a
1
q
n
1
a
1
n
q
(
n
< br>N
*
)
q
二、累加法
a
n
1
a
n
f
(
n
)
< br>，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
a
n
n
2
例
1
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n<
/p>
1
a
n
2
n
1
n
例
2
已
知
< br>数
列
{
a
n
}
满
足
a
n
1
a
n
2
3
1
，
a
1
< br>3
，
求
数
列
{
a
n
}
的
通
项
公
式
。
（
a
n
3
n
n
1.
）
三、累乘法
a
n
1
f
(
n
)
a
n
n
例
3
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n<
/p>
1
2(
n
1)5
a
n
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
（
a
n
3
2
n
1
5
n
(
< br>n
1)
2
n
!.
）
评注：
本题解题的关键是把递推关系
a
n
1
2(
n
1)
5
n
a
n<
/p>
转化为
a
n
<
/p>
1
2(
n
1)5
n
，
进而求
a
n
出
a
n
a
n
1
a
a
L
< br>3
2
a
1
，即得数列
{
< br>a
n
}
的通项公式。
a
n
1
a
n
2
a
2
a
1
，
a
n
<
/p>
a
1
2
a
2
3
a
3
L
(
n
1)
a
n
1
(
n
2
)
，
例
4
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
1
<
/p>
1
求
{
a
n
}
的通项
公式。<
/p>
（
a
n
n
!
.
）
2
评注：
本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
(
n
1)
a
n
(
n
2)
转化为
a
n
1
n
1(
n
2)
，
a
n
进而求出
a
n
a
n
1
a
L
3
a
2
，
从而
可得当
n
2
时，
a
n
的表达式，
< br>最后再求出数列
{
a
n
}
的
a
n
1
a
n
< br>
2
a
2
通项公式。
四、待定系数法
a
n
1
pa
n
q
a
n
1
pa
n
f
n
a
n
2
pa
n
1
qa
n
（其中
p
，
q
均为常数）
。
n
例
5
已
知
数
列
{
a
n
}
满
足
a
n
1
< br>2
a
n
3
5
，
a
1
6
，
求
数
列
a
n
的
通
项
公
式
< br>。
（
a
n
2
n
1
5
n
）
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
2
a
n
3
5
n
转化为
a
n
1
5
n
< br>
1
2(
a
n
5
n
)
，
从而可知数列
< br>{
a
n
5
n
}
是等比数列，进而求出数列<
/p>
{
a
n
5
n
}
的通项公式，
最后再求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
例
6
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n<
/p>
1
3
a
n
5
2
4
，
a
1
1
，求数列
{
a
< br>n
}
的通项公式。
n
1
n
（
a
n
13
3
5
2
2
）
评
注
：
本
题
解
题
的
关
键
是
把
递
推
< br>关
系
式
a
n
1
3
a
n
5
2
n
4
转
化
为
a
n
1
< br>
5
2
n
1
2
3(
a
n<
/p>
5
2
n
2)
，从而可知
数列
{
a
n
5
2
n
2}
是等比数列，进而求
出数列
{
a
n
5
2
n
2}
的通项公式，最后再求数
列
{
a
n
}<
/p>
的通项公式。
2
例
7
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n<
/p>
1
2
a
n
3
n
4
n
5
，
a
1
1
，求数列
< br>{
a
n
}
的通项公式。
n
4
2
（
a
n
2
3
n
10
n
18
）
<
/p>
2
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
<
/p>
2
a
n
3
n
4
n
5
转化为
a
n
1
3(
n
< br>1)
2
10(
n
1)
< br>18
2(
a
< br>n
3
n
2
10
n
18)
，从而可知数列
进而求出数列
{
a
n
3
n
2
10
n
18}
的通项公式，
最后再
{
a
n
3
n
2
10
n<
/p>
18}
是等比数列，
< br>求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
五、
递推公式为
S
n
与<
/p>
a
n
的关系式
(
或
S
n
f
(
a
n
)
)
解法：这种类型
一般利用
a
n
S
1
(
< br>n
1
)
S
n
S
n
1
(
n
2
)
< br>1
2
n
2
例
8
已知数列
a
n
前
n
项和
S
n
4
a
n
式
a
n
.
.
（
1
）求
a
n
1
与
a
< br>n
的关系；
（
2
）求通项公
六
n
例
9
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
3
a
n
2
3
1
，
a<
/p>
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：
a
n
1
3
a
n
2
3
n
1
两边除以
3
则
n
1
，得
a
n
1
a
n
2
< br>1
，
3
n
1
3
n
3
3
n
1
a
n
1
a
n
2
1
< br>
，故
3
n
1
3
n
3
3<
/p>
n
1
a
n
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
n
2
a
n<
/p>
3
a
2
a
1
a
1
(
)
(
)
(
)
L
(
<
/p>
1
)
n
n
n
2
n
2
n
3
2
3
3
a
n
1
a
n
1<
/p>
3
3
3
3
3
3
2
1
2
1
2
1
2
1
3
(
n
)
(
n
<
/p>
1
)
(
n
2
)
L
(
2
)
3
3
3
3
3
3
3
3<
/p>
3
2(
n
1)
1
1
1
1
1
(
n
n
n
1
n
2
L
2
)<
/p>
1
3
3
3
3
3
3
1
n
1
(1
3
< br>)
a
n
2(
n
1)
3
n
2
n
1
1
因此
n
，<
/p>
1
3
3
1
3
3
2
2
3
n
则
a
n
2
1
1<
/p>
n
3
n
3
n
.
3
2
2
a
n
1
a
n
2
1
<
/p>
，
n
1
n
n
1
3
3
3
3
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
3
a
n
2
3
n
1
转化为
进而求出
< br>(
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
n
2
a
n
3
a
2
< br>a
1
a
1
a
n
)
(
)
(
)
L
(
)
< br>，即得数列
n
3
n
3
n
< br>
1
3
n
1
3
n
2
3
n
2
3
n
3
3
2
3
1
3
3
< br>
的通项公式，最后再求数列
{
a
n
}
的通项公式。
< br>
七、对数变换法
（当通项公式中含幂指数时适用）
n
5
例
10
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
3
a
n
，
a
1
7
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
5
5
解：因为
a
n
1
2
3
a
n
，
a
1
7
，所以
a
n
0
，
a
n
1
<
/p>
0
。在
a
n
1
2
3
n
a
n
式两边取
常用对数得<
/p>
lg
a
n
1
5lg
a
n
n
lg3
lg
2
设
lg
a
n
1
x
(
n
1)
y
5(lg
a
n
xn
y
)
⑩
11
<
/p>
○
将⑩式代入
○
11
式，得
5lg
a
< br>n
n
lg3
< br>
lg
2
x
(
n
1)
y
5
(lg
a
n
xn
y
)
，
两边消去
5lg
a
n
< br>并整理，得
(lg3
x
)
n
x
y
lg
2
5
xn
5
y
，则
< br>
lg3
x
< br>
lg3
< br>
x
5
x
4
，故
lg3
l
g
2
x
y<
/p>
lg
2
5
y
y
16
4
代入
○
11
式，得
lg
a
n
1
由
lg
a
1
得
lg
< br>a
n
lg3
< br>lg3
lg
2
lg3
lg3
lg
2
12
(
n
1)
5(lg
a
n
n
)
○
4
16
4
4
16
4
lg3
lg3
lg
2
lg3
lg3
lg
2
12
式，
1
lg
7
1
< br>
0
及
○
4
16
4
4
16
4
lg3
lg3
lg
2
n
0
，
4
16
4
lg
a
n
<
/p>
1
则
lg3<
/p>
lg3
lg
2
(
n
1)
<
/p>
4
16
4
5
，
lg3
lg3
lg
2<
/p>
lg
a
n
n
4
16
4
lg3
lg3<
/p>
lg
2
lg3
l
g3
lg
2
为首项，以
5
为公比的等
n
}
是以
lg
7
4
16
4
4
< br>16
4
lg3
lg3
lg
2
lg3
lg3
lg
2
n
1
n
(lg
7
)5
，因此
比数列，则
lg
a
n<
/p>
4
16
4
4
16
4
所以数列
{lg
a
n