数列通项公式求法大全(配练习测试及参考答案)
哄女孩子开心的笑话-
精心整理
数
列
通
项
公
式
的
十
种
求
法
一、公式法
二、累加法
a
n
1
a
n
f
(
n
)
例
1
已知数列
{
a
n
< br>}
满足
a
n
1
a
n
2
n
<
/p>
1
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
。
a
n
n<
/p>
2
例
2
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
2
3
n
1
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
（
a
n
3
n
n
1.
）
三、累乘法
< br>a
n
1
f
(
n
)
a
n
例
3
已知数列
{
a<
/p>
n
}
满足
a
n
1
2(
n
1)5
n
a
n
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
（
a
n
3
2
n
1
5
n
(
n
1)
2
n
!
.
）
评注：本题解题的关键是把递推
关系
a
n
1
2(
n
<
/p>
1)5
n
a<
/p>
n
转化为
a
n<
/p>
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
3
a
2
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项公式。
a
2
a
< br>1
a
n
1
2(
n
1)5
n
，
a
n
进而求出
例
4
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
1
，
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
通项公式。
（
a
n
n
!
.
）
< br>2
(
n
1)
a
n
1
(
n
<
/p>
2)
，求
{
a<
/p>
n
}
的
评注：本
题解题的关键是把递推关系式
a
n
<
/p>
1
(
n
1)
a
n
(
n
2)
转化为
a
a
a
n
1
n
1(
n
< br>
2)
，进而求出
n
n
1
a
n
1
a
n
2
a
n
a<
/p>
3
a
2
，从而可得当
n
2
时，
a
n
的表
达
a
2
式，最后再求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
四、待定系数法
a
n
1
pa
n
q<
/p>
a
n
1
pa
n
f
n
a
n
2
< br>
pa
n
1
qa
n
（其中
p
，
q
均为常数）
。
精心整理
例
5
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2<
/p>
a
n
3
5
n
，
a
1
6
，求数列
a
n
的通项公式。
（
a
n
2
n
1
5
n
）
评注：本题解题的关键
是把递推关系式
a
n
1
2
a
n
3
5
n
转化为
从而可知数列
{
a
n
< br>5
n
}
是等比数列，
进而求出数列
{
a
n
5
n
}
a
n
1
5
n
< br>1
2(
a
n
5
n
)
，
的通项公式，最后再求出数列
{<
/p>
a
n
}
的通项公
式。
例
6
已
知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
3
a
n
5
2
n
4
，
a
1
< br>1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
（
a
n
13
3
n
1
5
2
n
2
）
评注：本题解题的关键是把递推
关系式
a
n
1
3
a
n<
/p>
5
2
n
4
转化为
a
n
1
5
2
n
1
2
3(
a
n
5
2
n
2)
，从
而可知数列
{
a
n
5
2
n
2}
是等比数列，进
而求出数列
{
a
n
5
2
n
2}
的通项公式，最后
再求数列
{
a
n
}
的通项公式。
例
7
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
a
n
3
n
2
4<
/p>
n
5
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
（<
/p>
a
n
2
n
4
3
n
2
10
n
18
）
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
2
a
n
3
n
2
4
n
5<
/p>
转化为
a
n
<
/p>
1
3(
n
1)
2
10(
n
1)
18
2(
a
n
3
n
2
10
n
18)
，从而可知数
列
{
a
n
<
/p>
3
n
2
10
n
18}
是等比数列，进而求出数列
{
a
n
3
n
2
10
n
< br>
18}
的通项公式，
最后再求
出数列
{
a
n
}
的通项公式。
五、
递推公式为
S
n
与
a
n
的关系式
(
或
S
n
f
(
a
n
< br>)
)
S
1
(
n
< br>1
)
解法：这种类型一般利用
a
n
S
S
(
n
< br>
2
)
n
1
n
例
8
已知数列
a
n
前
n<
/p>
项和
S
n
4
a
n
通项公
1
2
n
2
.
（
1
）求
a
n
1
与
a
n
的关系；
< br>（
2
）求
精心整理
式
a
n
.
六
例
9
已知数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
n
1
3
a
n
2
3
n
< br>1
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：
a
n
1
3
a
n
2
3
n
1<
/p>
两边除以
3
n
1
，得
则
a<
/p>
n
1
a
n
2
1
，故
n
1
n
< br>n
1
3
3
3
3
a
n
1
a
n
2
1
，
3
n
1
3
< br>n
3
3
n
1
1
n
1
(1
3<
/p>
)
a
n
2(
n
1)
3
n
2
n
1
1
因此
n
，
< br>1
n
3
3
1
3
3
2
2
3
2
1
1
则
a
n
n
< br>3
n
3
n
.
3
2
2
评注：
本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
3
a
n
2
3
n
1
转化为
a
n
1
a
n
2
< br>1
，进而求出
3
n
< br>1
3
n
3
3
n
1
(
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
n
< br>
2
a
n
3
)
(
)
(
n
3
)
n
n
1
n
< br>
1
n
2
n
2
3
3
3
3
3
3
(
a
2
a
1
a
1
a
n
< br>
，即得数列
)
n
< br>的通项
2
1
3
< br>3
3
3
公式，最后再求数列
{
a
n
}
的通项公式。
<
/p>
七、对数变换法
（当通项公式中含幂指数时适用）
5
例
10
< br>已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
< br>
1
2
3
n
a
n
，
a
1
7
，求数列
{<
/p>
a
n
}
的通项公
式。
5
5
，
a
1
7
，所以
a
n
0
，
a
n
1
0
。在
a
n
1
2
3
n
a
n
解：因为
a
n
1
2
3
n
a
n
式两边
取常用对数得
lg
a
n
1
5lg
a
n
n
lg3
lg
2
设
lg
a
n<
/p>
1
x
(
n
1)
y
5(lg
a
n
xn
y
)
⑩
将⑩式
代入式，得
5lg
a
n
n
lg3
lg
2
x
< br>(
n
1)
y
5(lg
< br>a
n
xn
y
)
，两边消去
5lg
a
n
并整理，得
(lg3
x
)
n
x
y
lg
2
5
xn
5
y
，则