高中数学求数列通项的常用方法
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求数列通项公式的方法
本文章总结了求数列通项公式的几种常见的方法，分别有：
<
/p>
公式法，累加法，累乘法，待定系数法，对数变换法，迭代法，数学归纳法，换元法。
希望对大家有所帮助
~~~
关键字：数列，通项公式，方法
一、公式法
例
1
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
2
a
n
3
2
n
，
a
1
2
，求数列
{
a
n
}
< br>的通项公式。
a
n
1
a
n
3
a
n
1
a
n
3
a
n
a
1
2<
/p>
3
1
{
}
，
则
，
故数列
是以
为首项，
以
2
1
2
2
n
1
2
n
2
2
n
1
2
n
2
2
n
2<
/p>
a
3
3
1
n
1
(
n
1)
a
(
n
< br>
)2
。
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
n
，所以数
列
的通项公式为
{
a
< br>}
n
n
n
2
2
2
2
解
：
a
n
1<
/p>
2
a
n
3
2
n
两边除以
2
n
1
，
得
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
2
a
n
3
< br>
2
n
转化为
< br>利用等差数列的通项公式求出
二、累加法
a
n
1
< br>a
n
3
a
n
{
}
是等差数列，再直接
，说明数列
2
n
1
2
n
2
2
n
a
n
3
< br>1
(
n
1)
，进而求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
2
n
2
例
2
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
2
n
1
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：由
a
n
1
a
n
2
n
1
得
a
n<
/p>
1
a
n
2
n
1
则
a
n
(
a
n
a
n
1
)
<
/p>
(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
3
a
2
)
(
a
2<
/p>
a
1
)
a
1
[2(
n
1)
1]
[2(
n
2)
1]
(2
2
1)
(2
1
1)
1
2[(
n
1)
(
< br>n
2)
2
1]
(
n
1)
1
(<
/p>
n
1)
n
2
(
n
1)
1
2
(
n
1)(
n
1)
1
< br>
n
2
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
n
2
。
< br>评
注
：
本
题
解
题
的
关
键
是
把
递
推
关
系
式
a
n
1
a
n
< br>2
n
1
转
化
为
a
n
1
a
n
2
n
1
，
进
而
求
出
< br>(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
< br>a
3
a
2
)
(
a
2
a
1
)
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项公式。
例
3
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
a
n
2
3
n
1
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
< br>}
的通项公式。
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解：由
a
n
1
a
n
2
3
n
1
得
a
n
1
a
< br>n
2
3
n
1
则
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
< br>n
1
a
n
2
)
(
a
3
a
2
)
(
a
2
a
< br>1
)
a
1
(2
3
n
1
<
/p>
1)
(2
<
/p>
3
n
2
1)
(2
3
2
1)
(2
3
1
1)
3
< br>
2(3
n
< br>1
3
n
2
3
2
3
1
)
(
n
1)
3
3(1
3
n
1
)
2
(
n
1)
3
1
3
3
n
3
n
1
3
3
n
n
< br>1
所以
a
n
3
n
n
1.
n
评
注
：
本
题
解
题
的
关
键
是
把
递
推
关
系
< br>式
a
n
1
a
n
2
3
n
1
转
化
为
a
n
1
a
n
< br>
2
3
，
进
而
求
出
1
a
n
(
a
n
a
n
1
)
< br>(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
3
a
2
)
(
a
2
< br>
a
1
)
a
1
，即得数列
< br>{
a
n
}
的通项公式。
例
4
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
满足
a
n
1
3
a
n
2
3
n
1
< br>，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：
a
n
1
3
a
n
2
3
n
1
两边
除以
3
则
n
1
，得
a
n<
/p>
1
a
n
2
1
，
n
1
n
n
1
3
3
3
3
a
n
<
/p>
1
a
n
2
1
，故
3
n
1
3
n
< br>3
3
n
1
a
n
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
n
2
< br>a
n
3
a
2
a
1
a
1
(
)
(
)
(
)
< br>(
)
3
n
3
n
a
n
1
a
n
1
3
n
2
3
n
2
3
< br>n
3
3
2
3
1
3
2
1
2
1
2
1
2
1
3
(
n
)
(
< br>n
1
)
(
n
2
)
(
2
)
3
3
3
3
3
3
< br>3
3
3
2(
n
1)
1
1
1
1
1
(
n
n
n
1
n
2
< br>2
)
1
3
3
3
3
3
3
1
(1<
/p>
3
n
1
)
n
a
n
2(
n
1)
3
2
n
1
1
因此
n
< br>，
1
n
3
3
1
3
3
2
2
3
则
a
n
2
< br>1
1
n
3
n
3
n
.
3
2
2
a
n
1
a
n
2
1
< br>
，进而求出
3
n
1
< br>3
n
3
3
n
1
评注：本题解题的关键是把递
推关系式
a
n
1
3
a
n
2
3
n
1
转化为
(
a
n
a
n
1
a
n
1
a
< br>n
2
a
n
2
a
n
3
a
2
a
1
a
1
a
n
)
(
< br>
)
(
)
(
)
，
即得数列
n<
/p>
的通项公式，
最后再求数列
{
a
n
}
的通
3
n
3
< br>n
1
3
n
1
3
n
2
3
n
2
3
n
3
3
2
3
1
3
< br>3
项公式。
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三、累乘法
例
5
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
2(
n
1)5
n
a
n
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：因为
a
n
1
<
/p>
2(
n
1)5
n
a
n
，
a
1
3
，所以
a
n
0
，则
a
n
1
2(
n
1)5
n
，故
a
n
a
n
a
n
a
n
1
a
a
<
/p>
3
2
a
1
a
n
1
a
n
2
a
2
a
1
[2(
n
1
1)5
n
1
][2(
n
2
1)5
n
2
]
[2(2
1)
5
2
][2(1
1)
5
1
]
3
2<
/p>
n
1
[
n
(
n
1)
3
2]
5
(
n
1)
(
n
2)
2
1
<
/p>
3
3
2
n
1
n
(
n
1)
2
5
< br>
n
!
n
1
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
3
< br>
2
5
n
(
n
1
)
2
n
!.
a
n
1
2(
n
1)5
n
，
进
而
求
出
a
n
评
注
：
本
题
解
题
的
关
键
是
把
递
推
关<
/p>
系
a
n
1
2(
n
1)5
n
a
n
转
化
为
a
n
a
< br>n
1
a
a
3
2
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项
公式。
a
n
1
a
n
<
/p>
2
a
2
a
1
例
6
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
1
，
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
<
/p>
(
n
1)
a
n
1
(
n
2)
，求
{
a
n
}
的通项公式。
解：因为
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
< br>
(
n
1)
a
n
1
(
n
2)
所以
a<
/p>
n
1
a
1
2
a
2
3
a
3
(
n
1)
a
n
1
na
n
用②式－①式得
a
< br>n
1
a
n
na
n
.
则
a<
/p>
n
1
(
n
1)
a
n
(
n
2)
②
①
故
a
n
1
n
1(
n
2)
a
n
a
< br>n
a
n
1
a
n
!
3
a
2
[
n
(
n
1)
4
3]
< br>a
2
a
2
.
a
n
1
a
n
2
a
2
2
所以
a
n
③
由
a
n
a
1
2
a
2
3
a<
/p>
3
(
n
1)
a
n
1
(
n
2)
，
取
n
2
得
a
2
a
1
2<
/p>
a
2
，则
a
2
a
1
，又知
a
1
1
，则
a
2
1
，代入③
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得
a
n
1
3
4
5
n
n
!
< br>。
2
n
!
.
2
转
2
)
化
为
所以，
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
评
注
：<
/p>
本
题
解
题
的
关
键
是
把
递
推
关
系
式
a
n
1
(
n
1
a
)<
/p>
n
n
(
a
n
1
n
1
(
n
2
，
)
进
而
求
出
a
n
a<
/p>
n
a
n
1
a
3
a
2
，从而可得当
n
2
时，
a
n
的表达式，最后再求出数列
{
< br>a
n
}
的通项公式。
a
n
1
a
n
2
a
2
四、待定系数法
例
7
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
a
n
3
5
n
，
a
1
< br>6
，求数列
a
n
的通项公式。
解：设
a
n
1
x
5
n
1
< br>
2(
a
n
x
5
n
)
④
n
n
1
将
a
n
1
2
a
n
< br>3
5
n
代
入
④
式
，
得
2
a
n
3
5
x
，
5
等
式
两
< br>边
消
去
2
a
n
，
得
5
a
n
2
x
2
n
⑤
n
n
1
n
3
< br>
5
x
5
x
2
，两边除以
5
5
n
，得
3
5
x
<
/p>
2
x
,
则
x
1,
代入④式得
a
n
1
5
n
1
2(
a
n
5
n
)
a
n
1
5
n
1<
/p>
n
1
由
a
1
5
6
5
1
0
及⑤式得
a
n
5
< br>
0
，则
，则数列
是以
2
{
a
5
}
a
5
1
为首项，以
2
为公
< br>n
1
n
a
n
5
1
n
比的等比数列，则
a
n
5
n
2
n
1
，故
a
n
2
n
1
5
n
。
评注：
本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
2
a
n
3
5
n
转化为
a
n
1
5
n
1
2(
a
n
5
n
)
，
从而可知数列
{
a
n
5<
/p>
n
}
是等
比数列
，进而求出数列
{
a
n
5
n
}
的通项公式，最后再求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
例
8
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
3
a
n
5
2
n
4
，
a
1
1
，求数列
{
a
< br>n
}
的通项公式。
解：设
a
n
1
x
2
n
1
y
3(
a
n
x
2
n
y
)
将
a
n
1
3
a
n
5
2
n
4
代入⑥式，得
⑥
3
a
n
5
2
n
4
x
2
< br>n
1
y
3(
a
n
x
2<
/p>
n
y
)
整理得
(5
2
x
)
2
4
y
3
x
< br>
2
3
y
。
n
n
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令
5
2
x
3
x
x
5
，则
，代入⑥式得
4
y
3
y
y
2
⑦
a
n
1
5
2
n
1
2
< br>3(
a
n
5
2
n
2)
由
a
1
5
2
1
2
1
12
13
0
及⑦式，
a
n
1
5
2
n
1
2
得
a
n
5
<
/p>
2
2
0
，则
3
，
n
a
n
5
< br>2
2
n
1
故
数
列
{
a
n
5
n
2
2
是
}
以
a
1
5
< br>
2
2
1
1
2
为
1
首
3
项
，
以
3
为
公
比
的
等
比
数
< br>列
，
因
此
a
n
5
2
n
2
13
3
n
1
，则
a
n
13
3
n
1
5
2
n
2
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
3
a
n
<
/p>
5
2
n
4
转化为
a
n
1
5
2
n
1
2
3(
a
n
5
2
n
2)
，从而可知
数列
{
a
n
5
2
n
2}
是等比数列，进而求出数列
{
a
n
5
2
n
2}
的通项公式，最后再求数列
< br>{
a
n
}
的通项公式。
例
9
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
a
n
3
n
2
4
n
5
< br>，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：设
a
n
1
x
(
< br>n
1)
2
y
(
n
1)
z
2(
a
n
<
/p>
xn
2
yn<
/p>
z
)
⑧
将
a
n
1
2
a
n
3
n
< br>2
4
n
5
代入⑧式，得
2
a
n
3
n
2
4
n
5
<
/p>
x
(
n
1)
2
y
(
n
1)
z
2(
a
n
xn
2
yn
< br>z
)
，则
2
a
n
(3
x
)
n
2
(2
x<
/p>
y
4)
n
(
x
y
z
5)
2
a
n
2
xn
2
2
yn
2
z
等式两边消去
2
a
n
，得
(3
x
)
n
2
(2
x
y
4)
n
<
/p>
(
x
y
z
5)
2
xn
2
2
yn
2
z
，
< br>
3
x
2
x
x
3
解方程组
2
x<
/p>
y
4
2
y
，则
y
10
，代入⑧式，得
x<
/p>
y
z
5
2
z
z
18
a
< br>n
1
3(
n
1)
2
10(
n
1)
18
2(
a
n
3
n
2
<
/p>
10
n
18)
⑨
由
a
1
3
1
2
10
1
18
1
< br>
31
32
< br>
0
及⑨式，得
a
n
3
n
< br>2
10
n
18
0
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