斐波那契数列的应用
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斐波那契数列的应用
第一章
斐波那契数列的提出
意大利数学家斐
波那契在《算盘全集》中提出了一个有趣的兔子繁殖问题：
如果每队兔子（一雄一雌）每
月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同）每队
兔子第一个月没有生殖能力，
但从第二个月以后便能每月生一对小兔子。
假定这
些兔子都不死亡现象，
那么从一对刚出生的兔子开始，
一年只
有会有多少对兔子
呢？解释说明为：一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔
子；第三
个月：这对兔子生了一对小兔子，共有
1+1=2
对兔子。第四个月：最初的一对
兔子又生一堆兔子，共成为
2+1=3
对兔子。后人为了纪念兔子繁殖问题的斐波
< br>纳契将这个兔子数列成为斐波那契数列。
也就是把
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
，
21
，
34
„这样的数列称为斐波那契数列。
第二章
斐波那契数列的应用
人类很早就从自
然界中看到了数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树的分枝，钢琴
音阶的排列以及花瓣对称排列
在花托边缘、
整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射
对称状„„，
所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。
而对这些自然、
社
会以及生活中的许多现象的解释，最后往往都能归结到
Fibonacci
数列上来。
斐波那契数列在数学理论上有许多有趣的性质，
不可思议的是在自然界中也
存在着这个性质，
似乎完全没有秩序的植物的纸条彼此相隔的距
离或叶子的生长
凡是，都被斐波那契数列支持着。
2.1
斐波那契数列与花朵的花瓣数
花瓣数是极有特征的。
多数情况下，
花
瓣的数目都是
3
，
5
< br>，
8
，
13
，
21
，
34
，
55
，„这些数恰好是斐波那契数列的某些项，例如，百
合花有
3
瓣花瓣，至良
属的植物有
5
瓣花瓣；许多翠雀属植物有
8
瓣花瓣；万寿菊的花瓣有
13
瓣，更
有趣的是，
有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，
发
现这朵花的花瓣刚好有
157
瓣。
且他
又发现其中有
13
瓣与其他
144
瓣有显著的不同，
是特别长并卷曲向内，
这
表明这朵花的花瓣树木是由
F1=13
和
F2=144
合成的。
2.2
斐波那契数列与仙人掌的结构
在仙人
掌的结构中有这一数列的特征。
研究人员分析了仙人掌的形状、
叶片
厚度和一系列控制仙人掌情况的各种因素，
并将所得数据输
入电脑，
结果发现仙
人掌的
Fibon
acci
数列结构特征能让仙人掌最大限度地减少能量消耗，适应其在
< br>干旱沙漠的生长环境。
2.3
斐波那契数列与向日葵种子排列方式
向日葵种子的排列方式，就是一种典型的数学模式。仔细观察向日葵花盘，
你就会发现两
组螺旋线，
一组顺时针方向盘旋，
另一组则逆时针方向盘旋，<
/p>
并且
彼此相嵌。
虽然不同的向日葵品种中
，
种子顺、
逆时针方向和螺旋线的数量有所
不同，但往往不会超
出
34
和
55
、
55
和
89
或者
89<
/p>
和
144
这
3<
/p>
组数字，这每组数字就是
Fibonacci
数列中相邻的两个数。
前一个数字是顺时针盘旋的线数，
后
一个数字是逆时针盘
旋的线数。
2.4
斐波那契数列与台阶问题
<
/p>
只有一个台阶时，只有一种走法，
F1=1
两个台阶，走法有
2
种，一阶一阶
或
者一步上两个台阶，
所以
F2=2
。<
/p>
三个台阶时，
走法有一步一阶，
2
阶再
1
阶，
1
阶再
2
阶，
因此，<
/p>
F3=3
。
四个台阶时，
走法有
（
1
，
1
，
1
，
1
）
，
（
1
，
1
，
2<
/p>
）
，
（
1
，
2
，
1
），（
2
，
1
，
1
）（，
2
，
2
），共
5
种方法，故
F4=5
以此类推，有
数列：
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
，
21
，
34
，
55
，
89
，
144
，
233
< br>，
...
斐波那契与自然、
生活
、
科学上的联系其实还有很多，
但是仅仅从这几个例子上我们就
可以看出斐
波那契数列的应用的广泛性，
由此我们可以看到数学
的美其实是无处不在的它是
一门科学，同时也是一种语言，一种艺术，它如同盛开的茉莉
，洁白淡雅，总而
言之，数学与自然、生活相伴相随，共同发展。
2.5
斐波那契数列与蜜蜂的家谱
蜜蜂的“
家谱”：蜜蜂的繁殖规律十分有趣。雄蜂只有母亲，没有父亲，因
为蜂后所产的卵，受精
的孵化为雌蜂（即工蜂或蜂后），未受精的孵化为雄蜂。
人们在追溯雄蜂的家谱时，
发现
1
只雄蜂的第
n
代子孙的数目刚好就是
Fibonacci
< br>数列的第
n
项
fn
。