斐波那契数列的隐含周期性质
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图形计算器研究斐波那契数列隐含周期性
所在省市：
天津市
作者姓名：
李元亨
所在学校：
天津耀华中学
指导教师：
王洪亮
一
.
简单背景介绍
斐波那契数列，
又称兔子数列，
是一种最简单的递归数列；
它的提
出，
首先在斐波那契的
《算
盘之书》<
/p>
中出现，
有趣的是，
斐波那契只是把这种
简单的计算关系作为十进制数字比罗马数
字简单的优越性的一个例子，这个例子又叫做兔
子谜题，原题如下：
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力。
一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
简单分析一下，可知：
幼仔对数
=
前月成兔对数
成兔对数
=
前月成兔对数
+
前月幼仔对数
总体对数
=
本月成兔对数
+
本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数
列有十分明显的特点，
那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这样我们就得到了一个递归式：
Fn =F(n-1)+
F(n-2)
（
n>=2
，
n
∈
N*
）
三
.
< br>关于斐波那契数列周期性性质的探究
斐波那契数列的无
穷递增的性质很容易根据图形计算器的图形得到探究。
我相信任何一个无
穷递增数列的性质应当不仅仅与数列中每项的数字或数本身有关，
也应当进行其
在与数字进
行其他运算方法的关系。
利用类比的数学思想，
我认为，
有许多种无穷递增数列，
即使在每
项本身没有较易发现的关系，在经过某种运算后也可以体现出特殊的性质——体现周期性
。
因此，
我们有不太充分的理由可以相信，
斐波那契数列经过一种或几种特殊的运算之后也应
当可以体现出某种周期关系。
为了让一个递增数列体现出一种周期性，
我们只可以使其失去递增的特点，
否则永远无法继
续上一个周期
。
首先我只是认为斐波那契数列的末位数应当有周期关系
（只要
出现连续两项
于前面的连续两项相等，
后面必定具有周期性，<
/p>
证明从略）
为了探讨这个问题，
我将斐波
那
契数列一直用笔列至
70
项，
使用了大量的时间，
经过了巨大的运算量才发现了规律。
后来，
经过分析我认为斐波那契数列中每一项的末尾数即是每一项除以
10
的余数。
所以
我们可以探讨对其他数取余的情况，
经过了如此大规模的计算，
我认为我应当可以减少
计算量。
突然，
一个想法映入我的脑海：
可使用图形计算其强大的计算功能来帮助我进行研
究，并可以使用图表、递归等多种方式生动的将我的结论展现出来。
(
一
)
斐波那契数列
的周期性关系
对于斐波那契数列是
否具有隐含的周期性，
及余数的周期性我们应当先进行较为一般性的探
< br>究，所以我们定义一个数列
bn = bn mod m
（
m
是整数）
，以探究
bn
的周期性。为了更深层
地讨论周期性问题，我们可
以定义一个数列
kn
，以代表
bn=
bn mod n
的周期长度。
1
）首先我们讨论一下周期的存在性
利用上面建立的斐波那契数列
an
建立一个
bn
体现其余数关系。
我们任取一个数，比如说
11
（
bn=an+1-int
（
an+1/11
）
*11
）即斐波那契数列中每一项对
11
取余。
这时，
k(11)=10
。下面这个表格展示了一个周期里的数
字。
项数
b(n)
1
1
2
1
3
2
4
3
5
5
6
8
7
2
8
10
9
1
10
0
2
）数表
不容易体现其周期性，所以观察其连续图。
可以体现了较为明
显的周期性，所以周期在
m=11
时存在。这时
k
（
11
）
< br>=10
不过我们还可以尝试一下其他的数使斐波那契数列的每一项对其取余，<
/p>
以确定这不是一个偶
发事件。
3
）所以我们把
bn
的式子改为
bn=an+1-int
（
an+1/22
）
*22
即斐
波那契数列中每一项对
22
取余。
<
/p>
这时
k
（
22<
/p>
）
=30
递归还是可以体现很明显的周
期性，不过显然周期中数字的个数
k
（
22
）
=30
要长很多。
下面这个表格展示了一个周期里的数字。
项数
1
2
3
4
5
6
7
b(n)
1
1
2
3
5
8
13
8
21
9
10
12
11
11
1
12
13
2
13
14
15
3
16
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
19
13
10
1
11
12
1
13
14
5
19
2
21
1
0
而
和等比数列不同的是，
其周期中数字个数的在取余时变化
（周期
长度的变化）
在除数变化
不太大时，
周
期长度的差异不是很大，
而在斐波那契数列中的每一项对其他数取余时，
周期
的变化就很明显了。这就是斐波那契数列相似的周期性中的不同点。
4
）我们把
bn
的式子改为
bn=an+1-int
（
an+1/8
）
*8
< br>即斐波那契数列中每一项对
8
取余。这
< br>时
k
（
8
）
=12
下面这个表格展示了一个周期里的数字。