斐波拉契数列
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斐
波
拉
契
数
列
一、斐波拉契数列的出现
“
如果一
对兔子每月能生
1
对小兔子，
而每对小
兔在它出生
后的第
3
个月裏，又能开始
生
1
对小兔子，假定在不发生死亡的
情
况下，由
1
对初生的兔子开始，
1
年后能繁殖成多少对兔子？
”
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子<
/p>
每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后
可
以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
;
两个月后，生下一对小兔民数共有两对
;
三个月
以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能
力，所以一共是三对
;
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
经过月数：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
兔子对数：
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
表中数字
1
，
1
，
2
，<
/p>
3
，
5
，
8
－－－构成了一个数列。这个
数列有关十分
明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后
一项。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中<
/p>
提出的，这个级数的通项公式，除了具有
a
n
2
a
n
a
n
1
的性质外，
还
可以证明通项公式为：
n
这串数里隐
含着一个规律：从第
3
个数起，后面的每个数都
是它前面那两个数的和。而根据这个规律，只要作一些简单的加
法，就能推算出
以后各个月兔子的数目了。于是，按照这个规律
推算出来的数，构成了数学史上一个有名
的数列。大家都叫它
“
斐
波拉契数列<
/p>
”
，又称
“
兔子
数列
”
。
1
1
a
n
2
5
5
< br>
1
5
2
(n=1,2,3.....
）
n
二、斐波拉契数列的某些性质
1
、随着数列项数的增加，前一项与后一项之比的比值逐渐趋
于黄金分割比的。即
f(n-1)/f(n)-
→0.
618…
。
2
、
从第二项开始，
每个
奇数
项的平方都比前后两项之积多
1
，
每个偶数项的平方都比前后两项之积少
1
。
3
、如果你看到有这样一个题目：某人把一个
8*8
的方格切成
四块，拼成一个
5*13
的
长方形
，故作惊讶地问你：为什么
6
4
＝
65
？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：
< br>5
、
8
、
1
3
正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差<
/p>
1
，
只不过后面那个图中有一条细长的狭
缝，
一般人不易注意到。
4
、
斐波那契数列的第
n
项同时也代表了集合
{1,2,...,n}
中所有
不包含相邻正整数的子集个数。这个数列有许多奇特的的性
质，例如，从第
3
个数起，每个数与它后面那个数的比值，
都很接近于
0.618
，正好与大名鼎鼎的
“
黄金分割
律
”
相吻合。
人们还发现，连一些生物的生长规律，在某种假定下也可由
这个数列来刻画呢。
5
、任取相邻的四个斐波那契数，中间两数之积（内积）与两
边两数之积（外积）相差
1.
三、斐波拉契数列的存在
■1
．杨辉三角对角线上各数之和构成斐波拉契数列
．
■2
．多
米诺牌（可以看作一个
2×
1
大小的方
格）完全覆盖一
个
n×
2
的棋盘，覆盖的方案数等于斐波拉契数列。
■3
．
从蜜
蜂的繁殖来看，雄蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂
后产的卵，受精的孵化为雌蜂，未受精
的孵化为雄峰。人们
在追溯雄峰的祖先时，发现一只雄峰的第
n
代祖先的数目刚
好就是斐波拉契数列的第
n
项
Fn
。
■4
．
钢琴
的
13
个半音阶的排列完全与雄蜂第六代的排列情况
类似，说明音调也与斐波拉契数列有关。
■5
．自然界中一些花朵的花瓣数目符合于斐波拉契数列，也
就是说在大多数情况下，
一朵花花瓣的数目都是
3,5,8,13,21,
34,……(
有
< br>6
枚是两套
3
枚
;
有
4
枚可能是基因突变
)
。
■6
．如果一根树枝每年长出一根新枝，而长出的新枝两年以
后，每年也长出一根新枝，那么历年的树枝数，也构成一个
斐波拉契数列<
/p>
．