斐波那契数列 毕业论文 斐波那契数列的应用 本科论文
伤感文字-
X X X X
2012
届毕业设计（论文）
设计（论文）题目
斐波那契数列的研究
子课题题目
姓
名
XXX
学
号
XXX
所
属
系
XXX
专业年级
XXX
指导教师
XXX
2012
年
05
月
摘要
斐波
那契数列自问世以来
,
不断显示出它在数学理论和应用上的重要
作用。
而且斐波那契数列在现代物理、
准晶体结构、
生物、
交通、
化学等领域都有直接
的应用．这个数列既是数学美的完美体现．又与许多数学概念有着密切的联系，
很多看上去似乎彼此独立的数学概念，
通过斐波那契数列，
人们
发现了其中的数
学联系．
从而进一步激发了人们探索数学的兴趣
．
对数学的认知更加系统化。
因
此对斐
波那契数列的研究是一项非常重要的研究，
它不仅能给各个学科带来很好
的用处，
它也会对我们的生活产生长远的影响，
斐波那
契数列的前景是不可估量
的。
关键词
：斐波那契数列
黄金分割
斐波那契数列在生活中的应用
Abstract
Fibonacci sequence since its advent,
continuously demonstrated its important role
in mathematical theory and
applications. And Fibonacci slope is satisfied
that lease
series in modern physical,
and quasi crystal structure, and bio, and traffic,
and
chemical, area are has directly of
application. this series is mathematics us of
perfect
reflected. and and many
mathematics concept has close of contact, many
looks seems
to each other independent
of mathematics concept, by Fibonacci wave that
lease
series, people found has which of
mathematics contact. to further fired has people
exploration mathematics of interest. on
mathematics of cognitive more systematic. On
the study of the Fibonacci sequence is
a very important study, it can bring to all
disciplines very well not only useful,
it will have a long-term impact on our lives and
prospects of the Fibonacci sequence are
incalculable.
Keywords: Fibonacci series
The golden section
Application of the Fibonacci
sequence in the life
目
录
第一章
斐波那契数列
..........
...............................................
1
1.1
斐波那契
.
..................................................
..................................................
..... 1
1.2
斐波那契数
列的引入
------
兔子问题
..
..................................................
.......... 1
1.3
斐波那契数列通项公式的若
干推导
.
............
..................................................
....... 3
1.4
斐波那契数列性质及其简单证明
..................................................
....................... 9
1.5
人体中与斐波那契数列有关的知识
.
.................................................
.................. 11
第二章
斐波那契数列与黄金分割
.....
.........................................
1
2
2.1
何为黄金分割与黄金分割数
..........................
..................................................
.. 12
2.2
二者之间的联系
..................................................
............................................. 13
2.3
黄金分割律在股市中的运用
.
..................................................
........................... 14
第三章斐波那契数列在生活中应用
.
.............................................
1
5
3.1
斐波那契数列在几何上的应用
.
...........................
............................................... 15
3.2
斐波那契数列在城市交通道路规划上的应用
.
.....................
................................ 16
3.3
斐波那契数列在生物学上的应用
..................................................
..................... 17
第四章
小结
.........................
.......................................
1
9
参考文献：
......................
............................................
2
0
谢
辞
..........................
............................................
2
1
第一章
斐波那契数列
这一章主要讲的是斐波
那契数列的发明者，
产生的背景，
人们对他的一些认
识和研究，以及它的一些主要性质。
1.1
斐波那契
数学家列昂纳
多·斐波那契（
Leonardo
Fibonac
ci
，生于公元
1170
年
，
卒于
1240
年，
）是斐波那
契数列的发明者。籍贯大概是比
萨，因此，他被
人
称作“
比萨的
列昂纳
多”
。他于
1
202
年，
撰写了
《珠算
原理》
（
Liber
Ab
acci
）一书
。据
史料记
载，他
是第一
个研究
印度
和
阿拉伯
数学理
论的欧
洲
人。他
的父亲
在斐波
那契小的
时候被
比萨的
一家商
业团体
聘任为
外交领
事
，派驻
的地点
相当于
今日的阿
尔及利
亚地区
，斐波
那契因
此得以
在一个<
/p>
阿
拉伯老
师的指
导下研
究数学。
他还曾
在埃及
、叙利
亚、希
腊、西
西
里和
普罗旺斯研究
数学。
1.2
斐波那契数列的引入
------
兔子
问题
问题是这样导入的：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟
兔子每月会生一对兔子，
那么，
由一对初生兔子开始，
12
个月后会有多少对兔子
呢
?(
假设所有兔子都健康成长，中途不死掉
)
兔子在出生两个月后，
就有繁
殖能力，
一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔子都
不死，那么新出生的一对小兔子一年以后可以繁殖多少对兔子
?
图一表示兔子的繁殖规律，
黑点表示一对小兔子，
红点表示一对
大兔子，
黑线表
示一对小兔子长大成为一对大兔子或者表示一对
大兔子生出一对小兔子（如图
1
）：
1
则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别
< br>是：
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，<
/p>
13
，
21
，<
/p>
34
，
55
，<
/p>
89
，
144
，
⋯⋯
，这个数列称为斐波那
契数列．<
/p>
这个数列从第三项开始，
每一项都等于前两项之和。
所以斐波那契数列
的定义为：
数列
满足
则称此数列为斐波那契（
Fibonacci
< br>）数列
很有趣的是：
这样一个
完全是自然数的数列，
通项公式居然是用无理数来表达的。
它的
通项公式为：
< br>斐波那契数列又因数学家列昂纳多·
斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，
故
又称为“兔子数列”。
又或者，
斐波那契数列还可以由生活中一个很有意思的例子来引入：
走楼梯
问题。问题是这么提出的：
< br>问题：
某人可以一步登一个台阶，
也可以一步登二个台阶
，
问他登上
n
个台
阶的方式又有多少种？
解答：假设此人登上
n
台阶的方式有
种。
种；若第一步登了二阶，
若第一步登了一阶，则登上
n
阶台阶的方式有
则登上
n<
/p>
阶台阶的方式
有
种，于是
此时容易得到
所以
于是这是一个删除了首项的斐波那契数列，
2
1.3
斐波那契数列通项公式的若干推导方法
推导方法
1
先求满足递推关系
的等比数列
，其中
。于是（
1
）变形为
整理为
用求根公式可解得
可见，满足条件（
1
）的等比数列有两个公比
和
如
果
等
比
数
列
满
足
条
件
则
公
比
为
1
，
< br>即
不
等
于
，因此不可能满足条件（
1
）
。但是
，如果将满足条件（
1
）的两个
等比数
列
与
逐项相加得到数列
=
=
（
2
）
则数列（
2
）仍满足条件（
1
）
，如果能适当选择
a
，
b
使
即
3
则
（
3
）
所满足的所有条件。容易看出，满足条件的斐波
就符合斐波那契数列
那契数列
是唯一的。因此满足条件（
3
）的
a
，
b<
/p>
决定的数列（
2
）就是所求
的斐波那契数列。
由于
程组，解之得
a=
，
b=
从而
.
,
所以可以将条件（
3
）看成以
a
，
b
为未知数的二元
一次方
又由于
因此
.
所以这里得到了斐波那契数列的通项公式
，
推导方
法
1
的关键是：满足条件（
1
）的两个等比数列
仍
满足条件（
1
）
（
前两项都等于
1
。
一般不再是等比数列）
，适当选择
的
推导方法
2
初等代数法
4
已知
首先，构建等比数列
设
化简得
与式（
1
）比较系数可得：
不妨设
解得
所以有
求出等比数列
由以上可得：
变形得：
求数列
进而得到
< br>。令
，即
为等比数列。
5
设
，解得
。故数列
为等比数列
即
。而
，故有
又有
和
可得
得出
表达式
至此，我们就推导出了斐波那契数列的通项公式。
推导方法
3
大家都知道斐波那契数列的性质是从第三项开始，后面每一
项是
前面两项的和，即数列要满足式（
1
）的条件，而式（
1
）属于线性递归数列，此
数列有其一般的表达式为：
式（
4
）变形为：
6
7
由于
因此：
8